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2025-2026学年广东省惠州市惠阳区中山中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z1=2-i,z2=3+6i,则z1+z2=（　　）
A. -1-7i B. 1+7i C. 5+5i D. 5-5i
2.如果点A在直线l上，而直线l又在平面α内，那么可以记作（　　）
A. A l,l α B. A l,l∈α C. A∈l,l∈α D. A∈l,l α
3.在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，则cosA=（　　）.
A. B. C. D.
4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）
A. 6 B. 3 C. 12 D. 6
5.在△ABC中，D在BC上，DC=2BD，设，，则=（　　）
A. B. C. D.
6.已知向量，，若在上的投影向量为，则λ的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
7.如图，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N且，，则x+y的值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，足座常为正四棱台，上承盘体，下接底座.如图，在一个盛满干果的“笾”中，AB=30cm,A1B1=10cm,若从中取出3800g干果后，干果的高度约下降半，则剩余的干果的质量约为（　　）
A. 1000g
B. 1200g
C. 1400g
D. 1900g
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=3-4i（i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A. |z|=5
B. 复数的虚部为
C. 若z对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为-2-5i
D. 若复数z是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q=19
10.已知向量=（-1，4），=（3，x），下列结论正确的是（　　）
A. 若，则 B. 若，则x=12
C. 若||=||，则 D. 若＜，＞为钝角，则
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，则下列结论正确的有（　　）
A. 直三棱柱的侧面积是
B. 该三棱柱可完全放入体积为6π的球中
C. 表面积为π的球可以完全放入该三棱柱中
D. 若动点P满足，则动点P在侧面ACC1A1形成的轨迹长度为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若（x-2i）i=y+i（x,y∈R，i为虚数单位），则x+y= .
13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为80m,则树的高度为 m.
14.已知等腰直角三角形ABC的斜边BC=8，P为三角形ABC所在平面内任意一点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知z1=2+i,，其中表示z1的共轭复数.
（1）求z2；
（2）若，求z的模.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知.
（1）求C；
（2）若b=4，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
已知向量与的夹角为120°，且，，若，λ∈R.
（1）当时，求实数λ的值；
（2）当λ=2时，求；
（3）当取最小值时，求向量与夹角的大小.
18.(本小题17分)
圆锥PO的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
（2）过PO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,点P为△ABC的费马点，且满足（2b-c）cosA-acosC=0，a2-（b-c）2=4.
（1）求A；
（2）求的值；
（3）求|PB| |PC|的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】-8
15.【答案】解：（1）设z2=a+bi（a,b∈R）∵，
∴（2-i）（a+bi）=6+2i,
即（2a+b）+（2b-a）i=6+2i,
∴，解得：a=2，b=2．
∴z2=2+2i；
（2）∵=，
∴|z|=．
16.【答案】解：（1）由，得，
在△ABC中，sinC≠0，∴，
在△ABC中，C∈（0，π），∴．
（2），
∴，
由余弦定理得，
∴c=2，∴，
∴△ABC的周长为．
17.【答案】 θ=30°
18.【答案】； ，．
19.【答案】A=60° -2
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