资源简介

2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷
数 学 ( 一 )
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、
准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符
合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.下列实数为无理数的是
A. 3.14 B. C. D. 0.101001 0001
2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
中
泊
尔
3.下列运算正确的是
4. 某校抽取8名同学参加“体质健康”测试, 数据如下: 90, 85 , 85, 80, 75, 85,
90，85，则该组数据的众数和中位数分别是
A. 85, 80 B. 85 , 82.5 C. 90, 85 D. 85, 85
5. 如图,直线l∥m,直线a截直线l,m形成∠1,∠2,已知∠1=65°,则∠2的度
数为
A. 65° B. 115° C. 25° D .不能确定
6.一个均匀的正方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是这个正
方体的表面展开图.随机抛掷这个正方体，落定后顶面的数恰好等于底面的数的
的概率是
A. B. C. D.
长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学(一) 第 1 页 (共4页)
7.若反比例函数 的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是
A . k≠2 B . k < 2 C . k > 2 D. 任意实数
8.某商品原价4 0 0元，连续两次降价后售价为2 5 6元，若每次降价率相同，则每次降
价率为
A. 10% B. 15%
C. 20% D. 25%
9. 如图,在△ABC中, ∠ C = 9 0 ° , A C = 6 c m , B C = 8 c m , 以 点 C
为圆心、CA 为半径作圆，交AB于点D，则AD的长为
C. 3 c m D. 2 c m
10.已知二次函数 与 x 轴 交 于 A , B 两 点 , 顶 点 为 C , 若
△ABC是等腰直角三角形，则 ak的值为
A. 1 B. 0 C. - 2 D. - 1
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11.分解因式：
12.若关于x的一元二次方程. 有两个相等的实数根，则a= .
13.将抛物线 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式
为 . (填一般式)
14. 如图, 在⊙O中, 弦 A B = 8 c m ,弦心距为3cm, 则⊙O的半径为 cm.
1 5 .如 图 , 在 △ P Q R 中 , 点 M , N 分 别 在 P Q , P R 上 , 且 M N ∥ Q R . 已 知 P M : M Q = 3 : 2 ,
Q R = 2 0 c m ,则 M N c m .
16.“湘超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔
帽会变色.小艾买了 9 支永州款和 4 支星城款，老板报价：“一共 52 元.”付完钱后，
小艾突然说：“姐姐，我少要 2 支星城款，多换 3 支永州款吧.”老板看了看库存，
说：“可以，不过你还得再补 4 元钱.”根据他们的对话，可知：永州款的单价
为 元.
长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学(一) 第 2 页 (共 4 页)
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8
分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算:
18.先化简，再求值： 其中
19.为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲
头操控一架无人机进行高空测量.如图，无人机在湘江上
方距水面60 m的P处，测得南岸A 点与北岸B点的俯角
分别为30°和45°, 已 知 A , B , C 三 点 共 线 ( 点 C 为 P
在水平面上的垂直投影)，且PC⊥AB.求观测点 A，B
之间的距离.(结果保留根号)
20.某校为了解“双减”后学生每日完成作业时间，随机抽取部分学生进行调查，绘制
如下两幅不完整的统计图表.
组别 P B C D
时间t(分钟) 3 0 ≤t < 6 0 6 0 ≤t < 9 0 9 0≤t < 1 2 0120≤t<150
人数(人) 10 15
根据图表信息，解答下列问题：
(1)求被调查学生总数；
(2)求完成作业时间在30≤t<60分钟的学生对应的扇形圆心角度数；
(3)估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数.
2 1 . 如图, 在 R t △A B C 中 , ∠ A = 9 0 ° , A B = 8 , A C = 6点. E
在边AC上.将△ABE沿BE翻折，点A的对应点 F 恰好落
在 B C 上 .
( 1 ) 求 FC的长度;
(2) 求cos∠FBE的值.
22.为保障“长沙银行·2025湘江马拉松”选手参赛体验，赛事组委会计划在赛道沿线
投放两种补给包. A种补给包(含矿泉水、香蕉等)，成本为10元/份：B种补给包
(增加能量胶、盐丸等)，成本为20元/份.两种补给包共准备15000份.
(1)若本次补给包总采购费用为20万元，则A，B两种补给包各采购多少份
(2)为满足不同阶段选手需求，购进 B 种补给包的数量不少于 A 种补给包的 1.5
倍.请问最少需购进 B 种补给包多少份
23. 如图, 在 ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, E, F 分别
为OB, OD的中点, 连接AE, CF.
( 1 ) 求 证 : A E = C F :
( 2 )若AC⊥BD , A B = 5 ,求四边形ABCD的最大面积.
