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第56课时　磁场对运动电荷的作用
[学习目标]　1．会判断洛伦兹力的方向并计算其大小。2．学会分析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题。3．会分析洛伦兹力作用下带电体的运动。
对洛伦兹力的理解与应用
从太阳和其他星体发射出的高能粒子流(宇宙射线)在射向地球时，由于地磁场的存在改变了带电粒子的运动方向，对地球起到了保护作用。如图所示为地磁场对宇宙射线作用的示意图。现有来自宇宙的一束电子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点。
(1)用左手定则判断电子偏转方向时，四指指向电子运动的方向。 (　　)
(2)这些电子在进入地球周围的空间时相对于预定地点向西偏转。 (　　)
(3)这些电子在进入地球周围的空间后在地磁场的作用下将会被加速，速度增大。 (　　)
[典例1]　如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是(　　)
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程中的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
[典例2]　(带电体在磁场、重力场、电场中的运动)(多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1，如图甲所示；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2，如图乙所示；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3，如图丙所示；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图丁所示。不计空气阻力，则(　　)
A．一定有h1＝h3
B．一定有h1C．h2与h4无法比较
D．h1与h2无法比较
归纳总结：洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力 静电力
产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与 场方向的 关系 F⊥B(且F⊥v) F∥E
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做____________运动。
2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做________运动。
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝。
(2)轨迹半径：r＝。
(3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径________，只和粒子的________和磁场的________有关。
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝________。
(5)动能：Ek＝mv2＝＝。
3．粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
方法一　由r＝求得。
方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
例：如图甲，r＝或由r2＝L2＋(r－d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝θ。
②弦切角等于弦所对应圆心角的一半，如图乙，α＝θ。
(3)时间的计算方法
方法一　利用圆心角、周期求得t＝T。
方法二　利用弧长、线速度求得t＝＝。
(1)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动。 (　　)
(2)根据周期公式T＝得出T与v成反比。 (　　)
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。 (　　)
[典例3]　(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A．　 B．
C．(1＋)　 D．
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[典例4]　(多选)(2025·湖南衡阳11月联考)如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v0，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是(　　)
A．a粒子做圆周运动的半径为R
B．b粒子的速率为3v0
C．粒子的比荷为
D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2
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归纳总结：带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
多解分类 多解原因 示意图
带电粒 子电性 不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态 不唯一或 速度大小 不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出
运动的 往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
(1)粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。 (　　)
(2)带电粒子的多解只是因为电荷有正负。 (　　)
(3)带电粒子的多解只是因为电荷在磁场中做周期性运动。 (　　)
[典例5]　(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为(　　)
A．2BkL　 B．
C．　 D．
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[典例6]　如图所示，水平放置的平行板长度为L，两板间距也为L，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为－e)，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0，欲使电子不与平行板相碰撞，则(　　)
A．v0>或v0<　 B．C．v0>　　 D．v0<
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归纳总结：解决多解问题的一般思路
(1)明确带电粒子的电性和磁场方向。
(2)正确找出带电粒子运动的临界状态。
(3)结合带电粒子的运动轨迹，利用圆周运动的周期性进行分析计算。
第56课时
考点1
运动电荷　0　qvB　垂直　正电荷　洛伦兹力　不做功
情境辨析　(1)×　(2)√　(3)×
