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2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z=1-2i,则的虚部为（　）
A. 1 B. -2 C. -i D. -2i
2.已知向量，且∥，则λ=（　　）
A. B. C. D. 2
3.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为（　　）
A.
B.
C. 6
D. 8
4.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则=（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若a=3，，B=60°，则c=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设a,b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若a∥α，b∥a,则b∥α
B. 若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
C. 若α∥β，b∥α，则b∥β
D. 若α∥β，a α，则a∥β
7.已知向量，，，则向量在上的投影向量为（　　）
A. B. （-2，2） C. （2，-2） D.
8.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题为真命题的是（　　）
A. 若z为纯虚数，则z2是实数
B. 若i为虚数单位，则i23=i
C. 复数-2-i在复平面内对应的点位于第三象限
D. 复数的共轭复数为2+i
10.已知平面向做=（3，4），=（7，1），则下列结论正确的是（　　）
A. B. ||=10||
C. ⊥（-） D. 与的夹角为45°
11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（　　）
A. AB∥GF B. 若平面ABDC∩平面EFG=l,则CD∥l
C. 该半正多面体的体积为 D. 该半正多面体的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BA1与直线AC所成角的大小为 .
13.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______．
14.在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量与的夹角为，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.(本小题15分)
已知复数z=（m2+m-2）+（4-m2）i,m∈R，i是虚数单位.
（1）若复数z是纯虚数，求m的值；
（2）当m=-1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC=c(1-cosA).
（1）求A.
（2）设△ABC的面积为S，且4S=b+c，bcosC+ccosB=.
①求a的值；
②求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：F为PD的中点；
（3）在棱AB上是否存在点N，使得FN∥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a,b,c,sin2A+cos2B+cos2C+sinBsinC=2.
（1）求A；
（2）若b=1，c=2，D为线段BC内一点，且BD：DC=1：2，求线段AD的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1，x2，y1，y2∈R，都有被称为柯西不等式；若a=2，求：的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】60°
13.【答案】2：3
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】m=1；
4，13．
17.【答案】解：（1）由正弦定理=，可得asinC=csinA，
所以asinC=csinA=c(1-cosA)，化简得sinA+cosA=1，
即2(sinAcos+cosAsin)=2sin(A+)=1，可得sin(A+)=，
因为A+∈(，)，所以A+=，可得A=；
（2）①由余弦定理得bcosC+ccosB=b+c=a，
结合bcosC+ccosB=，可得a=；
②因为4S=b+c，所以4×bcsinA=b+c，即bc=b+c，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=10，即b2+c2+bc=10，整理得(b+c)2-bc-10=0，
将b+c=bc代入上式，化简得3(bc)2-bc-10=0，解得bc=2（舍负）；
所以△ABC的面积S=bcsinA==．
18.【答案】证明：（1）连接AC交BD于G，连接GE，如下图：
由ABCD为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点，
所以GE为中位线，则GE∥PA，
又GE 面BDE，PA 面BDE，故PA∥平面BDE；
证明：（2）由题设知：CD∥AB，AB 面ABEF，CD 面ABEF，
所以CD∥面ABEF，
又CD 面PDC，面PDC∩面ABEF=EF，
所以CD∥EF，又E为棱PC的中点，即EF是△PDC的中位线，
故F为PD的中点；
解：（3）存在N使得FN∥平面BDE且，理由如下：
H为AB中点，连接FH，
由题设且BH∥CD，
由（2）知CD∥EF且，
所以BH∥EF且BH=EF，即BHFE为平行四边形，
所以FH∥BE，而BE 面BDE，FH 面BDE，
所以FH∥面BDE，故所求N点即为H点，
则AB上存在点N使得FN∥平面BDE，且．
19.【答案】；
；
48．
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