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第57课时　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2．会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界问题。3．培养模型建构能力、数形结合能力、逻辑推理能力等。
“平移圆”模型
适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径r＝，如图所示
轨迹圆 圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
[典例1]　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
“放缩圆”模型
适用条件 粒子源发射初速度方向一定、大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆 圆心共线 带正电粒子速度v越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
[典例2]　如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
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(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
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“旋转圆”模型
适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆 圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
[典例3]　(2025·安徽卷)如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
第57课时
进阶点1
典例1　CD　[
带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确。]
进阶点2
典例2　解析：
(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示
有qBv0＝，又T＝
解得T＝
又由几何关系得θ＝74°
则粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示
设此时速度为v01，轨迹半径为R1
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝，解得v01＝
当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨迹半径为R2
由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l
又qBv02＝，解得v02＝
综上可得答案：(1)　(2)进阶点3
典例3　C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子的运动半径为r＝d，A错误；当粒子恰经过薄板最右端打到薄板上表面时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最远，当粒子沿x轴正方向射出时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最近，对应运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1＝2rcos 30°－r＝(－1)d，B错误；结合B项分析可知，粒子能打到薄板下表面的最右端，当粒子的运动轨迹与薄板相切时，粒子打到薄板下表面的位置距N点最远，轨迹如图2所示，由几何关系可知，薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2＝d，C正确；粒子在磁场中的运动周期T＝＝，又t＝T，故粒子运动轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，结合B、C项分析可知，打在薄板下表面右端的粒子运动时间最短，结合几何关系有tmin＝·＝，D错误。
]
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第十章　磁　场
第57课时　“动态圆”思维处理磁场中的临界、
极值问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2．会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界问题。3．培养模型建构能力、数形结合能力、逻辑推理能力等。
进阶点1　“平移圆”模型
适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径r＝，如图所示

轨迹圆 圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
[典例1]　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
√
√
CD　[带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，
故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，
选项D正确。]
进阶点2　“放缩圆”模型
适用条件 粒子源发射初速度方向一定、大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆 圆心共线 带正电粒子速度v越大，运动半径也越大。
运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP'上

界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
[典例2]　如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
[解析]　(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示
有qBv0＝，又T＝
解得T＝
又由几何关系得θ＝74°
则粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示
设此时速度为v01，轨迹半径为R1
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝，解得v01＝
当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨迹半径为R2
由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l
又qBv02＝，解得v02＝
综上可得[答案]　(1)　(2)进阶点3　“旋转圆”模型
适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示

