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内蒙古乌兰察布市集宁一中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
2．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．40个 B．48个 C．52个 D．64个
3．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.15，邻居浇水的概率为0.8.则该人回来盆栽枯萎的概率为（ ）
A．0.785 B．0.28 C．0.765 D．0.67
5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（ ）
A．图1中y与x呈正相关
B．图2中y与x不相关
C．图3中y与x的线性相关系数小于0
D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数
6．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物的预防效果优于药物的预防效果
B．药物的预防效果优于药物的预防效果
C．药物、对该疾病均有显著的预防效果
D．药物、对该疾病均没有预防效果
7．设是的导函数，且，则（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
8．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（）
A．
B．（为正整数且）
C．
D．满足方程的值可能为或
10．下列说法正确的是（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
B．经验回归方程为时，变量x和y负相关
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则
11．已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．若，则
三、填空题
12．已知的展开式中的系数为，则__________.
13．设，则______（用数字作答）．
14．如图，已知是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则________．
四、解答题
15．某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下：
月份
销售额万元
(1)根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程；
(2)为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：．参考数据：，．
16．某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数．
参加 不参加 合计
男生
女生
合计
(1)当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率；
(2)若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值．
附：
0.1 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．求下列已知函数的导函数：
(1)；
(2)；
(3).
18．某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
(1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；
(2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响，用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点；求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种．
2．C
【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4
若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为；
若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种；
若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种.
则满足题意的偶数共有：种.故选：C
3．B
【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为；
不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，
合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，
根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；
根据古典概型得.
故选：B
4．B
【详解】记A为事件“盆栽枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，
由题意可得，，，，
由全概率公式可得，
故选：B
5．D
【详解】对于A，图1中随增大而减小， y与x呈负相关，A错误；
对于B，图2中各点较分散，y与x的相关性不强，不能肯定不相关，B错误；
对于C，图3中随增大而增大，y与x呈正相关，相关系数大于0，C错误；
对于D，图1与图2，y与x都呈负相关，相关系数为负，
而图1中y与x的线性相关性较图2中y与x的线性相关性强，
所以，图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数，D正确.
故选：D
6．B
【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大，
所以药物的预防效果优于药物的预防效果，
故选：B.
7．A
【详解】.
故选：A.
8．A
【详解】，则，
故，所以曲线在点处的切线为，
令，解得，令，解得，
故所求三角形的面积为．
故选：A．
9．BD
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，，
所以（为正整数且），故B正确；
对于C：，又，
所以，故C错误；
对于D：因为，所以或，
解得或或或
经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确；
对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确.
故选：BCD
11．ABC
【详解】因为函数为三次函数，可设，，
由图可知：，，
即，即，
则，则，
由图可得，则，
即，，
由图可得当时，，则，
对A：，，由，故，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，由，
故，解得，故C正确；
对D：，则，
则，则，
即有，则，
故，故D错误.
12．
【详解】的展开式的通项为：
则的系数为，解得，所以.
故答案为：.
13．60
【详解】二项式通项公式为.
是的系数，令，则，
所以.
14．
【详解】．
由已知图象可知，直线经过点和，故．
由导数的几何意义可得，因为在曲线上，故．
故．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，
又，，
则，，
所以回归方程为；
（2）当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
则这个月中残差为负的月份有个，残差为非负的月份有个，
则这个月中随机抽取个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设事件为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知当足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率．
（2）零假设为：是否参加活动与性别无关．
由题意可得，
若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立，
则，解得．
因为为正整数，则的最小值为10．
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）.
（3）方法一：
.
方法二：
因为，
所以.
18．(1)
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
能认为满意程度与性别有关系
(2).
【详解】（1）列联表
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
推断犯错误的概率不大于0.001；
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）依题意，设“答对第i道题”（，2，3）；“某同学进入总决赛”，
则，，，
所以
，
依题意，，
所以；
19．(1)
(2)
【详解】（1）若，则，
所以，
切线方程为，
即．
（2）．
设为的两个极值点，
则是方程的两个实数根，
即方程的两个正实数根．
所以，解得，
即的取值范围是．

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