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第12章《定义、命题证明》章节复习题
一、单选题
1．下列命题中正确的个数有（ ）
①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列语句中，假命题有（ ）
（1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列命题可以称为定理的有（ ）
①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（ ）

A．31次 B．33次 C．17次 D．25次
二、填空题
6．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”）
7．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______．
8．下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有____________个．
9．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
10.如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号）
三、解答题
11.判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果，那么；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果，那么，．
12.判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论．
13.如图，，，．求的度数．
14.对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
(1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
(3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
15.代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）
．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．
(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
16.数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么”
如图2
假设，过点O作直线，使，
依据基本事实______．
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
17.如图，已知，．现有2个条件：①；②．
(1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可）
(2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据．
示例：（已知），
参考答案
一、单选题
1．A
解：①只有两直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故①错误．
②点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，垂线段本身是图形，不是距离，故②错误．
③平移变换中，对应点连成的线段可能共线，命题只说平行，表述错误，故③错误．
④在同一平面内讨论直线位置关系，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，当时，，故④正确．
综上，正确的命题只有1个．
2．C
解：（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题；
（2）不相等的两个角一定不是对顶角，是真命题；
（3）直角的补角必是直角，是真命题；
（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
（6）两角之和为，这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题；
（7）若则，是真命题．
假命题有4个．
故选：C
3．A
解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理；
命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理；
命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理；
命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理；
命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理；
综上，命题④和命题⑤是定理，共个．
故选：A．
4．C
解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾；
假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”；
假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾；
假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾；
假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾．
故只有“好”．
故选：C．
5．A
解：移动一个圆片，至少移动1次，而，
移动两个圆片，至少要移动3次，而，
移动三个圆片，至少要移动7次，而，
∴移动五个圆片，至少要移动（次），
故选：A．
二、填空题
6．有
解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理．
故答案为：有．
7． （答案不唯一） （答案不唯一）
解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题．
8．1
解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
②如果，那么或，故原命题是假命题；
③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题；
④例如，则，故原命题是假命题；
即真命题的有1个，
故答案为：1．
9．2401
解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，
即密码中没有9、5、8、3四个数字；
由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；
由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；
若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．
则数字0在第三位，
即正确的密码是2401，
故答案为：2401．
10.②④
解：∵ ，
∴，故结论②是真命题，
∵ ，
∴ ，
∴，即，故结论④是真命题；
与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论①不是真命题
只有当四边形是平行四边形时，对角才成立，题设仅给出，无法判定四边形是平行四边形，故结论③不是真命题；
综上所述，与题设组成的命题是真命题的有②④．
三、解答题
11.（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
∴原命题是真命题；
逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题；
（2）解：∵，，满足，但不满足；
∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题；
其逆命题为：如果，那么，这是假命题，
例如：，，满足，但不满足；
（3）解：∵相反数的和为零，
∴原命题是真命题；
逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题；
（4）解：∵当时，或．
∴原命题是假命题；
逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题．
12.证明： ∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴
因此原命题是真命题．
13.解：如图，延长交于点M．
，
，
．
又，
．
14.（1）解：∵，
∴2025不是稳定数；
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
15.（1）解：证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）；
故答案为：，；
（2）证明：，
不等式两边同加上，得，
不等式两边同时除以2，得；
（3）解：真命题，
证明：设这三个自然数分别是，，，其中，
，
能被3整除，
这三个自然数的和能被3整除．
16.解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
17.（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①．
（2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下：
（已知），
（垂直的定义），
（余角的定义）．
，且（已知），
（等量代换），
（等角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下：
（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（垂直的定义），
（余角的定义）．
（等量代换）．
（已知），
（等角的余角相等）．

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