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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（　　）
A. a2 a3=a5 B. （ab）2=ab2 C. （a3）4=a7 D. a3+a4=a7
2.重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角形结构，该设计可有效防止结构发生变形.其主要利用的数学原理是（　　）
A. 三角形任意两边之和大于第三边
B. 两点之间，线段最短
C. 三角形具有稳定性
D. 三角形内角和为180°
3.下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D. 太阳从东方升起
4.如图，点B，B′，C，C′在同一直线上，已知∠ABC=∠A′B′C′，BB′=CC′，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（　　）
A. AB=A′B′
B. AC=A′C′
C. ∠BAC=∠B′A′C′
D. ∠ACB=∠A′C′B′
5.下列说法正确的是（　　）
A. 三角形三条中线的交点一定在三角形的外部
B. 三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和
C. 三角形的任意两边之差大于第三边
D. 全等三角形对应边上的高相等
6.下列算式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A. （2+x）（2+x） B. （-2+x）（2-x）
C. （2+x）（2-x） D. （2+x）（-2-x）
7.若关于x的二次三项式x2+2（k-2）x+9是一个完全平方式，则常数k的值是（　　）
A. 5或-1 B. 5 C. -1 D. -5或1
8.如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为-3，则输出的结果为（　　）
A. -1 B. 1 C. 3 D. -3
9.，若（x+2）*3=5，则x的值为（　　）
A. B. 1 C. 1或 D. -1
10.如图所示，图案由黑白正方形组成，其中第①个图中有8个白色正方形，第②个图中有13个白色正方形，第③个图中有18个白色正方形…按照这一规律，则第⑨个图中白色正方形的个数是（　　）
A. 42 B. 44 C. 46 D. 48
11.如图，AC=BD=CD，AC交BD于点O，点I是△CDO角平分线的交点，连接DI，AI，CI，连接BI交AC于点E，∠DIC+∠AIB=180°，若∠ODC=α，则∠IEC=（　　）
A. α
B.
C.
D. 2α-90°
12.已知整式，其中n,an-1，…，a1，a0为正整数，满足an-1＞…＞a1＞a0，且n+an-1+…+a1+a0≤15.下列说法：
①当n=2，a0=3时，满足条件的整式M有7个；
②若n=3，a0≥2，则满足条件的所有整式M的和为7x3+38x2+24x+15；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式M共有2个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
13.2026年国产AI心电芯片识别异常的延迟仅0.000003秒，数据0.000003用科学记数法表示为 .
14.已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为 .
15.若am=2，an=6，则a2m+n= .
16.图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段AB，其像可视为线段CD，光线AC与光线BD交于小孔点O.已知点O到像CD的距离OE与点O到蜡烛火焰AB的距离OF相等，且点E，O，F三点共线.像的高度CD为2cm,则蜡烛火焰AB的高度为 cm.
17.南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”.现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是 .
18.如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是△ACD的高，∠ABC=42°，∠ADC=∠ACD，则∠DCE= °.
19.若关于x的多项式（x+9）（x2-ax+b）化简后的结果不含x项，则= .
20.如图，在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE=90°，∠BAC=∠EAD，AB=AE，线段ED的延长线交BC于点F，连接AF.若S△AEF=12，AC=4，，则线段BF的长度为 .
21.已知x2-x=4，则x3-5x2+2026的值为 .
22.如图，△ADF的面积为3，BE=3CE，EF=2AF，则△ABC的面积为 .
23.如图，在△ABC中，CF平分∠ACB交AB于F，AE平分∠BAC交BC于点E，AE，CF相交于点G，AD⊥CF交CF的延长线于点D，连接BD，取AB的中点H，连接EH，DH.当AC≠BC时，下列结论：①∠CBA=2∠GAD；②C四边形ADBE＞2（EH+DH）；③AD=BD；④若AC=AF+CE，则∠CGE=60°.其中正确的是 （只填序号）.
24.一个四位自然数N的各个数位上的数字互不相等，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“麒麟数”.将N的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数N′，记，则H（9568）= ；若“麒麟数”M=1000a+100b+150c+d-197（a,b,c,d均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤5，3≤c≤4，0≤d≤6），记M的各个数位上的数字之和为Q（M），若Q（M）为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有M的值之和为 .
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.(本小题4分)
.
26.(本小题4分)
xy2 （-x2y3）+（2y3）2-4y8÷y2.
27.(本小题4分)
a（6-b2）+（ab-2）（3a+b）.
28.(本小题8分)
先化简，再求值：[（2x+3y）2+（x-y）（3y-x）-x（3x+y）]÷3y,其中，y=1.
29.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC上有一点D满足BD=AC.
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点D在BD上方作∠BDM=∠CAB，射线DM交AB于点F；在射线DM上截取线段DE使DE=AB，连接BE.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中的条件下，证明：BF⊥DE.请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据.
