资源简介

2026 年初中毕业生学业水平调测
数 学
考生注意：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 6页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷
和答题纸规定的位置上。
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本
试题卷上的作答一律无效。
4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。
选择题部分
一、选择题(本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题列出的四个选项中只有一个是
符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1.科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是(▲)
1 1
A.“常压下水的沸点是 100℃”中的 100 B.“氧气在空气中的占比约为 5”中的 5
C.“月球公转周期 27天”中的 27 D.“圆周率π”中的π
2.下列常见汽车标志中，是轴对称图形的是(▲)
3.2025年上半年，全省一般公共预算支出 6334.26 亿元.6334.26 亿用科学记数法可表示为(▲ )
A.6.33426×10 B. 6.33426 × 1011
C. 6.33426 × 1012 D. 0.633426 × 1012
4.如图,直线 a∥b,直线 c 与 a, b 分别交于点 A, B,若∠1=55°,则∠2 的
度数是(▲)
A.35° B.55° C.125° D.145°
数学试卷 第 1 页(共 6 页)
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5.《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何 译
文：若 3 人坐一辆车，则两辆车是空的；若 2 人坐一辆车，则 9 人需要步行.问：人与车
各多少 设有 x辆车，人数为 y，根据题意可列方程组为(▲)
{ = 3( 2)A. = 2 + 9 B. {
= 3 2
= 2 9
{ = 3( 2) { = 3 2C. = 2 9 D. = 2 + 9

6.已知反比例函数 = 的图象上有点(-2, m), (-1, n),且 m
A.-2 B.0 C.1 D.2
7.一根弹簧在不受力时，长度为 3cm.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x
(kg)满足一次函数关系 y=kx+3(k≠0).已知当物体的质量每增加 3kg时，弹簧的长度就相
应增加 6cm,则 k 的值为(▲ )
A. - 3 B. - 2
C. 2 D. 3
8.如图, △ABC 和△ADE 都是等边三角形, ∠BEC=35°,则∠DBE 的度数
为( ▲ )
A.90° B.95° C.100° D.105°
9.为选拔兴趣小组成员,现将筛选出 10 名同学的成绩整理如下: 85, 88, 90, 90, 92, 92,
92,95，98，100.后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数
据中.对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是(▲)
A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数
10.如图,在矩形 ABCD 中, AB=8, AD=6.点 E 为 AD 的中点,点 F 为 AB 边上的动点,连结 EF，
作点 A关于 EF 的对称点 G，连结 CG，则点 F从点 A运动到点 B 的过程中，CG 的最大值与
最小值之和为(▲)
A. 3 + 73 B. 7 + 73
C. 2 73 D. 10 + 73
数学试卷 第 2 页(共 6 页)
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非选择题部分
二、填空题(本大题共 6小题，每小题 3分，共 18 分)
11.因式分解： 2 9 = .
―
12.一个不透明的袋子里有 3个红球和 2个白球，除颜色外完全相同，小红从袋子中随机摸一
个球，摸到红球的概率是 ▲ .
13.如图,AB 是⊙O的直径, 直线 CD 切⊙O 于点 C, 连结 AC, 若∠ACD=40°, 则∠BAC 的度数
为 ▲ .
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 和矩形 DEFG 位似，位似中心为点 O.已知点 A，D,
G 都在 x轴上,且点 B 的坐标为(4,4).若 E 为 CD 的中点,则点 F的坐标为 ▲ .
15.某校的电动伸缩门(如图 1)每行由 20 个完全相同的菱形构件依次铰接组成(示意图如图
2)，每个菱形的边长为 0.3m.当菱形内角α的度数从 120°缩小到 60°时，伸缩门的总长
度缩小了约 ▲ m.(结果精确到 0.1m, 3 ≈ 1.73)
16.如图, 在△ABC 中, ∠ABC=135°, AB=4, BC=4 2 过点 B 作 BD⊥AB,垂足为点 B,交 AC
于点 E.若点 P为射线 BD上一点(不与点 B，E重合)，连结 AP，点 F为 AP 的中点, 连结 E
F, 且 EF=2.5, 则 tan∠PAB = ▲ .
数学试卷 第 3页 (共 6页)
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三、解答题(本大题共 8小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8 分)计算: ∣ 3∣ + 12 3 0.
2 + 3 < 5,
18.(8 分)解不等式组: { 1 > 4.
2
19.(8 分)某中学在九年级组织了一次 AI 知识竞赛活动，成绩分为四个等第：A.一般，B.
合格，C.良好，D.优秀.为了解本次活动的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整
理后绘制成如图所示的不完整统计图：
某中学九年级 AI 知识竞赛活动成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)老师随机抽取了 ▲ 名学生的成绩，这部分学生中 B等第的人数为 ▲ .
(2)求出 m的值.
(3)已知等第为 D 的优秀同学可以在本次竞赛中获奖，请估算九年级 500 名参赛学生中
的获奖人数.
