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北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形3 探索三角形全等的条件 分层练习
三角形的稳定性
1、给出下列图形：其中具有稳定性的是（　　）
A.① B.③ C.②③ D.②③④
2、小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（ ）
A.三角形的内角和为 B.两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短
3、下列图形中，所有不具有稳定性的图形序号是 ．

4、要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？并画出图形.
5、列举生活中运用三角形稳定性的案例.
边边边（SSS）公理
1、如图，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（　　）.
A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB=BC
2、已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（　　）
A.∠ACD=∠BDC B.∠ACO=∠BCO C.CD平分∠ACD和∠ADB D.AB平分∠CAD和∠CBD
3、如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ．
4、如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ．

5、已知：如图，点，在线段上，，，．
(1)
(2)若，求的度数．
6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；
（2）AE∥CF．
角边角（ASA）公理
1、如图，已知，E为的中点，若，，长为（ ）cm．
A.6 B.7 C.12 D.13
2、如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　）
A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO
3、如图，OA=OB，用ASA判定△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是_________．
4、如图，在四边形中，点E在边上，且，．
求证．
5、如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：．
角角边（AAS）定理
1、如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别为和，则的长为（ ）
A.5 B.4 C.6 D.3
2、如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（　　）

A. B. C. D.
3、如图，在与中，，若，则的长为 ．
4、如图，中，，，于，于，，，则 ．
5、图中的两个三角形全等吗？请说明理由.
边角边（SAS）公理
1、如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（ ）
A. B. C. D.
2、如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3、如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A. B. C. D.
4、在如图所示的正方形网格中，等于 ．

5、如图，在和中，，，，则 ．
6、为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？
7、如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.请说明
(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠CBF＝∠FEC.
添加适当条件判定三角形全等
1、如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
2、如图，在和中，点在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，点是中点，，添加一个条件 ，使．

4、如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案）
5、如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得．
①；②；③；④．
(1)你添加的条件是________．（填序号，只填一个）
(2)请利用你所添加的条件证明：．
6、如图，，，，在同一直线上，，，下列四个条件：
① ② ③ ④；
选择其中一个并证明与全等
全等三角形的判定与性质的综合
1、如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ）
A.甲和乙 B.只有甲 C.只有乙 D.只有丙
2、在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（ ）

A. B. C. D.
3、如图所示，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的、两点位置时，形成的和中有，，，则与 （选填“全等”或“不全等”），这说明

4、如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有 对；
5、如图，C是线段AB的中点，∠D=∠E，∠A=∠B.请在图中找出两对全等三角形，并说明理由.
尺规作图——作三角形
1、已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.②③①
2、如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ）
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2.按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接AP交BC于点F.
则∠CAF＝________°.
4、如图，已知，线段，求作，使得．
作法：
（1）作线段 ；
（2）在的同旁，作 ，作 ，与交于点 ，故就是所求作的三角形．
5、如图是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在中，，，点D在上．
(1)作图探讨：在外侧，以为边作；
小明：如图①，分别以B，C为圆心，以为半径画弧交于点E，连接，．则即为所求作的三角形．
小军：如图②，分别过B，C作的垂线，两条垂线相交于点E，则即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出的依据是______，小军得出的依据是______；（填序号）
① ② ③ ④
(2)测量发现：如图③，在（1）中的条件下，连接兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至F点，使，连接．请你完成证明过程．
6、先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形（不写作法，但要在所作的三角形中标出用到的条件）．
北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形3 探索三角形全等的条件 分层练习（参考答案）
1三角形的稳定性
1、给出下列图形：其中具有稳定性的是（　　）
A.① B.③ C.②③ D.②③④
【答案】C
【解析】解：②③均是由三角形构成的图形，具有稳定性．
故选：C．
2、小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（ ）
A.三角形的内角和为 B.两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短
【答案】C
【解析】解：三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：C．
3、下列图形中，所有不具有稳定性的图形序号是 ．

