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2026学年七年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 ( )
A．r是常量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S， π， r都是变量
2．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度
A． B． C． D．
3．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么图中与相等的角有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
5．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ）
A．平分 B．
C．与互余 D．与互补
9．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　)
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，，，，则的度数为_____________时，．
12．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________．
13．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____．
14．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km．
15．图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________．
16．如图，AB∥CD，BE∥DF，∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G．当∠BGD＝65°时，∠BDC＝________度.
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
18．（6分）如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字．
(1)直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率；
(2)小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之和为正数则小华胜；若两数字之和为负数则小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由．
19．（8分）借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法．
(1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________．
(2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和．
20．（8分）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：
(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；
(2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：
(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．
21．（10分）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是_____．
A． B． C． D．
（2）求得的取值范围是_____．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：．
22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律．
如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现．
(1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明：
(2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究．
当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）；
当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律；
(3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）．
23．（12分）如图1，已知中，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中．交于交于．
①求证：；
②在这一过程中，直角三角板与三角形的重叠部分为四边形请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明如何变化的；若不发生变化，请求出其面积．
（2）继续旋转至如图2的位置，延长交于延长交于是否仍然成立？（请写出结论，不用证明．）
（3）继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于是否仍然成立？（请写出结论，不用证明．）
24．（12分）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：