典例1　A　[小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右，A正确；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为0，所以小球运动过程中的速度变化，B错误；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化，C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。]
典例2　AC　[题图甲，由竖直上抛运动规律得h1＝，题图丙，当加上电场时，在竖直方向上有＝2gh3，即h3＝，所以h1＝h3，A正确；题图乙，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得mgh2＋Ek＝m，又m＝mgh1，所以h1>h2，D错误；题图丁，因不知道小球电性，则不能判断h4与h1、h2的大小关系，B错误，C正确。]
考点2
1．匀速直线
2．匀速圆周　(3)无关　比荷　磁感应强度　(4)T　
判断正误　(1)√　(2)×　(3)√
典例3　C　[
粒子的运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)，故C正确，A、B、D错误。]
典例4　BC　[
粒子的运动轨迹如图所示，设粒子a做圆周运动的轨迹半径为r1，由几何关系可知粒子a射出磁场时速度偏转角为，r1＝＝R，选项A错误；同理，由几何关系得r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v∝r，故可得＝，即vb＝3v0，选项B正确；又根据qvB＝m，可得粒子的比荷为＝，选项C正确；由T＝可知两粒子在磁场中圆周运动的周期相同，由几何关系可知∠AO1N＝，∠BO2N＝，又有t＝T，故两粒子在磁场中的运动时间之比为＝，选项D错误。]
考点3
判断正误　(1)×　(2)×　(3)×
典例5　BD　[
因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，即v＝＝Bk·(n＝1，2，3，…)，选项B、D正确。]
典例6　A　[
电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R＝，如图所示。当R1＝时，电子恰好与下板相切；当R2＝时，电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场)。由R1＝，解得v1＝，由R2＝，解得v2＝，所以欲使电子不与平行板相碰撞，电子初速度v0应满足v0>或v0<，A正确，B、C、D错误。]
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第十章　磁　场
第56课时　磁场对运动电荷的作用
[学习目标]　1．会判断洛伦兹力的方向并计算其大小。2．学会分析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题。3．会分析洛伦兹力作用下带电体的运动。
考点1　对洛伦兹力的理解与应用
运动电荷　
0　
qvB　
垂直　
正电荷　
洛伦兹力　
不做功
从太阳和其他星体发射出的高能粒子流(宇宙射线)在射向地球时，由于地磁场的存在改变了带电粒子的运动方向，对地球起到了保护作用。如图所示为地磁场对宇宙射线作用的示意图。现有来自宇宙的一束电子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点。
(1)用左手定则判断电子偏转方向时，四指指向电子运动的方向。 (　　)
(2)这些电子在进入地球周围的空间时相对于预定地点向西偏转。 (　　)
(3)这些电子在进入地球周围的空间后在地磁场的作用下将会被加速，速度增大。 (　　)
×　
√　
×
[典例1]　如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是(　　)
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程中的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
√
A　[小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右，A正确；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为0，所以小球运动过程中的速度变化，B错误；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化，C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。]
[典例2]　(带电体在磁场、重力场、电场中的运动)(多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1，如图甲所示；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2，如图乙所示；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3，如图丙所示；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图丁所示。不计空气阻力，则(　　)
A．一定有h1＝h3　 B．一定有h1C．h2与h4无法比较　 D．h1与h2无法比较
√
√
AC　[题图甲，由竖直上抛运动规律得h1＝，题图丙，当加上电场时，在竖直方向上有＝2gh3，即h3＝，所以h1＝h3，A正确；题图乙，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得mgh2＋Ek＝m，又m＝mgh1，所以h1>h2，D错误；题图丁，因不知道小球电性，则不能判断h4与h1、h2的大小关系，B错误，C正确。]
归纳总结：洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力 静电力
产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方向的关系 F⊥B(且F⊥v) F∥E
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
【教师备选资源】
(多选)如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F(图中未画出)的作用下以速度u向右做匀速运动。管道内有一带正电的小球，初始时位于管道M端且相对于管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电荷量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端的过程中(　　)
A．时间为
B．小球所受洛伦兹力做功为0
C．外力F的平均功率为quB
D．外力F的冲量为qBl
√
√
BD　[水平方向，小球以速度u向右做匀速运动，故小球受到的洛伦兹力在沿管道方向的分力保持不变，根据牛顿第二定律得quB＝ma，由初速度为0的位移公式得l＝at2，解得t＝，故A错误；小球所受洛伦兹力不做功，故B正确；小球所受洛伦兹力不做功，故在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做负功的大小，外力始终与洛伦兹力垂直于管道的分力平衡，则有WF＝Wy＝Wx＝quBl，外力F的平均功率P＝＝＝quB，故C错误；外力始终与洛伦兹力的垂直于管道的分力平衡，外力F的冲量大小IF＝Ix＝∑qvyBt＝qB∑vyt＝qBl，故D正确。]
