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2025-2026学年山西省忻州市原平市范亭中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（　　）
A. 2 B. 4 C. 12 D. 24
2.一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为X，则E（X）=（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
3.随机变量X的分布列如下表，其中a,b,c成等差数列
X 2 4 60
P a b c
则P（X=4）=（　　）
A. B. C. D.
4.在的展开式中常数项为6，则a=（　　）
A. ±1 B. 1 C. ±6 D. 6
5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得-1分，记总得分为X，则（　　）
A. E（X）=8 B. E（X）=12 C. D（X）=6 D. D（X）=18
6.计算62025+23-3除以7所得的余数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
7.盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知变量x和变量y的一组成对样本数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点（3.9，3.3），（4.1，3.7），得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本（2.8，m）的残差为-1.3，则m的值为（　　）
A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（　　）
A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法
C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法
D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法
10.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其体温误差，且X～N（0.2，0.32），则下列结论正确的是（　　）
（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X＜μ+σ）=68.27%，P（μ-2σ≤X＜μ+2σ）=95.45%）
A. E（X）=0.2 B. P（X≥0.2）=0.5
C. P（X≥0.5）=0.15865 D. D（X）=0.3
11.若，则下列选项正确的有（　　）
A. a1=-4052
B. 展开式中所有项的二项式系数的和为22026
C. 奇数项的系数和为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，则，中较大的是 .
13.如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法.（用数字作答）
14.一个质点在x轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点O（0，0）出发，移动五次后到达点（3，0）的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列．
（1）求出展开式中的项；
（2）求出展开式中系数最大的项．
16.(本小题15分)
甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐：再从乙罐中随机取出一球.
（1）求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率；
（2）求乙罐中取出红球的概率.
17.(本小题15分)
某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表.
单位：人
体验 性别 合计
青年男性 青年女性
较好 4x+4y 6x+y 200
一般 5x-y 3x+2y 100
合计
（1）求出x,y的值；
（2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小；
（3）依据小概率值α=0.001的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？
参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端午节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若小清、小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
19.(本小题17分)
一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标.数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1～6.
年份代码x 1 2 3 4 5 6
中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4
（1）已知可用函数模型y=a bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a,b的值精确到0.01）；
（2）某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想.参考数据：
e2.848 e0.148 1.167
3.366 73.282 17.25 1.16 2.83
其中vi=lnyi.
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=-.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】144
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由已知可得n=8，
则展开式的通项公式为T=C，r=0，1，...，8，
则展开式的前3项的系数分别为：C，
则2×，解得a=2或14（舍去），
所以通项公式为T，令8-，解得r=6，
所以展开式中含的项为C=；
（2）设第r+1项的系数最大，则，
解得2≤r≤3，则r=2或3，
所以展开式中系数最大的项分别为T=7x5和T=7x．
16.【答案】；
．
17.【答案】x=10，y=20 青年男性有较好体验的概率为，青年女性有较好体验的概率为，且青年男性更大 该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关
18.【答案】解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件A，则，
∴小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为．
（2）若小杰选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为0、600、700、1000，
故X的分布列为：
X 0 600 700 1000
P
∴（元），
若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，
由已知可得，故，
∴E（Z）=E（1000-200Y）=1000-200E（Y）=820（元），
∵E（X）＜E（Z），
∴小杰选择第一种抽奖方案更合算．
19.【答案】解：（1）将y=a bx的等号左右两边同时取自然对数得lny=ln（a bx）=lna+xlnb,
所以v=lna+xlnb,，
而，
所以=，
，
所以，即，
所以；
（2）2023年对应的年份代码为7，
当x=7时，，48.82-48.1=0.72＜1，
所以（1）中求得的回归方程是理想的．
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