【答案】③．
【解析】解：具有稳定性的是①和②，而③不具有.
故答案为：③．
4、要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？并画出图形.
【答案】解：如图所示：
图①四边形木架至少需要钉上1根木棍；
图②五边形木架至少需要钉上2根木棍；
图③六边形木架至少需要钉上3根木棍．
5、列举生活中运用三角形稳定性的案例.
【答案】解：
在生活中，三角形的稳定性有着广泛的应用，如：
2边边边（SSS）公理
1、如图，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（　　）.
A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB=BC
【答案】D
【解析】解：可构造辅助线连接AC或BD，这样利用SSS可以得到全等三角形，从而判定前三个选项是正确的，不一定正确的是D.
2、已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（　　）
A.∠ACD=∠BDC B.∠ACO=∠BCO C.CD平分∠ACD和∠ADB D.AB平分∠CAD和∠CBD
【答案】A
【解析】解：在△ACD和△BCD中AC=BC,AD=BD,CD=CD ，
∴△ACD≌△BCD
∴∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠BDC，
∴故选项B、C、D不符合要求； 根据已知不能推出∠ACD=∠BDC，故本选项正确；
故选A．
3、如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ．
【答案】.
【解析】解：在和中，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
4、如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ．

【答案】/56度
【解析】解：根据作图过程可知：
，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5、已知：如图，点，在线段上，，，．
(1)
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1）.
理由如下：∵，
．
在和中
．
（2），
，
．
6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；
（2）AE∥CF．
【答案】解：
（1）因为在△ADE和△CBF中AE=CF,AD=BC,DE=BF，
所以△ADE≌△CBF（SSS），
所以∠D=∠B．
（2）因为△ADE≌△CBF，
所以∠AED=∠CFB，
因为∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，
所以∠AEO=∠CFO，
所以AE∥CF．
3角边角（ASA）公理
1、如图，已知，E为的中点，若，，长为（ ）cm．
A.6 B.7 C.12 D.13
【答案】B
【解析】解：，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：B．
2、如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　）
A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO
【答案】A
【解析】解：添加∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴AO=BO，在△ACO和△BDO中，
∠A=∠B,OA=OB,∠AOC=∠BOD ，∴△OAC≌△OBD（ASA），故选A．
3、如图，OA=OB，用ASA判定△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是_________．
【答案】∠A=∠B
【解析】解：要使△OAC≌△OBD，已知OA=OB，图中有公共角∠O=∠O，具备了一组边和一组角对应相等，要用ASA判定全等，只要使∠A=∠B.
4、如图，在四边形中，点E在边上，且，．
求证．
【答案】证明： ，，
，
在与中，
，
，
．
5、如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：，
．
，
，即．
又，
．
4角角边（AAS）定理
1、如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别为和，则的长为（ ）
A.5 B.4 C.6 D.3
【答案】A
【解析】解：由题意，得：，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴；
故选A．
2、如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：在长方形中，，，
由折叠得，，
∴，，
在和中，
，
∴（），
故选：．
3、如图，在与中，，若，则的长为 ．
【答案】4
【解析】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：4．
4、如图，中，，，于，于，，，则 ．
【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，，
．
故答案为：．
5、图中的两个三角形全等吗？请说明理由.
【答案】解：全等.理由如下：如图.
在和中，
，
.
5边角边（SAS）公理
1、如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：延长至点，使，连接，
∴，
∵点是的中点，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴线段的长度有可能是．
故选：C．
2、如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形网格对角线，
∴，
∴，
故选：．
3、如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
，
，
在与中，
，
，
，
则
壁虎以的速度B处往处爬，
．
故选：C．
4、在如图所示的正方形网格中，等于 ．

【答案】.
【解析】解：观察图形可知与所在的三角形全等，两角互余，与所在的三角形全等，两角互余，，
∴，，，
∴．
故答案为：．
5、如图，在和中，，，，则 ．
【答案】
【解析】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
6、为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？
【答案】解：小明不用测量就能知道EH=FH．
理由：在△HED和△HFD中
∵DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，DH＝DH，
∴△HED≌△HFD（SAS），
∴EH=FH．
7、如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.请说明
(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠CBF＝∠FEC.
【答案】理由：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.
又∵AF＝CD，
∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A＝∠D，AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.
在△FBC和△CEF中，BC=EF，∠ACB＝∠DFE，FC=CF,
∴△FBC≌△CEF(SAS)．
∴∠CBF＝∠FEC.
6添加适当条件判定三角形全等
1、如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
，
A、，
和不一定全等，故A不符合题意；
B、，
，故B符合题意；
C、，
和不一定全等，故C不符合题意；
D、，
，
，
和不一定全等，故D不符合题意；
故选：B．
2、如图，在和中，点在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A．当时，不能证明，故该选项符合题意；
B．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意；
C．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意；
D．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意．
故选A．
3、如图，点是中点，，添加一个条件 ，使．

