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2026年广东省初中学业水平考试数学模拟试卷(二)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图，数轴上的两个点分别表示数a和－2，则a可以是（　　）
A.-4 B.3 C.-1.5 D.0
2.下列国产AI软件图标属于轴对称图形的是（　　）
3.在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（　　）
A.（4，-5） B.（5，-4） C.（-4，5） D.（-5，4）
4.某校为了解本校初中学生晚上的睡眠时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（　　）
A.调查九（1）班的学生 B.调查九年级的所有男生
C.随机在七年级中调查100名学生 D.随机在七、八、九年级中各调查100名学生
5.计算 的结果是（　　）
A. 2 B. 1 C. D.
6.如题6图，AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=6，BD=2，则DF的长为（　　）
A.8 B.6 C.4 D.9
题6图
7.某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节.小亮报名参加了3 km比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程.设小亮训练前的平均速度为x km/h，则根据题意所列的方程是（　　）
A. B. C. D.
8.已知x，y为实数，且 ＋3（y－1）2=0，则xy的平方根是（　　）
A. 2 B.± C. ± D.
9.如题9图，已知圆心角为90°的扇形AOB的面积为4π，C为上一点，D，E分别为OA，OB上的点，连接CD，CE，DE.若四边形ODCE为矩形，则DE的长是（　　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 2
题9图
10.如题10图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=－x2+4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），则下列结论正确的是（　　）
A. m+n =1 B. m－n =1 C. mn =1 D. =1
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.计算3+（－5）的结果是　　　　　.
12.现有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠（碱性）四种溶液.小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，抽到碱性溶液的概率是　　　.
13.已知α，β是方程x2－2x－1=0的两个根，则α2+2β=　　　　　 .
14.四边形具有不稳定性.如题14图，可将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则此时tan α的值为 　　　　　.
15.如图，在等边三角形ABC中，点O在边AC上，且AO=3，CO=6，点P是边AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在边BC上，则AP的长是　　　　　.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16.解不等式组 并写出它的最大负整数解.
17.如图，在△ABC和△DCB中，AB，CD相交于点O，∠ACB=∠DBC=90°，∠ABC=∠DCB. 求证：OA=OD.
18.如题18图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（-3，0），点C在x轴正半轴上.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线AC的对称点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB=BC，反比例函数y = 的图象过点D，求k的值.
题18图
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19.为提升学生的体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动.为了解该校学生参加大课间体育活动的情况，学校随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表.
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 a 10 9 8 5
（1）统计表中a的值为　　　　　.
（2）若该校有1 000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数.
（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队.已知甲、乙两名同学近六周定点投篮的测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以投进次数作为测试成绩）如题19图所示.你建议选拔哪名同学？请说明理由.
20.综合与实践
文光塔位于广东省汕头市，始建于宋绍兴元年，因其内部陈列千尊佛像，又称“千佛塔”，1989年被列为广东省文物保护单位，2013年被列为全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组开展了“测量文光塔的高度”的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告.
课题 测量文光塔的高度
成员 组长：XXX　　组员：XXX，XXX
测量工具 测角仪，皮尺等.
测量方案及数据
题20-1图 方案一：如题20-1图，将测角仪放置在与塔底端水平的B处，测得塔顶A的仰角为45°，向前走22 m到达点D处后，架起测角仪，测得塔顶A的仰角为33°，测角仪（BC，DE）的高度为1.76 m.
题20-2图 方案二：如题20-2图，将测角仪放置在文光塔附近的某一高台CD顶部测得塔顶A的仰角为45°，测得塔底端B处的俯角为10°，高台CD的高度为4 m，测角仪DE的高度为1.76 m.
参考数据 sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65，sin 10°≈ 0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18，≈1.41，≈1.73.
说明 所有的点均在同一平面内.
问题解决
任务一 请判断上述哪种方案的误差较小，并说明理由.
任务二 请你帮该小组的同学求出文光塔的高度（结果精确到0.1）.
21.我国弹拨乐器种类繁多，历史悠久.音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（如题21-1图），题21-2图为其截面示意图，☉O与水平台面AB相切于点P，长方体木块的高AC=2 cm，点C在☉O上，且点C到OP的距离CQ=6 cm.
（1）求半径OC的长.
题21-1图　 　　 题21-2图
（2）操作：如题21-3图，E，F为☉O的三等分点，且点E与点F关于OP对称，EF交OP于点G.将塑料圆管沿EF切割得到如题21-4图所示的U型塑料管，将拨弦线套在U型塑料管上，便得到了自制弹拨乐器.
①求EF的长.
②求其中一根拨弦线（由和线段EF构成）的长.　
题21-3图　　 　　 题21-4图
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22.在初中数学中，代数公式常可借助几何图形进行直观理解.下面请通过观察由小圆圈组成的图形规律，探索连续自然数立方和的计算公式，并解决实际问题.