(1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程．
(2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D．
①求的度数；
②设，请用α的代数式表示．
(3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，∠APN=75 , ABC绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、r是自变量，故选项不符合题意；
B、π是常量，故选项符合题意；
C、S是因变量，故选项不符合题意；
D、π是常量，故选项不符合题意；
故选：B．
2．A
解：由作法得：，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A
3．A
因为，，，，
因为，
所以，
所以，
故即；
同理可证
所以，
故选A．
4．B
解：对图中顶点进行标注，如下图所示：
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，，，
综上，，
共有7个角为，
∴共有6个角与相等．
5．C
解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，
与的函数关系用图象表示大致是
故选：C．
6．A
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．A
解：根据题意，，得，点P是的中点，
A. 作图是的垂直平分线，点P是的中点，符合题意；
B. 作图是,点P不是的中点，不符合题意；
C. 作图是是的平分线，点P不是的中点，不符合题意；
D. 作图是，点P不是的中点，不符合题意；
故选：A．
8．A
解：由折叠的性质可得，
，
∴与互余，故C正确，不符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
，
∴与互补，故D正确，不符合题意；
不能得出平分，故A错误，符合题意；
故选：A．
9．A
解：
，
，
多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，
，，
，且，均为正整数，
，
整理得：．
又，，
，．
，．
．
，均为正整数，
的取值为，，，，．
的最大值为，的最小值为．
，，
，均为正整数，
的取值为，，，．
则的最大值，的最小值为
与的最大值相等，与的最小值也相等
故选：A．
10．C
解：和是、被直线所截形成的内错角，且，
，
故正确；
，
，
又，
，
，
故正确；
，
，
，
，
平分，
故正确；
，
，
，
，
设，
是的余角的倍，
，
解得：，
，
在中，，
，
，
故正确；
平分，
，
由可知平分，
，
，
故错误；
综上所述，结论正确的个数是.
故选：C．
二、填空题
11．
解：如图，
当时，.
理由如下：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60°．
12．20
解：∵摸到黑球的频率稳定在左右，
∴摸到黑球的概率稳定在左右，
则盒子中球的总个数为（个），
所以盒子中红球的个数为（个）．
故答案为：20．
13．
解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”，
∴；
同理，
∵，
∴，即，
∴，
∵、均为整数，且由，
∴
当时，；
当时，；
因此的最小值为，
故答案为：．
14．0.64
解：设小红的速度为，小星的速度为．
由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，
∴，
，
又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，
，
，
∴小星到达甲地时小红好跑了，
此时小红离终点的路程为．
故答案为：0.64
15． 2或3
解：设点的运动速度为时，与全等，
则有，，，
当时，
可得：，，
，，
，
解得：，
点的运动速度为；
当时，
可得：，，
，
解得：，
点的运动速度为；
综上所述，点的运动速度为或．
故答案为：；或．
16．50
解：∵BE∥DF,
∴∠EBD+∠BDF=180°,
∴∠EBD+∠CDF+∠BDC=180°,
∵BG、DG是∠DBE和∠CDF的角平分线，
∴∠EBD=2∠GBD, ∠CDF=2∠CDG,
∴2∠GBD+2∠CDG+∠BDC=180°,
∵∠BGD=65°,
∴∠GBD+∠GDB=115°,
∴∠GBD+∠CDG+∠BDC=115°,
∴∠2GBD+2∠CDG+2∠BDC=230°，
∴∠BDC=50°.
故答案为：50.
三、解答题
17．（1）解：，
；
，且，
．
故答案为：，；
（2）解：，，，若，
，，．
，
，即，
；
（3）解：①，，
，，
，，
；
② ，
，
．
由①知：，
，
，
，
．
18．（1）解：由题意可知转盘中共有四个数，其中“”只有一种，
∴转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率为；
（2）解：不公平，理由如下：
两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后的情况有，由两个转盘各转出一数字之和的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之和正数有4个，负数有5个，
∴小华胜的概率为，小明胜的概率为，
∴小华胜和小明胜的概率不一样，
∴不公平．
19．（1）解：利用图形可以推导出的关系式为，图1：；
图2：.
故答案为：，
（2）解：设，，则，
，
，
，
，
，，
．
20．（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，
∴乙位置坐标为：，
根据关系图可知，
当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，
设乙的速度为：v，
故，
解得：．
根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，
，
故答案为：10，2，1
（2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，
，
解得：，
则，
即甲、乙第二次相距5个单位长度．
（3）解：不能，理由如下：
甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走，
则甲到达乙的位置一共需要，
乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走，
则乙到达甲的位置一共需要，
则甲、乙不能同时到达对方最初的位置．
21．（1）是中线，
，
在和中，
；
故答案为：B；
（2）由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
；
故答案为：A；
（3）证明：如图2，延长到M，使，连接，
是中线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
．
22．（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，
∴；
（2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，
∴；
设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，
∴；
（3）解：当时，；
当时，；
当时，；
，
∴．
23．解：如图，连接，
在中，
；
四边形的面积不发生变化；
由知，
DM = DN仍然成立.
理由如下:连接BD由(1)知
BD⊥AC，BD= CD，
∴∠ABD=∠ACB = 45°，
∴∠ABD+∠MBD= 180°，
∠ACB+∠NCD= 180°，
∴∠MBD=∠NCD，
∵BD⊥AC，
∴∠MDB +∠MDC = 90° ，
又∠NDC +∠MDC = 90°，
∴∠MDB=∠NDC，
在△MDB和△NDC中，
∵∠MBD=∠NCD，
BD= CD，
∠MDB= ∠NDC.
∴△MDB≌△NDC (ASA)
∴DM = DN，
DM = DN成立，
理由如下:连接BD，
由(1) 知BD⊥AC，BD= AD，
∴∠BAD=∠ABD = 45°，
∴∠MBD=∠NCD= 45°，
∵BD⊥AC，
∴∠MDB +∠NDB = 90° ，
又∠NDC +∠NDB = 90°，
∴∠MDB=∠NDC，
在△MDB和△NDC中
∵∠MBD=∠NCD，BD= CD，∠MDB= ∠NDC.
∴△MDB≌△NCD (ASA)，
∴DM = DN．
24．（1）论证：
延长至D，过点A作，

∴，
∵，
∴，
即三角形的内角和为．
（2）应用：
如图，

∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
②∵是的角平分线，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）拓展：
∵当旋转一周运动停止，
∴总时间（秒），
如图，与重合前，

当时，， 得
当与重合时，重合时间为秒，此时

当再以原速返回，如图

当时，，
解得，
如图，当时，

,
解得，
当时，如图，,

∵，
∴，
∴
综上，t的值为秒或15秒或秒或秒或秒．

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