资源简介

内蒙古乌兰察布市集宁一中2025-2026学年高三下学期5月诊断考试数学试题
一、单选题
1．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．4
5．点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
8．已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．3 B． C．4 D．5
二、多选题
9．高二五班龙哥同学早晨上学经常迟到，班级每周对他进行四次考核，若每次考核中能够准时入校，本周通过考核，否则在本周请同学们遇到龙哥温馨提醒“龙哥早起”．已知龙哥在四次考核中能够准时入校的概率依次是，且各次考核互不影响，则（ ）
A．龙哥本周通过考核的概率为
B．龙哥至少能够通过两次考核的概率为
C．龙哥在本周第三次考核迟到的概率为
D．龙哥在本周前三次考核中至少有一次迟到的概率为
10．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为 B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
11．设函数，则（ ）
A． B．有3个零点
C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1
三、填空题
12．若角的终边与单位圆相交于点，则______.
13．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________.
14．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______________．
四、解答题
15．已知数列中，.
(1)求的值；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
16．已知，且是第四象限角.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且.
(1)求C的方程.
(2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程.
(3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有极小值，且，求a的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】因为在上单调递增，由可得，
所以由推不出，即充分性不成立；
由推出，即必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
2．B
【详解】由得，
根据正切函数的性质得，
故“”是“”的必要不充分条件.
3．C
【详解】由正弦定理可得，
且，则 ,故 或 .
4．A
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设， ，，，
则为 的中点，所以.
因此，，
所以.
5．B
【详解】 若点坐标为，平面方程为，则点到平面的距离.
点，即；平面，即，
代入得距离.
6．D
【详解】函数，可得，
故.
7．B
【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种．
8．C
【详解】由圆：可知，圆心，半径为.
而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，.
由，得.
因为点在圆上，又有，即，
而，则解得，所以.而点又在抛物线上，
则有，所以，则.
所以.
9．AD
【详解】龙哥本周通过四次考核的概率为，故A正确；
龙哥至少能够通过两次考核的概率为
，故B错误；
龙哥在本周第三次考核迟到的概率为，故C错误；
龙哥前三次考核至少有一次迟到的概率为，故D正确；
故选：AD
10．BC
【详解】对于A，因为，，
所以，
又，所以，所以A错误；
对于B，因为，所以，
故，所以B正确；
对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确；
对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以D错误，．
故选：BC.
11．BD
【详解】对于A，代入可得，故A错误；
对于B，若，由，解得或，满足;
若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确；
对于C，由，得，而二次函数的对称轴为,
当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误；
对于D，当时，的零点即为的零点，
当时，由，解得，满足;
当时，由，解得,满足，
所以的零点之和为，故D正确.
故选：BD.
12．/
【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，所以.
故答案为：.
13．．
【详解】设直线的倾斜角为，，
则，因为，所以，
如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角.
故答案为：.
14．
【详解】由题意知、、成等比数列，所以，
即，
所以，
故当时，取得最小值．
故答案为：.
15．(1)，
(2)证明见解析，
【详解】（1）因为，
所以，
（2）因为，所以，
即，
又因为，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.
所以，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，且是第四象限角，
由同角三角函数关系式得.
（2）根据诱导公式及同角三角函数关系式得：
原式.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在三棱柱中，，，
，则.
又四边形是正方形，则，，所以.
又，平面，因此平面.
又平面，所以.
在等边中，为中点，则，
又，平面，所以平面.
（2）
取中点为，中点为，则，.
由（1）知，平面，平面，则.又，故.
又，平面，则平面.
即两两垂直.
以为坐标原点，，，的方向为轴 轴 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)
(3)是，定值是.
【详解】（1）设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即，
因为，所以，
又由，所以可得，则，
即，
所以C的方程为；
（2）设，，则，两式相减得.
因为P，Q关于点对称，所以，，则，
所以直线的方程为，即.
（3）如图，作出符合题意的图形，
设，，直线的方程为.
由，得到，则且，
由韦达定理得，，
则
，
即为定值，定值是.
19．(1)
(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
(3)
【详解】（1）当时，，所以
所以切线方程为即，
（2），
若，可得时，，所以在上单调递增；
若时，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，
此时极小值也是最小值，由，可得，，
又，所以
令，求导得，
所以在上单调递减，又，
当时，，当时，，
所以时，，此时满足，
所以a的取值范围

展开更多......

收起↑