【规律探索】观察题22图中每个图形内小圆圈的分布情况，可以得到以下等式：
注：每个图形比前一个图形增加的小圆圈的个数可以按图中的虚线框进行拆分.
（1）根据上述规律，请写出第4个图形对应的等式.
（2）请写出第n个图形对应的等式，并给出必要的证明过程.
【问题解决】（3）救援队储备救灾物资，第1天运入1箱，第2天运入8箱，第3天运入27箱……每天运入的物资数是天数的立方.已知仓库最多能容纳1 000箱物资，请问最多可以连续运入多少天？
23.如题23-1图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，其中点A在x轴上，B（8，6），直线l经过点C，与边OA交于点D，且OD∶AD=3∶5.
（1）求直线l的函数解析式.
（2）如题23-2图，将直线l向右平移，与边OA，BC分别交于点E，F，将矩形OABC沿直线l折叠，点O，C的对应点分别为点M，N.
①当△EFM是以EF为腰的等腰三角形时，求点F的坐标.
②如题23-3图，记四边形EMNF与矩形重叠部分的面积为S，直线l向右平移的距离为d（d>0），当点M落在矩形OABC内部时，求S与d之间的函数关系式，并写出自变量d的取值范围.
题23-2图 题23-3图
一、1-10 ACDDD CCBCB
10.【提示】利用抛物线上点的坐标特征，可得点A（m，-m2+4），点C（n，-n2+4）.
如题10答图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N.易证△ADM≌△DCN（AAS）.
利用全等三角形的性质，可得出DN=AM=m，DM=CN=n.
由MN=DN+DM=ON-OM，可得m+n=（-n2+4）-（-m2+4）=m2-n2=（m+n）（m-n）.
∵m+n≠0，∴m-n=1.
二、填空题
11.-2 12. 13. C5　　　14. 15、6
15【提示】当点D恰好落在边BC上时，由∠A=∠C=∠POD=60°，可得∠APO+∠AOP=∠COD+∠AOP=120°，∴∠APO=∠COD.
利用旋转的性质，得OP=OD，则可证△AOP≌△CDO（AAS）.故AP=CO=6.
三、解答题（一）
16. 解：
解不等式①，得x<－4.……………………2分
解不等式②，得x≤.……………………4分
∴不等式组的解集为x<－4.……………………5分
∴不等式组的最大负整数解为-5.……………………7分
17.证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）.………………3分
∴AB=DC.……………………4分
∵∠ABC=∠DCB，
∴OB=OC.……………………6分
∴AB－OB=DC－OC，即OA=OD.……………………7分
18.
解：如题18答图，点D即为所求. ………3分
题18答图
(2)解：如题18答图，连接AD，CD，记AC，BD的交点为E.
∵点D是点B关于直线AC的对称点，
∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，BE=DE.……………………4分
又AB=BC，∴AE=CE.∴四边形ABCD是菱形.……………………5分
∴AD∥BC，AD=AB= =5.
∴D（5，4）.……………………6分
∵反比例函数y= 的图象过点D，
∴k=5×4=20.……………………7分
(1)解：12.……………………2分
(2)解：1 000× =120.……………………3分
答：估计该校参加足球活动的学生人数为120.……………………4分
(3)解：建议选拔甲.理由如下：……………………5分
∵甲= ×（8+7+6+7+8+6）=7，乙= ×（3+4+7+8+10+10）=7，
∴甲=乙.……………………7分
又由折线图知，甲近六周定点投篮测试成绩的波动程度明显比乙小，
∴甲的成绩明显比乙的成绩更稳定.
∴建议选拔甲.（答案不唯一）……………………9分
20.（1）解：方案一的误差较小.理由如下：……………………1分
∵文光塔的上下不等宽，方案二中测量塔底端B处的俯角时误差较大，
∴相比较而言，方案一的误差较小.……………………3分
（2）解：如题20答图，过点A作AF⊥BD，交DB的延长线于点F，交EC的延长线于点G.
易得四边形BCGF，BCED，DEGF都为矩形.
∴FG=BC=DE=1.76 m，CG=BF，GE=FD.……………4分
设AG= x m.
在 Rt△ACG 中，∠ACG=45°，
∴CG=AG= x m，∴GE=FD=（x+22）m .……………………5分
在 Rt△AEG 中，tan∠AEG= ，即tan 33°= .………………7分
解得x≈40.86.经检验，x≈40.86是方程的解， 且符合题意.
∴AG≈40.86 m.……………………8分
∴文光塔的高 AF=AG+FG≈40.86+1.76≈ 42.6（m）.
答：文光塔的高度约为42.6 m.……………9分
题20答图
21.（1）解：∵☉O与水平台面AB相切于点P，
∴OP⊥AB，即∠APO=90°.………………1分
由题意可知，CA⊥AB，CQ⊥OP.
