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2026学年八年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若多项式★可以因式分解，则★不能是（）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得
C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得
3．如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
6．若关于的分式方程解为正数，且关于的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．22 B．30 C．32 D．40
7．现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
8．如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（）
A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形
C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形
10．如图，平行四边形中，对角线、相交于O，，E、F、G分别是、、的中点，下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④平分，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________．
12．已知，且满足两个等式，，则的值为______．
13．如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为______．
14．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
15．如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________．
16．如图，在中，，于点D，，．则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）观察下列等式：
…
根据以上规律，解决下列问题：
(1)填空： ；
(2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除．
18．（6分）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
19．（8分）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点．
(1)试判断与是否相等，并说明理由；
(2)若平分，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长度．
20．（8分）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
21．（10分）如图，已知△ABC
（1）以△ABC为基本图案，借助旋转、平移或轴对称在图1中设计一个图形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形．
（2）以△ABC为基本图案，借助旋转、平移或轴对称在图1中设计一个图形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形．
22．（10分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长．
23．（12分）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由；
（3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________．
24．（12分）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、★=，多项式为，可分解．
B、★=，多项式为，可分解．
C、★=，多项式为，且，可分解．
D、★=，多项式为，无法因式分解．
故选：D．
2．A
解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式，
∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意；
B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意；
C．若分式有意义，则，得，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意；
D．，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．C
解：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4．C
解：如图：∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：C．
5．C
∵，
∴，
整理得，
，
．
∵，
∴，即．
将代入，得：．
∵，
∴，即，故．即，
因n为自然数，故n的最小值是13，
此时，此时，符合题意，
故选：C．
6．A
解：解分式方程，
去分母得，
移项合并得：，
解得，
∵解为正数，
∴且，
即，且，
解得，
解得，
∴的解集为，
∵恰有五个整数解，
∴，解得，
∴且，符合条件的整数有6,7,9，和为22，
故选：A．
7．C
解： ，且对于，有，
，
，
，
以此类推，得，
，
，
，
，
，
，．
故选：C．
8．A
解：如图，连接，，
设每个方格的长度为1，
，，，，
，
又，
，
，即为的平分线，
点符合题意，，，不符合题意，
故选：A．
9．A
解：由三角形的三边长是连续偶数，
当三边为2，4，6时，
∵，
∴2，4，6不能组成三角形；
当三边为4，6，8时，
∵，
∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形；
当三边为6，8，10，
∵，
∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形；
当三边为8，10，12，
∵，
∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）；
当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有
，解得，
∵，
∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形；
综上，只有1个钝角三角形．
故选A．
10．B
解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
点是中点，
，则②正确；
、分别是、的中点，
，，
，
点是的斜边上的中点，
，
，
四边形是平行四边形，则①正确；
，
因为无法证明，所以无法证明，则③错误；
，
，
，
，
，
平分，则④正确；
故答案为：①②④．
二、填空题
11．且
解：
方程两边同乘，得，
展开并整理，得，
当，即时，方程无解，
∴，
当时，，
又∵分母不为零，需且，
检验增根：若方程有增根，则或，
若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是，
若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解，
因此，分式方程有解的条件为且．
12．4
解：∵，，
∴
∴
∴
∴
∵，则
∴，则，
∴．
故答案为：4．
13．
解：如图，延长交于点，
∵为边上的中线，，
∴，
∵沿着翻折得到，
∴，，
∴垂直平分线段，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点到的距离等于的长，
∴，
故答案为：．
14．．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
解：∵平分，且，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．8
解：如图，在上截取，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题
17．（1）解：∵，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为，
由（1）可知
，
能被5整除，
即能被5整除，
比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除．
18．（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
19．（1）解：．
证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点F作于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
（2）解：由题意可得，
且m为整数，
解得：，且m为整数，
∴m为：或，
∴该校共有两种购买方案，
方案一：购买甲种个，乙种个；
方案二：购买甲种个，乙种个；
（3）解：由（2）得，
方案一费用为：（元），
方案二费用为： （元），
∵，
∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
21．解：（1）如图1所示，由两个三角形组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形．
（2）如图2所示，由四个三角形组成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
22．（1）证明：∵，
，，
∵O为对角线的中点，
∴
∴，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的周长；
同理可得四边形的周长，
∵四边形与四边形的周长分别是16与10，
∴，
∴，
∴的周长．
23．解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是：
；
（2）不正确，理由如下：
①如图，，
②如图，，
③如图，，
，
∴最短路程为；
（3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
将容器沿侧面展开，作点关于的对称点，
，
连接，则即为最短距离，
∴
故答案为：10．
24．（1）解：由题意可得，，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
、、三点共线
，，
是等边三角形
故答案为：等边三角形．
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如下图，连接，交分别、于点、，
，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
，，
点在线段的延长线上
，即
，
是等腰三角形
又，
是等边三角形
（3）解：①如下图，连接、
同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形
有
设，则，
是直角三角形，
取的中点，连接
此时在边上
②如下图，连接、
同①，可证是直角三角形，，
此时在边上
综上所述，或．

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