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2025-2026学年青海省西宁市城中区虎台中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.下列各组二次根式是同类二次根式的是（　　）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A. a=3，b=4，c=5 B. a2=b2-c2
C. ∠A：∠B：∠C=1：1：2 D. ∠A=2∠B=3∠C
4.勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A. B.
C. D.
5.下列说法正确的是（　　）
A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分
B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形
6.图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3= =A7A8=1，那么OA8的长为（　　）
A. B. 4 C. 3 D. 2
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E，某同学以B为圆心，BD长为半径作弧交BE于点F，连接CF，则四边形CDBF是（　　）
A. 任意四边形
B. 平行四边形
C. 菱形
D. 矩形
8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD上，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转90°至AF，连接BF、EF，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接CG，则有下列结论：①BF=DE；②∠AEF=∠AFE；③CG2=EG FG；④当∠DAE=30°时，.其中正确结论的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10.若一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，则n的值为 .
11.= .
12.已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简的结果为 .
13.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB.如果 ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）.
14.如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB=90°，AD=DF，若AB=5，BC=8，则EF的长为 .
15.如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点A处，它想爬到顶点B处寻找食物，若这个正方体的棱长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为 .
16.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E，AB=4，AD=8，则△AEC的面积是 .
17.如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，若AB=3，BC=4，则FG的最小值 .
18.如图，在梯形ABCD中，AD=8，BC=12.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C往复运动，当点Q回到端点C时，两点都停止运动.设点P，Q的运动时间为t s,在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为 .
三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算下列各式：
（1）；
（2）.
20.(本小题8分)
已知，，分别求下列代数式的值：
（1）a2-b2；
（2）.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E.已知AE=7，AB=20，BC=15，CE=24.
（1）求线段AC的长.
（2）判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由.
22.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，AB=4，AH⊥BC于点H，点E是AH上一点，延长AH到点F，使FH=EH.
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若，则四边形EBFC的面积是______.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连接BF.
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为矩形，并说明理由.
24.(本小题10分)
定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
（1）概念理解
①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有______（一个即可）；
②如图1，A（3，0），B（0，4），请你在图中画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”OAMB.
（2）知识运用
如图2，菱形ABCD是“勾股四边形”，对角线AC、BD交于点O，AD=4，OB⊥OF，则四边形OEBF的面积是______.
（3）拓展应用
如图3，△ABD是正三角形，∠CBE=60°，且BE=BC，∠DCB=30°.求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是“勾股四边形”.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】x≥-1且x≠2．
10.【答案】12
11.【答案】-2-．
12.【答案】c
13.【答案】AB=BC（答案不唯一）．
14.【答案】
15.【答案】．
16.【答案】10．
17.【答案】
18.【答案】或．
19.【答案】解：（1）
=-+3
=2-+3
=4；
（2）
=3-9-（3+1-2）
=3-9-4+2
=2-10．
20.【答案】解：（1）∵，，
∴，
，
∴；
（2）∵，
∴．
21.【答案】25；
直角三角形
22.【答案】∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=HC，
∵FH=EH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴四边形EBFC是菱形 4
23.【答案】∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠ECD，
∵点E是AD的中点，
∴DE=AE，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD，
∴点D是BC的中点 当AB=AC时，四边形AFBD为矩形，理由如下：
∵AF=BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴四边形AFBD为矩形
24.【答案】①正方形；②如图OAMB即为所求； 4 证明：△ABD是正三角形，如图2，连接EC，
∴∠ABD=60°，AB=DB，
∵∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形
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