长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学(一) 第3 页 (共4页)
24.我们定义：对角线互相垂直的四边形叫“垂美四边形”.请解答以下问题：
(1)下列四边形一定是“垂美四边形”的是 . ( 填 序 号 )
①平行四边形 ② 矩 形 ③ 菱 形 ④正方形
( 2 ) 如图1, 若“垂美四边形” ABCD 内接于⊙E.
求证：
(3)在(2)条件下，以O 为原点，以 BD 所在直线为x轴，以AC 所在直线为y
轴建立直角坐标系，如图2.
①若A(0, 6 ) , B ( - 8 , 0), C(0, - 12), 过 点 E 作 E H ⊥ C D , 垂足为点 H, 求
E H 的 长 :
② 若 A ( 0 , a ) , B ( b0, ), C(0, c), D(d, 0), 记S△ABO, S△AOD, S△DOC, S△为BOC
S , S , S , S , 且 若 ( a - c ) ( d - b ) = 5 6 ,
求 的值.
25.如图，抛物线 与x轴相交于O，A两点(点A在x轴的正半轴上)，直线
y=x与抛物线相交于O，C两点.
( 1 )求点A和点C的坐标 (用含a的式子表示)：
( 2 ) 点 P为抛物线上的一个点, 连接OP , P C , P C交x轴于点H . △POC的内心
在x轴上, 且 K 为 P C 的 中 点 , 连接OK, KA . 求证:
(3 )在(2)条件下，设Q为抛物线上的一个动点，且在直线y=x的下方.以点Q
为圆心的OQ与直线y=x相切，记⊙Q的最大半径为R.试判断
是否为定值 如果是，请求出这个值：如果不是，请说明理由.
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{#{QQABDQE94giQkpSACR7qEwWICkgYkIIgLAgkwVAYOAxDSQFABAA=}#}2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷
数学（一)参考答案及评分标准
一、
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号
1
3
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
D
B
C
C
A
D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.(x+2)(x-2)
12.9
13.y=x2+4x+1
14.5
15.12
16.4
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第
22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
1
17.解：原式=1+2026+2+2×
…(4分)
2
=2030,…
…(6分)
18.解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2
=-2X,
…(4分）
当x=时，原式=-2x(分=1.
…(6分)
19.解：由题意得∠PAC=30°，∠PBC=45°，PC=60m.
在Rt△PAC中，tan∠PAC=PC
=tan30°，
C
∴AC=PC60
tan30°-√5
=60W5(m).
3
在Rt△PBC中，an∠PBC=PC
BC
=tan45°，
.'.BC=
PC 60
tan 451
=60(m),
.'4B=AC-BC =(60v3-60)m.
答：观测点A,B之间的距离为(60W3-60)m.
…(6分)
20.解：(1)被调查学生总数为：(10+15)÷(1-40%-10%)=50（人)：…(2分)
(2)360x10=
=72°.
50
答：作业完成时间在30≤t<60分钟的学生对应的扇形圆心角度数为72°：(5分)
(3)作业完成时间在120≤t150分钟的学生人数为：50×10%=5（人），
:.作业完成时间不少于90分钟分钟的人数预估为：800×15+5=320（人）.
50
答：每日作业时间不少于90分钟的人数估计为320人.…(8分)
长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷参考答案及评分标准第1页（共7页）
21.解：(1)，∠A=90°，AB=8,AC=6,
.BC=VAB2+AC2=V82+62=10.
由折叠性质，得BF=AB=8,EF=AE,∠EFB=∠A=90°，
.CF=BC-BF=10-8=2;…(4分)
(2)设EF=x,则EC=6-x,
在Rt△EFC中，EC2=EF2+CF2,
(6-=x2+2,解得x=8,即EF=8
在Rt△EFB中，BE=VEF2+BF2
3
+82-80
3
cos∠FBE=BF=8-3V10
…(8分)
BE8V1010
3
22.解：(1)设A种补给包采购x份，B种补给包采购y份
依题意，得x+y=15000,
解得x=10000,
10x+20y=200000,
y=5000.
答：采购A种补给包10000份，采购B种补给包为5000份：…(4分)
(2)设购进B种补给包m份，则购进A种补给包(15000-m)份.
依题意，得m≥1.5(15000-m),解得m≥9000.
答：最少需购进B种补给包9000份.…(9分)
23.(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，
.'AO=CO,BO=DO.
E,F分别为OB,OD的中点，
0E=0B,0F=0D,0E=0F.
在△AOE和△COF中，
[AO=OC,
∠AOE=∠COF,
OE=OF,
∴.△AOE≌△COF(SAS),
。AE=C℉；…(4分）
(2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G.
公
,AC⊥BD,
.四边形ABCD为菱形，
S菱形HBCD=BC·AG,
长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷参考答案及评分标准第2页（共7页）

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