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做__________运动。
2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做__________运动。
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝。
(2)轨迹半径：r＝。
考点2　带电粒子在匀强磁场中的运动
匀速直线
匀速圆周
(3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径______，只和粒子的______和磁场的____________有关。
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝_________。
(5)动能：Ek＝mv2＝＝。
无关　
比荷　
磁感应强度　
T　
3．粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
方法一　由r＝求得。
方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
例：如图甲，r＝或由r2＝L2＋(r－d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝θ。
②弦切角等于弦所对应圆心角的一半，如图乙，α＝θ。
(3)时间的计算方法
方法一　利用圆心角、周期求得t＝T。
方法二　利用弧长、线速度求得t＝＝。
(1)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动。 (　　)
(2)根据周期公式T＝得出T与v成反比。 (　　)
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。 (　　)
√　
×　
√
[典例3]　(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A．　 B．
C．(1＋)　 D．
√
C　[粒子的运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)，故C正确，A、B、D错误。]
[典例4]　(多选)(2025·湖南衡阳11月联考)如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v0，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是(　　)
A．a粒子做圆周运动的半径为R
B．b粒子的速率为3v0
C．粒子的比荷为
D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2
√
√
BC　[粒子的运动轨迹如图所示，设粒子a做圆周运动的轨迹半径为r1，由几何关系可知粒子a射出磁场时速度偏转角为，r1＝＝R，选项A错误；同理，由几何关系得r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v∝r，故可得＝，即vb＝3v0，选项B正确；又根据qvB＝m，可得粒子的比荷为＝，选项C正确；由T＝可知两粒子在磁场中圆周运动的周期相同，由几何关系可知∠AO1N＝，∠BO2N＝，又有t＝T，故两粒子在磁场中的运动时间之比为＝，选项D错误。]
归纳总结：带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向
射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，
粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
考点3　带电粒子在磁场中运动的多解问题
多解分类 多解原因 示意图
带电粒 子电性 不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况
多解分类 多解原因 示意图
临界状态 不唯一或 速度大小 不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出
运动的 往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性

(1)粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。 (　　)
(2)带电粒子的多解只是因为电荷有正负。 (　　)
(3)带电粒子的多解只是因为电荷在磁场中做周期性运动。 (　　)
×　
×　
×
[典例5]　(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为(　　)
A．2BkL　 B．
C．　 D．
√
√
BD　[因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，即v＝＝Bk·(n＝1，2，3，…)，选项B、D正确。]
[典例6]　如图所示，水平放置的平行板长度为L，两板间距也为L，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为－e)，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0，欲使电子不与平行板相碰撞，则(　　)
A．v0>或v0<　 B．C．v0>　 D．v0<
√
A　[电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R＝，如图所示。当R1＝时，电子恰好与下板相切；当R2＝时，电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场)。由R1＝，解得v1＝，由R2＝，解得v2＝，所以欲使电子不与平行板相碰撞，电子初速度v0应满足v0>或v0<，A正确，B、C、D错误。]
归纳总结：解决多解问题的一般思路
(1)明确带电粒子的电性和磁场方向。
(2)正确找出带电粒子运动的临界状态。
(3)结合带电粒子的运动轨迹，利用圆周运动的周期性进行分析计算。
课时作业(五十六)　磁场对运动电荷的作用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
1．(2025·云南昆明模拟)如图所示，在示波管右边有一通电圆环，则示波管中的电子束将(　　)
A．向上偏转　 B．向下偏转
C．向纸外偏转　 D．匀速直线运动
√
D　[由安培定则可知，在示波管处电流磁场方向水平向右，电子由左向右运动，与磁感线平行，由左手定则可知，电子在运动过程中不受洛伦兹力，电子束做匀速直线运动。故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2025·东北三省四市模拟)图(a)中，在x轴上关于原点对称的位置固定两个等量异种点电荷。图(b)中，在x轴上关于原点对称的位置固定两根垂直于该平面的长直平行导线，两根导线中电流大小相同、方向相反。现电子以一定的初速度分别从两图中的O点垂直于平面向里运动，则关于两幅图中电子在原点O受力的说法正确的是(　　)