20.(8 分)如图，在 ABCD 中，以点 B 为圆心，适当长为半径作圆弧，与 AB，BC 分别交于
点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点 G，连结 BG 并延
长交 AD 于点 E.已知 AB=3, F 为 BC 上一点,满足 CF=CD,连结 DF.
(1)求 AE 的长.
(2)求证：四边形 BEDF 是平行四边形.
数学试卷第 4页(共 6页)
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21. (8 分)春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉
盛宴.其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 h(米)与无人机飞行的时间 t(秒)之
间的函数关系如图所示.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20 米高的平台起飞，两
架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动
作后，再继续按原速飞行上升.两架无人机同时上升至距离地面 100 米处，并进行联合表演，
表演完成后以相同的速度同时返回地面.
请结合图象解答下列问题：
(1)求两架飞机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度.
(2)求甲无人机第一次表演的时长.
22. (10 分)根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次
方程的正根.如图，将四个长为 m，宽为 n 的长方形纸片和一个小正方形 ABCD 拼成一个大正方
形 EFGH.
(1)求解方程 x(x+5)=6 的正根，可令 m=x+5，n=x，则图中每个长方形的面积为 6.
①小正方形 ABCD，大正方形 EFGH 的面积各是多少
②利用大正方形 EFGH 的边长，请你求出方程 x(x+5)=6 的正根.
(2)小明用此方法求关于 x 的方程 x(3x+t)=14(t 为常数，且 t>0)的正根，构造了同样的图
形，已知小正方形的面积为 25，求 t的值.
数学试卷 第 5 页(共 6页)
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23.(10 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 3 (b 为常数)与 x 轴正半
轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，对称轴直线 x=1 与 x 轴交于点 C.点 P 为抛物线上第一
象限内的动点，设 P 点的横坐标为 m.
(1)求 b 的值.
(2)当 0≤x≤m 时,记二次函数 = 2 + + 3 的最大值、
最小值分别为 s, t.若 s-t=0.5,求 m 的值.
(3)过点 P 分别作 x 轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，
E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标.
24.(12 分)如图,在正方形 ABCD 中, P 为 BC 边上一点(不与点 B, C 重合) ,连结 AP,以 AP
为直径作圆，交对角线 BD于点 E，连结 AE 并延长交 CD 于点 F，连结 PF.已知 AB=4.
(1)若 BP=3,求线段 AE 的长.
(2)求证: ∠APF=∠AEB.
(3)设 BP=x,记△ABE 与△ADE 的面积差为 y,试确定 y 与 x 的函数关系式.
数学试卷 第 6页(共 6 页)
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2026 年初中毕业生学业水平调测
数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分)
1. D 2. A 3. B 4. B 5. A
6. A 7. C 8. B 9. D 10. B
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18分)
11. (x+3)(x-3) 12. 35 13. 50°
14. (1, 2) 15. 4.4 16. 14或 7一 4
三、解答题(第 17-21 题每题 8分,第 22,23 题每题 10 分,第 24 题 12 分,共 72 分)
17. 解:原式 = 3 + 2 3 1································6 分
= 2 + 2 3.····································2 分
2 + 3 < 5①
18. 解: { 1 > 4②
2
由①可得 x<1,······································ 3 分
由②可得 x>-7,···································· 3 分
所以不等式组的解集为-719. 解: (1) 50; 16.···········································4 分
(2) 40.······················································ 2 分
3 2 × 500 = 20 (人).····························50 2 分
20. 解: (1)由题意得 BE 平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE, 1 分因为
ABCD 中 AD∥BC,所以∠AEB=∠CBE, 1 分所以∠A
BE=∠AEB, 1分所以 AE=AB=3.
1 分
(2)因为 ABCD中 AD=BC, AB=CD,
又因为 CF=CD,所以 CF=AB,····················· 1 分
由(1)得 AE=AB,所以 AE=CF,·················· 1 分
所以 AD-AE=BC-FC,即 DE=BF, 1分
因为 DE∥BF，所以四边形 BEDF 是平行四边形.············1 分
(用其他方法证明正确得相应分)
数学参考答案 第 1页(共 4页)
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······ 2 分
21. 解: ( 1)由图可知,两架无人机联合表演时长: 30-20=10秒,乙无人
······
100 20 2 分
机上升时的飞行速度： 20 = 4 米/秒.
2 60( )法一：甲无人机的速度： = 10 米/秒，··························6 1 分
再上升 40 40米需要时间： = 4 秒，·································10 1 分
所以 a=20-4=16,·······························································1 分
所以甲无人机第一次表演时长：16-6=10 秒.·················· 1 分
60 100 60
法二：因甲无人机前后两次上升速度相同，所以 6 = 20 , 2 分得 a=
16, 经检验, a=16 是原方程的根. 1 分所以甲无人机第一次表演
时长：16-6=10 秒. 1 分
22.解: (1) ①小正方形 ABCD的面积: 25. 2分
大正方形 EFGH 的面积: 49. 2分
②由(1)得 EF=7=2x+5,解得 x=1.
