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2025-2026学年广东省东莞十三高级中学等校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数1-3i的虚部是（　　）
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
2.已知向量=（t+1，-2），=（4，t），且⊥，则t=（　　）
A. -3 B. C. -2 D. 2
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，b=2，A=120°，则c=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′=2B′C′=2，A′B′=1，则该平面图形的面积为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则=（　　）
A. B. C. 3 D.
6.已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为12π，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π
7.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为（　　）
A. m B. 50m C. 100m D. 100m
8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（　　）
A. -4 B. C. D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中为真命题的有（　　）
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 棱柱的侧面都是菱形
D. 四面体是棱锥
10.若复数z满足（2+i）z=4-3i（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A. z在复平面内对应的点位于第四象限
B. （是z的共轭复数）
C. z2=5-4i
D. 若|z1|=2，则|z1-z|的最大值为
11.已知非零向量，满足||=||=|-|，则（　　）
A. ，的夹角为
B. |+|=||
C. 若，，则△OAB的外接圆半径长为||
D. 若||=1，向量满足（-） （-）=0，则||的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值 .
13.一个圆柱的内切球的表面积为16π，则这个圆柱的体积为 .
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosB，△ABC的面积为，则a2+c2的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知1+2i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，其中i为虚数单位.
（1）求p,q的值；
（2）记复数z=p+qi,求复数的模.
16.(本小题15分)
在△ABC中，2ccosC=bcosA.
（1）求∠C；
（2）若b=6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm,高30cm.
（1）求四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积和侧面积；
（2）若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少cm3的水泥.
18.(本小题17分)
已知向量，满足，，与的夹角为.
（1）求；
（2），，求的值；
（3）若在方向上的投影向量为，求的最小值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.且满足.
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积，内切圆的半径为，求c；
（3）若∠ACB的平分线交AB于D，且CD=2，求△ABC的面积S的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】16π
14.【答案】6
15.【答案】p=-2，q=5
16.【答案】解：（1）由题意结合正弦定理可得
，
因为sinC＞0，
所以，
可得；
（2）由b=6，且△ABC的面积为6，
可得，
解得，
由余弦定理可得
，
可得，
所以△ABC的周长为．
17.【答案】体积为28000cm3，侧面积为 4000 cm3
18.【答案】解：（1）因为，，与的夹角为，
所以=；
（2）因为，，
所以==，
===，
，
所以=；
（3）因为在方向上的投影向量为，所以=，
所以====，
所以当时，取得最小值．
19.【答案】 7
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