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青海省西宁市2026年初中学考九年级调研测试（一） 数 学
一、单选题
1．如图，数轴上点表示的实数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式
B．明天下雨是随机事件
C．任意画一个多边形，其外角和是随机事件
D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
5．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
8．如图1，在中，，，动点从点出发，沿折线方向运动，到达点停止运动．设点的运动路程为，的面积为y，y与的关系如图2所示，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
9．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为________．
10．写出使代数式有意义的的一个值是_____．
11．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝______________．
12．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．

13．如图，购买高铁车票时，从A，B，C，D，E五个座位中随机选择两个，恰好两个座位都靠近窗户的概率是______．
14．一个扇形弧长是，圆心角是，则扇形的面积是______．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是3，则点的坐标为______．
16．是等腰三角形ABC的外接圆，顶角为是上一点，则的度数为_____．
17．如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____．
18．如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为__________．

三、解答题
19．计算、解不等式组：
(1)计算：；
(2)解不等式组：．
20．先化简，再求值：，其中是方程的解．
21．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
【调查对象】某校学生模具设计成绩
【调查方式】抽样调查
【数据收集与表示】随机抽取全校部分学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并整理将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．
下面给出了部分信息：
C组的成绩为：80，80，81，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，89，89，89，89.
【数据分析与应用】
根据以上信息解答下列问题：
(1)本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，在扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为_____；
(2)C组成绩的众数是______，中位数是_____；
(3)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数．
22．如图，中，，，垂足为，点是边上一个动点，过点分别作，，垂足分别为，，过点作交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求证：；
(3)若，，则当最短时，的长为_____．
23．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
24．如图，点在线段上，与线段交于点和，弦垂直平分，垂足为，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，．
①求证：是的切线；
②四边形的面积是______．
25．如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求点的坐标；
(2)求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离．
26．综合与实践
根据我们学习函数的经验，在探究一个函数的性质时，我们会用描点法画出函数图象，再通过观察图象的形状与变化趋势获得对函数的直观认识．进而归纳总结出函数的相关性质．
【画出函数图象】
绘制函数的图象：
列表：
4 6
0 5
(1)根据列表，在图中将函数的图象补充完整；
(2)当时，函数图象是抛物线的一部分，这个抛物线的函数解析式为 ；
(3)【探究函数性质】结合函数图象解决下列问题：直接写出方程的解；
(4)根据函数的图象，下列结论中：①函数图象关于轴对称；②时，随的增大而减小；③当时，有最小值为；④不等式的解集是或，所有正确结论的序号是_____；
(5)【解决问题】若一次函数的图象与的图象只有个交点，则的值是______．
参考答案
1．A
【详解】解：观察数轴得：点表示的实数在与0之间，
∵，
∴数轴上点表示的实数可能是．
2．C
【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
对于选项B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
对于选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
3．D
【详解】解：能够耐受的温差是，
故答案为：D．
4．C
【详解】选项A：调查长江中现有鱼的种类范围大，无法进行全面调查，适宜抽样调查，所以A说法正确，不符合要求；
选项B：明天下雨可能发生也可能不发生，属于随机事件，所以B说法正确，不符合要求；
选项C： 任意多边形的外角和恒为，因此“任意画一个多边形，其外角和是”是必然事件，不是随机事件，所以C说法不正确，符合要求；
选项D：方差越小，数据波动越小，数据越稳定，且 ，所以乙组数据更稳定，D说法正确，不符合要求．
5．C
【详解】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故选C．
6．C
【详解】解：选项A：，故A错误；
选项B：，故B错误；
选项C：，故C正确；
选项D：，故D错误．
7．D
【详解】解：∵设第一次购买了个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次比第一次少买了 10 个；
∵单价总价数量，
∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价，
又 ∵所列方程为，
∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，
∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个．
故选：D．
8．B
【详解】解：由图可知点M的运动路程为，即，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
设，则，
因为当点M运动到点D时，的面积为，
这时，过点D作于点E，
则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，．
9．
【详解】解：；
故答案为：．
10．2（答案不唯一）
【详解】解：∵有意义，
∴，且，
∴或，
解得，或，
∴可取．（答案不唯一）
11．2xy2（3-4xy）
【详解】解：6xy2-8x2y3=2xy2（3-4xy）．
故答案为：2xy2（3-4xy）．
12．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种，
∴；
14．
【详解】解：设扇形的半径为，根据题意得：，
解得：．
∴扇形的面积是．
15．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
16．70或110
【详解】是等腰三角形，顶角，
，
分两种情况讨论：
1. 当点在优弧上时，如下图：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，与都对弧，
；
2. 当点在劣弧上时，如下图：
四边形是的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，
．
17．6
【详解】解：如图，连接、，
∵轴，
∴，，
∴，
∵
，
∵点A，B分别在和的图象上，
∴，，
∴，
解得．
18．
【详解】解：设与交于点，
∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，，
设，则：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，经检验是原方程的解，
∴；
故答案为：．

19．(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
20．，
【详解】解：
，
∵是方程的解，
∴，即，
解得，
∴原式．
21．(1)；
(2)89分；分
(3)全校学生的模具设计成绩不低于80分的人数约为人
【详解】（1）解：根据统计图可知，D组的人数为10人，占比为，
∴抽查的人数为（人），
B组的人数为（人），
∴B组对应的圆心角为；
（2）解：∵C组的成绩中，89分出现4次，出现的次数最多，
∴C组的众数为89分，
∵C组成绩的20个数中，第10个数为85，第11个数为86，
∴C组的中位数为（分）；
（3）解：样本中不低于80分的人数为（人），
（人），
答：全校学生的模具设计成绩不低于80分的人数约为人．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明；∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，连接、，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，此时最短，
如图，，
在中，，
∵，
∴，
在中，．
23．(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
24．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）证明：∵弦垂直平分，
∴，，
由题意可知，为的直径，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：①证明：如图，连接，
∵弦垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
②∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
在中，，
∴，
．
25．(1)
(2)，抛物线上的最高点到水面的距离为
【详解】（1）解：如图，作于点，
∵，
∴，，
在中，，
∴点的坐标为；
（2）解：在中，，
∴，
∴点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
，解得，
∴，
∴顶点坐标为，
∴抛物线的最高点到水面的距离为．
26．(1)图见解析
(2)
(3)或
(4)①③④
(5)或
【详解】（1）解：函数图象如图所示：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由图象与表格可知，当时，或，
∴的解为或；
（4）解：对于①：由图象可知，函数的对称轴为轴，故①正确；
对于②：由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故②错误；
对于③：由图象可知，当时，有最小值为0，故③正确；
对于④：如图，
函数图象与直线交于、、三点，且点和点在或的部分，
当或时，，
将代入，得，
，
解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
由图象可知，只有在点的左侧和点的右侧才满足，
∴不等式的解集是或，故④正确；
综上，正确的结论为①③④；
（5）解：取点，由图可知，当直线过点或与部分的抛物线只有一个公共点时，满足一次函数的图象与的图象只有3个交点，
①当直线过点时，如图，
将点代入，得，
，即；
②当直线与部分的抛物线只有一个公共点时，如图，
由（2）可知，此时，
联立直线与抛物线，并消去，得，
，
整理，得，
根据题意，，
解得；
综上所述，或．

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