即方程 x(x+5)=6的正根为 x=1. 3分
2 + = 5,
(2)由题意得 { 2分
4 + = 4 × 14+ 25
解得 t=1. 1分
23. 解: (1)由 = = 1, b=2. 3
2 2× 1
得 分
(2)由( 1)得 = 2 + 2 + 3, 另 y=0,得 x =-1, x =3,所以 0种情况：
①若 0因为 s-t=0.5,所以 2 + 2+ 3 3 = 0.5,
= 1 + 2 = 1 2解得 1 2 (舍去), 2 .2 1分
②若 1≤m<3,则 1≤x<3,当 x=1时, ymax=s=4; 因为 s-t=0.5, 所以 t=3.5.又因
为当 x=0时，y=3<3.5，所以该情况不存在满足条件的点 P.
数学参考答案 第 2页(共 4页)
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综上所述， = 1 2 . 1 分
2
(3)由题意得 P(m, - m +2m+3),E(1, - m +2m+3),设矩形
PECD 的周长为 L，则：
①点 P 在对称轴左侧时，如图，
2
= 2 1 2 + 2+ 3 = 2 1 + 17 , = 1
2 时 L 最大.2 2
1 15当 L 最大时，点 . ……2 分
2 4
3 15
②点 P 在对称轴右侧时，根据对称性得 .2 4
1 15 3 15
所以点 P 坐标为 2 4 或 2 4 . ……2 分
24. (1) 解: 连结 EP.因为 AP 为直径, 所以∠ABP=∠AEP=90°. ……1
分因为 BP=3, AB=4, ∠ABP=90°,所以 AP=5. 1 分因为
BD 是正方形 ABCD 的对角线，所以∠ABD=45°,所以∠APE=∠ABD=
5 2
45°…1 分又因为 AP=5,∠AEP=90°,所以 = . 1
2
分
第 24题
(2) 证明: 如图, 延长 FD 至点 Q, 使得 DQ=BP, 连结 AQ, EP.因
为在正方形 ABCD 中, AB=AD, ∠ABP=∠ADF=90°=∠ADQ,又
因为 DQ=BP, 所以△ABP≌△ADQ(SAS). ……1 分所以∠1
=∠3, ∠APB=∠AQF, AP=AQ.因为∠AEP=90°, ∠APE=45°,
所以∠PAE=45°,所以∠1+∠2=45°.所以. ∠3 + ∠2 = 45 =
∠,又因为 AP=AQ, AF=AF,所以△APF≌△AQF(SAS),
2 分所以∠APF=∠AQF=∠APB,又因为∠APB=∠AEB, 所以
∠APF=∠AEB. ……1 分
(3)法一:如图 1,连结 EP,EC, 过点 E 分别作 BC, CD 的垂线, 交 BC, CD 于点 G,H,
过点 A 作 BD 的垂线, 交 BD 于点 I.
因为 AB=4, ∠ABD=45°, 所以 AI=2 2.……1 分
数学参考答案 第 3 页(共 4 页)
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因为 EG⊥BC, EH⊥CD, CD⊥BC,
所以四边形 EGCH 是矩形，
所以 EH=GC, EH∥GC.
由正方形的轴对称性可知 AE=CE,由(1)已知 AE=EP,
所以 EP=EC,又因为 EG⊥BC,
所以 PG=CG=EH. ……1分
因为∠DBC=45°, EG⊥BC,所以 = 2.
同理 = 2.
所以 = 2 2 = 2 = 2 = 2. 1 分
所以 = 1 1 1△ △ = ( ) = × × 2 = × 2 2 × 2 = 2.2 2 2
即 y=2x. ……1分
法二:如图 2,延长 FD 至点 Q,使得 DQ=BP,连结 AQ, EP.
过点 A 作 BD 的垂线，交 BD 于点 I.
因为 AB=4, ∠ABD=45°,所以 = 2 2. 1 分
由(2)已知△APF≌△AQF,所以 PF=QF.
不妨设 DF=a,因为 DQ=BP=x,所以 PF=QF=a+x.
因为 CD=BC=4,所以 PC=4-x, CF=4-a,
又∠C=90°,故 2 + 2 = 2,即 4 2 + 4 2 = + 2,得 = 16 4 .
+4
因为 AB∥CD,所以∠ABE=∠FDE, ∠BAE=∠DFE,
= = 4 = 4 +4 = +4 +4所以△ABE∽△FDE,所以 ··················· 16 4 4 .所以 = 8 . 1 分
因为∠BAD=90°, ∠ABD=45°, AB=4,
= 4 2, = +4, = 4 所以 所以 , 1 分
8 8
+4 4
所以 = = 2.
8 8
所以 = △
1
△ = × 2 2· 2 = 2. ……1分2
(用其他方法求解正确得相应分)
数学参考答案 第 4页(共 4页)
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