A．图(a)中，电子受静电力方向沿x轴正向
B．图(a)中，电子受静电力方向沿y轴正向
C．图(b)中，电子受洛伦兹力方向沿x轴正向
D．图(b)中，电子受洛伦兹力方向沿y轴正向
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[题图(a)中，正电荷在O点的电场强度沿x轴正向，负电荷在O点的电场强度沿x轴正向，则O点的合电场强度沿x轴正向，电子受静电力方向沿x轴负向，故A、B错误；根据右手螺旋定则可知，两根导线在O点的磁场方向均沿y轴负向，则O点的磁场方向沿y轴负向，根据左手定则可知电子受洛伦兹力方向沿x轴正向，故C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(多选)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v-t图像可能是(　　)
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
√
ACD　[设物块的初速度为v0，则FN＝Bqv0，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物块向下做匀速运动，选项A有可能；若mg>μBqv0，则物块开始时有向下的加速度，由a＝可知，随着速度增大，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D有可能，选项B不可能；若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，物块做减速运动，由a'＝可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，选项C有可能。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，有界磁场的宽度为d，一带电荷量大小为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直于边界射入磁场，离开磁场时速度的偏角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　)
A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径为4d
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[带电粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有R＝＝2d，故A错误；带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度ω＝＝，故B错误；带电粒子在匀强磁场中运动的时间t＝×＝，故C正确；由洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝m，解得B＝，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(多选)(2025·辽宁大连一模)如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量大小为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．A点到CD的距离为
C．粒子在磁场中运动的位移大小为R
D．粒子在磁场中运动的时间为
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BC　[粒子在磁场中运动的半径r＝＝R，A错误；由几何关系可知，A点到CD的距离d＝Rcos 60°＝，B正确；粒子在磁场中运动的位移大小x＝2Rsin 60°＝R，C正确；粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(多选)(2025·山东济南一模)如图所示，直角三角形ABC区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，∠A＝60°，AC边长为L。两个相同的带正电粒子从A点沿AB方向分别以不同的速率v1、v2射入。若v1A．1∶3　 B．2∶9
C．3∶4　 D．3∶5
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
AB　[速率为v1的粒子从AC边射出，根据粒子的运动轨迹以及几何关系可知，该粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，当轨迹过C点时，粒子圆周运动的半径最大，如图所示，根据几何关系可知，有2R1maxsin 60°＝L，由于洛伦兹力提供向心力，则有qv1maxB＝m，解得v1max＝，由于粒子在磁场中运动的周期T＝，令粒子轨迹对应的圆心角为θ，粒子运动的时间t＝T，解得t＝，由于两个粒子在三角形区域内运动的时间t1∶t2＝2∶1，可知速率为v2的粒子运动轨迹对应的圆心角为60°，可知速率为v2的粒子必定从BC边射出，根据其运动轨迹及几何关系有L＝R2sin 60°，由于洛伦兹力提供向心力，则有qv2B＝m，解得v2＝，综上所述，两个粒子的速率之比≤＝，可知两个粒子的速率之比v1∶v2可能为
1∶3或2∶9，故A、B正确，C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(多选)(2025·河北衡水一模)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直于ad边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是(　　)
A．从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大
B．从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等
C．从bc边离开的电子速度越大，偏转的角度越大
D．从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BD　[电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图所示，可知从d点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A错误；电子在磁场中运动的时间t＝＝，由轨迹图可知，从ad边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B正确；由evB＝可得r＝，可知速度越大半径越大，所以从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点，同理可知从bc边离开的电子速度越大，半径越大，
则速度偏转角越小，故C错误，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·陕晋青宁卷)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R，正中央有一电子发射源O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小从0缓慢调
