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第6章《平行四边形》章节复习题
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,）
1．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（ ）
A．30 B．45 C． D．
4．如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（ ）
A． B． C．8 D．
7．如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，在 ABC和中，，，点、分别为、的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（ ）
A．72 B．81 C．90 D．91
10．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
11．如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可）
12．如图， ABC中，D、E是边上的两点，且，；若，，那么______．
13．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m．
14．如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___．
15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______．
16．如图，是 ABC的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为___________．
17．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______．
18．如图，，，，，则线段的长为________．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
20．（本小题满分8分）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半．【探究发现】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
如图，在 ABC中，，分别为边，的中点，连接．求证：，且．
方法一：证明：如图，延长至点，使得，连接，，．
方法二：证明：如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点．
21．（本小题满分10分）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
22．（本小题满分10分）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求的周长．
23．（本小题满分10分）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上是否存在一点E，使 BDE与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）．
24．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？
（3）如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、与不一定相等，故A错误；
B、由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得，故选项B正确；
C、只有当四边形是菱形时，才成立，故C错误；
D、只有当四边形是菱形时，平分，即才成立，故D错误；
故选：B．
2．B
解：四边形是平行四边形，
、，
，
平分，
，
，
，
，
故选项B一定成立．
3．B
解：如图，梯形中，，，，，，
过点作，则四边形是平行四边形
根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，有
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴∠C=45
4．D
解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意．
5．C
解：根据题意，应先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图：
．
6．D
解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
7．C
解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
8．B
解：∵，
∴，
∵点、分别为、的中点，
∴，
又∵，
∴．
9．C
解：连接，过点作于点，如图，
，为的中点，
垂直平分，
．
四边形是平行四边形，
．
为的中点，
，
设，．
在中，，
，，
；
，
．
10．C
解：过点作于，过点E作于点G，如图所示：
是的平分线，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
添加，
∵在 ADE和 CBF中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∴四边形是平行四边形；
添加，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴；
∴四边形是平行四边形；
添加，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加，
∵，
∴，
同理可证四边形是平行四边形．
添加，
∵，
∴，
同理可证四边形是平行四边形．
（答案不唯一）．
12．
解：过点作交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．36
解：∵、分别是、的中点，
∴是 ABC的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得．
14．28
解：如图，过点C作，以C为圆心，2为半径画一段弧分别交于G，交于H，
设h是的边上的高．
由勾股定理得，
是边上的高，
，
，
以，为边，
，
当h最小时，四边形面积最小．
由垂线段最短可知，当时，h最小，
此时C，D，F三点共线，
，
．
15．或或
解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，
分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图，
当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
∴点D的坐标为，
同理可得其他两个点D的坐标为，，
故答案为：或或．
16．2
解：是 ABC的中位线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
， ，
，
．
17．
解：设与的交点为，如图，
∵点C与点E关于x轴对称，点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
在平行四边形中，，，
∴，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，即．
18．
解：过点作，且，连接，，如图：

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，，
∴三角形是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
解得：，即．
三、解答题
19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
20.
解：选择方法一：
证明：如图，延长至点，使得，连接，，．
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，；
选择方法二：
证明：如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点．
，
，，
是的中点，
，
，，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，．
21．（1）证明：∵点，点分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴在中，，
∵点是的中点，，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴在中，，
∴．
22．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长是：．
23．（1）解：把代入，得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
把点代入，得：，
∴点，
把点代入，得：，
∴，
∴直线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图：
当时，，
∴，
∴点，
当时，，
∴，
∴点，
∴，
设点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或；
（3）解：存在，理由如下：
如图：
当为平行四边形的边时，，
∴点的横坐标为或，纵坐标为，
∴点的坐标为或，
当为平行四边形的对角线时，，
∵，，
∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，
∴点的坐标为，即，
综上，点的坐标为或或．
24．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点B作轴于点R，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：设运动时间为，
由（1）可得，
∴轴，
由题意得，，则，
∴
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴从运动开始，需经或，才能使；
（3）解：如图所示，取点，过点P作交x轴于点K，连接，
∴，
∵点，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
∵轴，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度，
∴．

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