【答案】或（答案不唯一）
【解析】解：点是中点，
，
，
当时，
，
当时，
，
故答案为：或（答案不唯一）．
4、如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案）
【答案】（或）
【解析】解：由题意可得：，，
添加：，根据可得；
添加，根据可得；
故答案为：（或）．
5、如图，已知，，请你从以下条件中选择一个，使得．
①；②；③；④．
(1)你添加的条件是________．（填序号，只填一个）
(2)请利用你所添加的条件证明：．
【答案】（1）解：可以添加的条件是①或③或④；
故答案为：①（或③或④）．
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加的条件①时，
∵在和中，
∴；
添加的条件③时，
∵在和中，
∴；
添加的条件④时，
∵在和中，
∴．
6、如图，，，，在同一直线上，，，下列四个条件：
① ② ③ ④；
选择其中一个并证明与全等
【答案】解：选②，
证明： ，
，
，
，即，
在和中，
，
；
选③，
证明： ，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
．
7全等三角形的判定与性质的综合
1、如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ）
A.甲和乙 B.只有甲 C.只有乙 D.只有丙
【答案】B
【解析】解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等；
乙三角形夹内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等；
丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定乙与全等；
则不能证明和 全等的是甲，
故选：B
2、在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
由判定，
故选：A.
3、如图所示，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的、两点位置时，形成的和中有，，，则与 （选填“全等”或“不全等”），这说明

【答案】不全等；两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等
【解析】解：在和中有，，，则和不全等，
这说明：两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等
故答案为：不全等，两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等
4、如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有 对；
【答案】4
【解析】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上，共有4对全等三角形；
故答案为：4．
5、如图，C是线段AB的中点，∠D=∠E，∠A=∠B.请在图中找出两对全等三角形，并说明理由.
【答案】解：根据题意，可得 ，.
理由如下：
∵C是线段AB的中点
∴AC=BC(线段中点的定义)
在和中，
，
.
∴∠ACE=∠BCD
∴∠ACE-∠DCE=∠BCD-∠DCE
∴∠ACG=∠BCF
在和中，
，
.
8尺规作图——作三角形
1、已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.②③①
【答案】C
【解析】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形．
故选：C．
2、如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ）
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
【答案】B
【解析】解：由作法可知，，，
，
，
，
故选：B．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2.按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接AP交BC于点F.
则∠CAF＝________°.
【答案】30
【解析】连接EP，DP，根据作图步骤，得在△AEP和△ADP中，AD=AE,PD=PE,AP=AP
∴△AEP≌△ADP(SSS)，
∴∠CAF＝∠DAP
∵∠BAC＝60°
∴∠CAF＝∠DAP=30°
4、如图，已知，线段，求作，使得．
作法：
（1）作线段 ；
（2）在的同旁，作 ，作 ，与交于点 ，故就是所求作的三角形．
【答案】c，．
【解析】解：先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形．
故答案为：c，．
5、如图是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在中，，，点D在上．
(1)作图探讨：在外侧，以为边作；
小明：如图①，分别以B，C为圆心，以为半径画弧交于点E，连接，．则即为所求作的三角形．
小军：如图②，分别过B，C作的垂线，两条垂线相交于点E，则即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出的依据是______，小军得出的依据是______；（填序号）
① ② ③ ④
(2)测量发现：如图③，在（1）中的条件下，连接兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至F点，使，连接．请你完成证明过程．
【答案】解：（1）由小明的作法可知，，，
在和中，
，
，
即小明得出的依据是①，
由小军的作法可知，，
即，，
又，
，
即小军得出的依据是③，
故答案为：①；③；
（2）如图③，延长线段至F点，使，连接，
则是的中线，
，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，
6、先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形（不写作法，但要在所作的三角形中标出用到的条件）．
【答案】解：如图所示：
△EDF≌△ABC（SAS）．

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