至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相
互作用及其重力的影响，R、v0、B0均为已知量。求：
(1)电子的比荷；
(2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解析]　(1)由题意可知，当垂直于轴线射出的电子恰不打到筒壁上时，磁感应强度大小为B0
根据几何关系可知，此种情况下电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r0＝
根据洛伦兹力提供向心力有ev0B0＝m
解得＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(2)当磁感应强度大小调至时，电子运动轨迹的半径r'＝2r0＝R，从筒的横截面看，电子轨迹如图甲所示，筒壁截面任意位置均有电子落到。
题号
1
3
5
2
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8
7
9
取轴截面分析，根据对称性，可分析单边侧壁，如图乙所示，当电子速度与磁场不垂直时，将速度分解为vx和vy，电子做螺旋线运动方向平行于横截面的分运动是速率为vx的匀速圆周运动，沿轴向的分运动是速率为vy的匀速直线运动，如图丙所示；当平行于横截面做匀速圆周运动的轨迹直径为R时，电子恰好不落到筒壁上，即运动半径r0＝，根据evxB＝，代入r0＝、
B＝、＝
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
联立解得vx＝
则vy＝，解得vy＝
周期T＝或T＝＝
所以筒壁上沿轴向下半部分有电子落上的高度d＝vy·＝，如图丁所示，由对称性可知，整个筒壁沿轴向有电子落到区域的高度为2d
则筒壁上落有电子的区域面积S＝2πR·2d
联立解得S＝2π2R2。
题号
1
3
5
2
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6
8
7
9
9．(2025·陕西西安模拟)如图所示，真空区域内有一宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。AB、CD为磁场的边界。O是AB上一粒子源，某时刻从O点沿各个方向射入大量速度大小相等、方向与磁场方向垂直、质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)。已知沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)粒子在磁场中做圆周运动的速度大小；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间。
题号
1
3
5
2
4
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9
[解析]　(1)沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场，轨迹如图所示，由几何关系可得粒子做圆周运动的半径R＝＝d
由粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m
解得R＝
故所有粒子做圆周运动的半径都相同，为d。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(2)由R＝＝d
得粒子的速度v＝＝。
(3)当粒子轨迹与CD边相切时，轨迹圆的圆心角α最大，如图所示，粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系得cos ＝
代入数据得cos ＝1－
即α＝164°，粒子做圆周运动的周期T＝＝
粒子在磁场中运动的最长时间t＝T
代入数据得t＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[答案]　(1)d　(2)　(3)
谢谢！课时作业(五十六)　磁场对运动电荷的作用
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共63分。
1．(2025·云南昆明模拟)如图所示，在示波管右边有一通电圆环，则示波管中的电子束将(　　)
A．向上偏转　 B．向下偏转
C．向纸外偏转　 D．匀速直线运动
2．(2025·东北三省四市模拟)图(a)中，在x轴上关于原点对称的位置固定两个等量异种点电荷。图(b)中，在x轴上关于原点对称的位置固定两根垂直于该平面的长直平行导线，两根导线中电流大小相同、方向相反。现电子以一定的初速度分别从两图中的O点垂直于平面向里运动，则关于两幅图中电子在原点O受力的说法正确的是(　　)
A．图(a)中，电子受静电力方向沿x轴正向
B．图(a)中，电子受静电力方向沿y轴正向
C．图(b)中，电子受洛伦兹力方向沿x轴正向
D．图(b)中，电子受洛伦兹力方向沿y轴正向
3．(多选)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v-t图像可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　 　D
4．(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，有界磁场的宽度为d，一带电荷量大小为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直于边界射入磁场，离开磁场时速度的偏角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　)
A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径为4d
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
5．(多选)(2025·辽宁大连一模)如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量大小为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．A点到CD的距离为
C．粒子在磁场中运动的位移大小为R
D．粒子在磁场中运动的时间为
6．(多选)(2025·山东济南一模)如图所示，直角三角形ABC区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，∠A＝60°，AC边长为L。两个相同的带正电粒子从A点沿AB方向分别以不同的速率v1、v2射入。若v1A．1∶3　 B．2∶9
C．3∶4　 D．3∶5
7．(多选)(2025·河北衡水一模)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直于ad边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是(　　)
A．从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大
B．从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等
C．从bc边离开的电子速度越大，偏转的角度越大
D．从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点
