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人教版（2024）八年级下 第21章 四边形 单元训练
一．选择题（共12小题）
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，在△ABC中，D和E分别是边AB和AC的中点，BC=6，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，若BD=3，则AC的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF．若AC=9，BF=5，则CE的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
5．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，若AB=2，AD=4，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若BC=2，，则CE的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．如图，PQ是△ABC的中位线，M是PQ的中点连接CM并延长，与AB边交于点N，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD于H，交BC的延长线于点F，连接DF，若CF=2，BD=4，则DF的长是（　　）
A．4 B． C． D．
9．如图，△ABC中D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，AF⊥CF，若BC=14，DF=1，则边AC的长是（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
10．如图，在四边形ABCD中，点R，P分别是BC，CD上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
11．如图，在 ABCD中，AB=12，AD=5，过点D作DE⊥AB于点E，且BE=2AE．点P在AB上，连接CP，过点D作DF⊥CP于点F，则DF的最大值为（　　）
A．4 B． C． D．
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E在对角线BD上，且DE=2BE，连接CE并延长，交AB边于H点，过D作DF⊥CE于F，连接BF．G为DF上一点，且DG=CF，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在菱形ABCD中，BD=8，AC=5，则菱形ABCD的面积为______．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，点F在AD上，且AF=2，连接EF，点G为EF的中点，连接BG并延长，交AD于点H，连接CH，则CH的长为______．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠BOC=136°，则∠CDE的大小是______°．
16．（2026 市北区二模）如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，连接OE，若∠CAE=15°，则∠OEA=______°．
17．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，M为对角线AC上一动点，过点B作直线DM的垂线，垂足为点N，则的最大值是______．
三．解答题（共5小题）
18．（2026春 天河区校级期中）如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF是∠DAB的平分线，当AD=6，AE=4时，求△ABF的面积．
19．如图所示， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，DE是AB边上的高，∠OAB=∠BDE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAD=60°，AB=4，求四边形ABCD的面积．
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD，CD于点F，M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N，P，连接MP．
（1）求证：AM=PN；
（2）求证：；
（3）若P是BC中点，AB=3，求EM的值．
21．（2026春 东阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB=2AD，连接DE，DF，AE，EF，DE交AF于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分．
（2）若AB=6，BC=10，求DO的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC平分∠DCB，点P是AC上一点，连接DP并延长分别交BC和AB的延长线于点E和点F．
（1）证明：四边形ABCD是菱形；
（2）若，，求BP的长．
人教版（2024）八年级下 第21章 四边形 单元训练
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、A 4、B 5、A 6、A 7、B 8、C 9、D 10、C 11、C 12、A
二．填空题（共5小题）
13、20； 14、； 15、22； 16、30； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB=CD，
又∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
解：（2）由AF平分∠DAB，
得∠DAF=∠BAF．
由AB∥CD，内错角相等，∠DFA=∠BAF．
∴∠DAF=∠DFA，
故△ADF为等腰三角形，
AD=DF=6．
在Rt△ADE中，AD=6，AE=4，
由勾股定理得：．
由CF=AE=4，
得CD=DF+CF=6+4=10，
故AB=CD=10．
由（1）知BFDE为矩形，
故，
且BF⊥AB．
因此，△ABF以AB为底、BF为高，
面积为：．
19、（1）证明：如图，AC交DE于点M，
∵DE是AB边上的高，
∴DE⊥AB，
∴∠AEM=90°，
∵∠OAB=∠BDE，∠AME=∠DMO，∠OAB+∠AME+∠AEM=180°，∠BDE+∠DOM+∠DMO=180°，
∴∠AEM=∠DOM=90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴OA=AC，OB=BD，∠OAB=∠BAD=30°，
∵AC⊥BD，AB=4，
∴OB=AB=2，
∴OA==2，
∴BD=4，AC=4，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=×4×4=8．
20、证明：（1）过点P作PG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABPG为矩形，
故PG=AB=AD．
由NP⊥AE，
得∠GPN+∠GNP=90°；
又∠GNP+∠DAM=90°，
故∠GPN=∠DAM．
在△PGN与△ADM中：，
由ASA全等判定，△PGN≌△ADM，
∴AM=PN；
证明：（2）如图，作HF⊥DF交AD于点H，连接CF，
∴∠DHF=45°=∠ADB，
∴DF=HF．
∵AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF．
∵∠BPF+∠BAF=360°-∠ABP-∠AFP=180°，∠BPF+∠FPC=180°，
∴∠BAF=∠FPC，
∴∠BCF=∠FPC，
∴PF=CF=AF，
∴PN-PF=AM-AF，即 FN=FM．
∵∠HFN+∠NFD=90°=∠DFM+∠NFD，
∴∠HFN=∠DFM．
∵HF=DF，∠HFN=∠DFM，FN=FM，
∴△HFN≌△DFM（SAS），
∴HN=DM．
由勾股定理得，．
∵DH=HN+DN=DM+DN，
∴；
解：（3）∵P是BC中点，AB=3，
∴．
如图，连接AP．
由勾股定理得，
，，
解得．
设CE=x,则，BE=3+x,
由勾股定理得．
∴，整理得，x2-2x-24=0
解得 x=6 或 x=-4（舍去），
∴，BE=9．
∵
∴，
解得．
21、（1）证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，EF∥AB，
∵AB=2AD，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：∵在Rt△ABC中，BC=10，∠BAC=90°，AB=6，
∴，
由（1）可得：AF=CF，OA=OF，
∴，
在△AOD中，∠DAO=90°，，
∴．
22、（1）证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠DCB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，∠DCP=∠BCP，AB∥CD，
在△DCP和△BCP中，
∴△DCP≌△BCP（SAS），
∴∠CDP=∠CBP，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠F，
∴∠CBP=∠F，
∵∠BPE=∠FPB，
∴△BPE∽△FPB，
∴=，
∴BP2=PF EP=（+3）×=8，
∴BP==2，
答：BP的长为2．

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