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2025-2026学年甘肃省金昌市金川区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列{an}的通项公式，则a5的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. D. 1
2.在等差数列{an}中，a3=3，a5=25，则公差d=（　　）
A. -12 B. 12 C. -11 D. 11
3.已知具有相关关系的变量x,y,它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的回归方程为y=56-1.5x,则m=（　　）
x 26 18 13 10 4 -1
y 20 m 34 38 51 64
A. 24 B. 23 C. 21 D. 22
4.已知函数，则f（-1）=（　　）
A. B. C. D.
5.已知正项数列{an}是公比不为1的等比数列，，则m+n=（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
6.曲线y=f（x）在点x=0处的切线方程为y=2x-1，则f（0）+f′（0）=（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（　　）
A. 2 B. C. D. 3
8.若函数无极值点，则a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（　　）
A. 若f（x）=xsinx+cosx,则f′（x）=sinx-xcosx+sinx
B. 设函数f（x）=xlnx,且f′（x0）=2，则x0=e
C. 已知函数f（x）=3x2ex，则f'（1）=12e
D.
10.已知数列{an}的前n项和，则（　　）
A. a1=3 B. {an}为递减数列
C. 不等式an＞0的解集为有限集 D. 当n=3或4时，Sn取最大值
11.已知函数f（x）=ex-e-x-2cosx,则（　　）
A. f（0）=-2
B. f′（x）=ex+e-x-2sinx
C. f（x）在R上单调递增
D. 不等式f（x）+2＞0的解集为（0，+∞）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l与曲线f（x）=ex+sinx在点（0，f（0））处的切线垂直，则直线l的斜率为 .
13.已知正项等比数列{an}满足a5-a1=15，a4-a2=6，则a6= .
14.已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f′（x）＜2，则不等式f（x）＜2x+1的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x2-alnx+b,且f（1）=1，f（e）=e2-2.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}中，a2=3，a7=8.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求证：数列{bn}的前n项和.
17.(本小题15分)
如表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
年销售量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9
（1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）
（2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查.统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表.
知晓 不知晓 合计
A地区 80 20 100
B地区 40 60 100
合计 120 80 200
试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异.（规定显著水平α=0.05）
附：关于回归方程y=x+，回归系数的计算公式
，其中为样本点的中心；
χ2的计算公式；
P（χ2≥k）=α 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.(本小题17分)
在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2.
（1）求证：数列{an-1}为等比数列；
（2）设bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Sn.
19.(本小题17分)
已知函数．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；
（2）若直线y=x-1是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值及切点坐标；
（3）若函数的图象与y=f（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】32
14.【答案】（1，+∞）．
15.【答案】；
单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）
16.【答案】an=n+1，；
证明见解析．
17.【答案】=1.85x-0.55 A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异
18.【答案】在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2，
∴an+1-1=3（an-1），
∴数列{a，-1}是以a1-1=1为首项，3为公比的等比数列，
∴
19.【答案】解：（1）由得，
当a=1时，x∈（0，e）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，e）上单调递增，
同理，f（x）在（e，+∞）上单调递减，
则函数f（x）的极大值为，无极小值；
（2）设切点为，则切线方程为，即，
故，
消去a得x0-1+lnx0-2x0lnx0=0，
记m（x）=x-1+lnx-2xlnx，则，
记，则，即m′（x）在（0，+∞）上递减，
又m′（1）=0，
则当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，即m（x）在（0，1）上递增，同理m（x）在（1，+∞）上递减，
故m（x）当且仅当x=1时取到最大值m（1）=0，
∴x0-1+lnx0-2x0lnx0=0有唯一解x0=1，
此时a=1，切点为（1，0）；
（3）由题意得，在（0，+∞）上有两个不同的解，即在（0，+∞）上有两个不同的解，
记，则，
①当a≤0时，F′（x）＞0恒成立，函数F（x）在（0，+∞）上递增，
∴函数F（x）至多有一个零点，不合题意，舍去；
②当a＞0时，由F′（x）＞0得，由F′（x）＜0得，
∴函数F（x）在上递减，在上递增，
∴F（x）的最小值，即，
∴，故得a＞2e，
又，
∴F（x）在内有一个零点，
又，设G（x）=lnx-x+1，则，
故G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
故G（x）≤G（1）=0，即lnx≤x-1，
则，即F（2a）＞0，
∴F（x）在内有一个零点，
故实数a的取值范围为（2e，+∞）．
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