8．(12分)(2025·陕晋青宁卷)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R，正中央有一电子发射源O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小从0缓慢调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响，R、v0、B0均为已知量。求：
(1)电子的比荷；
(2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。
9．(15分)(2025·陕西西安模拟)如图所示，真空区域内有一宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。AB、CD为磁场的边界。O是AB上一粒子源，某时刻从O点沿各个方向射入大量速度大小相等、方向与磁场方向垂直、质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)。已知沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)粒子在磁场中做圆周运动的速度大小；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间。
课时作业(五十六)
1．D　[由安培定则可知，在示波管处电流磁场方向水平向右，电子由左向右运动，与磁感线平行，由左手定则可知，电子在运动过程中不受洛伦兹力，电子束做匀速直线运动。故选D。]
2．C　[题图(a)中，正电荷在O点的电场强度沿x轴正向，负电荷在O点的电场强度沿x轴正向，则O点的合电场强度沿x轴正向，电子受静电力方向沿x轴负向，故A、B错误；根据右手螺旋定则可知，两根导线在O点的磁场方向均沿y轴负向，则O点的磁场方向沿y轴负向，根据左手定则可知电子受洛伦兹力方向沿x轴正向，故C正确，D错误。]
3．ACD　[设物块的初速度为v0，则FN＝Bqv0，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物块向下做匀速运动，选项A有可能；若mg>μBqv0，则物块开始时有向下的加速度，由a＝可知，随着速度增大，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D有可能，选项B不可能；若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，物块做减速运动，由a'＝可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，选项C有可能。]
4．C　[
带电粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有R＝＝2d，故A错误；带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度ω＝＝，故B错误；带电粒子在匀强磁场中运动的时间t＝×＝，故C正确；由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，解得B＝，故D错误。]
5．BC　[粒子在磁场中运动的半径r＝＝R，A错误；由几何关系可知，A点到CD的距离d＝Rcos 60°＝，B正确；粒子在磁场中运动的位移大小x＝2Rsin 60°＝R，C正确；粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，D错误。]
6．AB　[
速率为v1的粒子从AC边射出，根据粒子的运动轨迹以及几何关系可知，该粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，当轨迹过C点时，粒子圆周运动的半径最大，如图所示，根据几何关系可知，有2R1maxsin 60°＝L，由于洛伦兹力提供向心力，则有qv1maxB＝m，解得v1max＝，由于粒子在磁场中运动的周期T＝，令粒子轨迹对应的圆心角为θ，粒子运动的时间t＝T，解得t＝，由于两个粒子在三角形区域内运动的时间t1∶t2＝2∶1，可知速率为v2的粒子运动轨迹对应的圆心角为60°，可知速率为v2的粒子必定从BC边射出，根据其运动轨迹及几何关系有L＝R2sin 60°，由于洛伦兹力提供向心力，则有qv2B＝m，解得v2＝，综上所述，两个粒子的速率之比≤＝，可知两个粒子的速率之比v1∶v2可能为1∶3或2∶9，故A、B正确，C、D错误。]
7．BD　[
电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图所示，可知从d点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A错误；电子在磁场中运动的时间t＝·＝，由轨迹图可知，从ad边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B正确；由evB＝可得r＝，可知速度越大半径越大，所以从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点，同理可知从bc边离开的电子速度越大，半径越大，则速度偏转角越小，故C错误，D正确。]
8．解析：(1)由题意可知，当垂直于轴线射出的电子恰不打到筒壁上时，磁感应强度大小为B0
根据几何关系可知，此种情况下电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r0＝
根据洛伦兹力提供向心力有ev0B0＝m
解得＝。
(2)当磁感应强度大小调至时，电子运动轨迹的半径r'＝2r0＝R，从筒的横截面看，电子轨迹如图甲所示，筒壁截面任意位置均有电子落到。
取轴截面分析，根据对称性，可分析单边侧壁，如图乙所示，当电子速度与磁场不垂直时，将速度分解为vx和vy，电子做螺旋线运动
方向平行于横截面的分运动是速率为vx的匀速圆周运动，沿轴向的分运动是速率为vy的匀速直线运动，如图丙所示；当平行于横截面做匀速圆周运动的轨迹直径为R时，电子恰好不落到筒壁上，即运动半径r0＝，根据evxB＝，代入r0＝、B＝、＝
联立解得vx＝
则vy＝，解得vy＝
周期T＝或T＝＝
所以筒壁上沿轴向下半部分有电子落上的高度d＝vy·＝，如图丁所示，由对称性可知，整个筒壁沿轴向有电子落到区域的高度为2d
则筒壁上落有电子的区域面积S＝2πR·2d
联立解得S＝2π2R2。
答案：(1)　(2)2π2R2
9．解析：
(1)沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场，轨迹如图所示，由几何关系可得粒子做圆周运动的半径R＝＝d
由粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m
解得R＝
故所有粒子做圆周运动的半径都相同，为d。
(2)由R＝＝d
得粒子的速度v＝＝。
(3)当粒子轨迹与CD边相切时，轨迹圆的圆心角α最大，如图所示，粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系得cos ＝
代入数据得cos ＝1－
即α＝164°，粒子做圆周运动的周期T＝＝
粒子在磁场中运动的最长时间t＝T
代入数据得t＝。
答案：(1)d　(2)　(3)
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