∴∠CAP=∠CQP=∠APO=90°.
∴四边形APQC为矩形.∴PQ=AC=2 cm.
∴OQ=OP－PQ=（OC-2） cm.………………2分
在Rt△OQC中，由勾股定理，得OC2=CQ2+OQ2，
即OC2=62+（OC-2）2.
∴OC=10 cm .……………………3分
（2）解：①∵E，F为☉O的三等分点，
∴∠EOF=120°.……………………4分
∵点E与点F关于OP对称，
∴OP⊥EF，EG=FG，∠EOG= ∠EOF=60°.……………5分
∴EG=OE·sin∠EOG=10× =5（cm）.
∴EF=2EG=10 cm.……………………7分
②∵ 的长为 = （cm），EF=10 cm，
∴该拨弦线的长为( +10 ) cm.……………………9分
22.(1)解：第4个图形对应的等式为（1+2+3+4）2=13+23+33+4×16=13+23+ 33+43.……………………3分
（2）解：第n个图形对应的等式为（1+2+…+n）2=13+23+…+ n3.……4分
证明过程：由题意可知，第1个图形中小圆圈的个数为1=13.
∵第2个图形比第1个图形增加的小圆圈的个数为23，
∴第2个图形中小圆圈的个数为13+23.
∵第3个图形比第2个图形增加的小圆圈的个数为33，
∴第3个图形中小圆圈的个数为13+23+33.
以此类推，第n个图形比第（n-1）个图形增加的小圆圈的个数为n（1+2+…+n）+n（1+2+…+n-1）=2n（1+2+…+n）-n2=2n· －n2=n3.
∴第n个图形中小圆圈的个数为13+23+…+n3.
∴第n个图形对应的等式为（1+2+…+n）2=13+23+…+n3.………8分
(3)解：由（2）可知，13+23+…+n3=（1+2+…+n）2= .
当n=7时，13+23+…+n3==282=784；
当n=8时，13+23+…+n3==362=1 296.
∵784<1 000<1 296，∴最多可以连续运入7天.…………………13分
23.（1）解：根据题意，得OA=BC=8，OC=AB=6.
∵OD∶AD=3∶5，∴OD= OA=3. ∴D（3，0）.………………1分
设直线l的函数解析式为y=kx+b.
将C（0，6），D（3，0）代入，
得 解得
∴直线l的函数解析式为y=-2x+6.………3分
（2）①解：如题23答图1，连接OF.
根据折叠的性质可知，△EFM≌△EFO.
∴当△EPM是以EF为腰的等腰三角形，△EFO是以EF为腰的等腰三形.…………4分
设直线l向右平移t个单位长度，由平移的性质， 得F（t，6），E（t+3，0）.
∴OF2=36+t2，OE2=（t+3）2，EF2=32+62=45.……………………5分
当△EFO是以EF为腰的等腰三角形时，分下列两种情况：
a.EF=OE，即EF2=OE2，∴45=（t+3）2.
解得t=3-3（负值已舍）∴F1（3-3，6）.
b.EF=OF，即EF2=OF2，∴45=t2+62.
解得t=3（负值已舍）.
∴F2（3，6）.
综上，点F的坐标为（3-3，6）或（3，6）.……8分
② 解：如题23答图2，过点M作HG⊥x轴，分别与边OA，BC交于点G，H，记MN与BC的交点为P，连接OM，与EF交于点Q，过点F作FK⊥x轴于点K.
根据折叠的性质可知，OM=2OQ，OE=ME，EF⊥OM.
∴∠FKE=∠OQE=90°.
又∠FEK=∠OEQ，∴△FKE∽△OQE.
∴ = .
根据题意可知，点E的横坐标为d+3，点F的横坐标为d，FK=6.
∴KE=3.∴ = .∴OQ=2QE.
∴OM=4QE，OE= =QE.
∵sin∠QOE= = ，∴ = .
∴MG= QE= OE= ME.……………………10分
设ME=5n，则MG=4n.∴EG= =3n.
∵∠PME=90°，∴∠EMG+∠PMH=90°.
又∠HPM+∠PMH=90°，∠FPN=∠HPM，
∴∠EMG=∠FPN.
又∠EGM=90°=∠N，∴△EMG∽△FPN.
∴ = . ∴ = = .
根据折叠的性质可知，FN=FC=d，S梯形OEFC=S梯形MEFN .
∴PN=4/3d.……………………12分
∴S =S梯形MEFN－S△FNP=S梯形OEFC－S△FNP= （d+d+3）×6－d· d
=d2+6d+9.……………………13分
当点M落在AB边上时，点G与点A重合，此时OG=OE+EG=OE+ OE= OE=8.
∴OE=d+3=5.解得d=2.
综上，S与d之间的函数关系式为S =d2+6d+9， 自变量d的取值范围为0

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