证明：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（SAS），
∴∠DBE=∠ACB=90°，∠BED=∠CBA（②______），
∵∠DBE=∠CBA+∠EBF=90°，
∴③______+∠EBF=90°，
在△BEF中，∠BEF+∠EBF+∠BFE=180°，
∴④______，
∴BF⊥DE.
30.(本小题8分)
如图，在五边形ABCDE中，F是边CD上的点，连接AF，满足AB=AF且BC=FC.
（1）证明：∠CAB=∠CAF.
（2）若，∠AFC=85°，∠DAE=15°，求∠ADF的度数.
31.(本小题10分)
某返乡创业电商团队采用“双品联动、组合带货”的直播运营模式，每场直播同时售卖永川秀芽、涪陵榨菜两款助农产品.经团队前期调研，双品联动模式下两款产品的运营数据如下：
A.永川秀芽：其有效订单量为m（m≥0，单位：十单，即m=1代表本场成交10单），每10单销售收入为（220-4m+n）元，每10单的变动运营成本为（40+2m）元.
B.涪陵榨菜：其有效订单量为n（n＞0，单位：十单，即n=1代表本场成交10单），每10单销售收入为（190+3n）元，每10单的变动运营成本为（30+7n+m）元.
C.每场双品联动直播的固定运营成本为1200元.
请结合上述材料，完成下列问题：
（1）请用含m,n的代数式表示本场直播的总净利润W，并将结果化为最简形式；
（2）当本场直播总净利润为1750元时，求出此时m,n的值.
32.(本小题10分)
利用若干个长与宽分别为a,b的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式.
（1）由图1得到的等式是______；由图2得到的等式是______.
（2）根据（1）中的结论，若（2027-x）（x-2021）=8，则4（2024-x）2=______.
（3）将正方形ABCD和正方形EFGH如图3所示方式摆放，点B，F，G，C在同一条直线上，点M，F分别是FG，BC中点，连接BD，BE，ED，EG，EM，BM=10，S△BFE=9，根据（1）中的结论求△BED与△EMG的面积差.
33.(本小题10分)
等腰直角三角形是顶角为90°，底角为45°的等腰三角形.△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°.
（1）如图1，D为△ABC外一点，E为△ABC内一点，连接BD，AD，BE，CE，若∠DBE=90°，BD=BE，其中∠BEC=120°，∠BAD=40°，求∠DBA的度数.
（2）如图2，点D为线段AB上一点，连接CD.以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，取DE的中点F，连接BF并延长交CE于点G.求证：BG∥AC.
（3）如图3，点D为直线AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE，AE与直线BC交于点F，当BC=4，BC=3BF时，在线段CD上取一点K满足DB=DK，点L，H分别在线段BD与线段DK上运动，始终满足BL=DH，当BH+KL取最小值时，过点L作AB的垂线l,l上有一动点S，将BS绕点B顺时针旋转90°得到BT，当AT取最小值时，直接写出△ATC的面积.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】B
13.【答案】3×10-6．
14.【答案】5．
15.【答案】24．
16.【答案】2．
17.【答案】．
18.【答案】16．
19.【答案】9．
20.【答案】．
21.【答案】2010．
22.【答案】132．
23.【答案】①②④．
24.【答案】3
6969．

25.【答案】4．
26.【答案】-x3y5．
27.【答案】3a2b-2b．
28.【答案】5x+2y；3．
29.【答案】图形如图所示：
全等三角形的对应角相等;∠BED;∠BFE=90°
30.【答案】在△ABC和△AFC中，
，
∴△ABC≌△AFC（SSS），
∴∠CAB=∠CAF 70°
31.【答案】W=-6m2-4n2+180m+160n-1200 m的值为15，n的值为20
32.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=（a+b）2-4ab 4 62
33.【答案】20° 如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交BG于点I，
∴∠EHC=∠EHB=90°，
∵△ECD是等腰直角三角形，
∴CD=EC，∠ECD=90°，
在△EHC中，∠EHC=90°，
∴∠HEC+∠ECH=90°，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD=90°，
∴∠HEC=∠BCD，
在△EHC和△CBD中，
，
∴△EHC≌△CBD（AAS），
∴HC=BD，HE=BC，
∵BC=BA，
∴DA=BH，
∵∠EHB=∠CBD=90°，
∴BD∥EH，
∴∠BDE=∠FEH，
∵点F为DE的中点，
∴DF=FE，
在△DFB和△EFI中，
，
∴△DFB≌△EFI（ASA），
∴EI=BD，
∴IH=DA，
∴IH=BH，
∵∠EHB=90°，
∴∠IBC=45°=∠BCA，
∴BG∥AC 或
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