轨迹圆 圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上

界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
[典例3]　(2025·安徽卷)如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
√
C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子的运动半径为r＝d，A错误；当粒子恰经过薄板最右端打到薄板上表面时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最远，当粒子沿x轴正方向射出时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最近，对应运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1＝2rcos 30°－r＝(－1)d，B错误；结合B项分析可知，粒子能打到薄板下表面的最右端，当粒子的运动轨迹与薄板相切时，粒子打到薄板下表面的位置距N点最远，轨迹如图2所示，由几何关系可知，薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2＝d，C正确；粒子在磁场中的运动周期T＝＝，又t＝T，故粒子运动轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，结合B、C项分析可知，打在薄板下表面右端的粒子运动时间最短，结合几何
关系有tmin＝＝，D错误。]
【教师备选资源】
如图所示，O'PQ是关于y轴对称的四分之一圆，在PQNM区域有均匀辐向电场，PQ与MN间的电压为U。一初速度为0的带正电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O'进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)求沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。
[解析]　(1)由动能定理可知qU＝mv2
由已知条件结合几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的半径R0＝R
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
得＝。
(2)沿y轴正方向入射的带电粒子，设其在磁场中做圆周运动的圆心角为θ，由几何关系可知θ＝90°，所以t＝T，且T＝，解得t＝。
(3)如图，沿QN方向入射的带电粒子，离开磁场的出射点a在y轴上的投影与O'的距离为Δy＝R＋R，故a点的纵坐标ya＝R，同理可得，沿PM方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b的纵坐标yb＝
－R，带电粒子离开磁场时的纵坐标范围为－R～R。
[答案]　(1)　(2)　(3)－R～R
课时作业(五十七)　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题
(思维进阶课)
1．如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
2．如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A．，　　　　　 B．，
C．，　 D．，
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A　[若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，可以得出离y轴最远距离为x＝2r＝，离x轴最远距离为y＝2r＝，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
3．(2025·湖北武汉模拟)如图所示，在xOy平面内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2×102 T，在y轴正半轴距离原点5 cm处有一粒子放射源A，可向任意方向发射速度大小为1×10-3 m/s的带正电粒子，带电粒子的比荷为1×10-4 C/kg，在x轴上x≥－5 cm范围存在一个下表面涂有感光物质的挡板，粒子打在其上会感光，则在挡板下表面出现光斑的范围是(　　)
A．－5 cm≤x≤0
B．－5 cm≤x≤5 cm
C．0≤x≤5 cm
D．－5 cm≤x≤5 cm
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
B　[粒子带正电，由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由qvB＝m可得r＝＝5 cm，粒子运动的两种临界情况如图所示。当粒子沿轨迹①运动时，打到最左端，位置坐标为(－5 cm，0)，当粒子沿轨迹②运动时，打到最右端，由几何知识可知，最右端位置坐标为(5 cm，0)，故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
4．如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出的区域长度为(　　)
A．L　 B．L
C．L　 D．L
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
C　[由题意可知，粒子均向上偏转，从D点射入和从B点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝L，则有AE＝L，因为D点是AB的中点，所以D点是从B点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×L·cos 30°＝，
所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝L，故A、
B、D错误，C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
5．如图所示，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(未画出)，线状粒子源OM与屏ON垂直，ON＝2OM＝2L，粒子源能发射质量为m、电荷量为＋q、速度大小为v、方向与磁场垂直且与OM夹角θ＝45°的粒子，已知v＝，不计粒子重力，则屏ON上有粒子打到的区域长度为(　　)
A．L　 B．(－1)L
C．L　 D．L
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[如图，粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O1O2连线上，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得r＝，则M点及O点发出的粒子恰好可打到O点，OM之间的粒子均可打到屏上，其中自OM中点发出的粒子圆心位于NO延长线上，该粒子打在屏上的位置距离O点最远，根据几何关系可得屏上有粒子打
到的区域长度为s＝r(1－sin 45°)＝L，故D
正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
6．(多选)(2025·浙江杭州模拟)如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB、CD边足够长，AD边长为L。现有质量为m、电荷量为q的不同速率的带正电粒子，从AD的中点E射入磁场且速度方向与AD成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．从AB边射出粒子的最小速度为
C．从CD边射出粒子的最小速度为
D．AB边上有粒子射出的区域长度为L
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
CD　[当粒子从AD边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，由图可知粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝×＝，故A错误；当粒子刚好与AB边相切时，从AB边射出粒子的速度最小，如图乙所示，根据几何关系可得r1＋r1sin 30°＝，得r1＝，由洛伦兹力提供向心力得qv1B＝m，联立解得v1＝，故B错误；当粒子刚好与CD边相切时，从CD边射出粒子的速度最小，如图丙所示，根据几何关系可得r2＝L，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，联立解得v2＝，故C正确；由B、C选项分析图中几何关系可得AB边上有粒子射出的区域长度为Δs＝r2＋r2cos 30°－r1cos 30°＝L，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
7．(多选)如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量大小为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，穿过PQ边界线的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为L，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为
C．粒子从PQ边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
BC　[作出一些粒子的运动轨迹如图所示，从b点射出的粒子根据几何关系有R2＝(L－R)2＋，求得R＝L，A项错误；由qvB＝m得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B项正确；设粒子从PQ射出区域的上端d点到c点的距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，
求得s＝，因此bd＝L，C项正确；从c点射出磁场的粒子，
在a点时速度与MN的夹角θ满足2Rcos θ＝L，可得cos θ＝0.8，
则θ≠30°，D项错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
8．如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
(1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝，
求该粒子在磁场中运动的时间；
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动时间的最大值；
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解析]　(1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，圆弧对应的圆心角为90°，由T＝
可得t1＝＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场中运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角为60°
粒子在磁场中运动时间的最大值t2＝＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(3)由v3＝
可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为
一半圆，如图丙所示
由几何关系可知，出射点分布的长度为磁场边界的，即s＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[答案]　(1)　(2)　(3)
谢谢！课时作业(五十七)　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(思维进阶课)
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共47分。
1．如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
2．如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A．，　　　　　 B．，
C．，　 D．，
3．(2025·湖北武汉模拟)如图所示，在xOy平面内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2×102 T，在y轴正半轴距离原点5 cm处有一粒子放射源A，可向任意方向发射速度大小为1×10-3 m/s的带正电粒子，带电粒子的比荷为1×10-4 C/kg，在x轴上x≥－5 cm范围存在一个下表面涂有感光物质的挡板，粒子打在其上会感光，则在挡板下表面出现光斑的范围是(　　)
A．－5 cm≤x≤0
B．－5 cm≤x≤5 cm
C．0≤x≤5 cm
D．－5 cm≤x≤5 cm
4．如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出的区域长度为(　　)
A．L　 B．L
C．L　 D．L
5．如图所示，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(未画出)，线状粒子源OM与屏ON垂直，ON＝2OM＝2L，粒子源能发射质量为m、电荷量为＋q、速度大小为v、方向与磁场垂直且与OM夹角θ＝45°的粒子，已知v＝，不计粒子重力，则屏ON上有粒子打到的区域长度为(　　)
A．L　 B．(－1)L
C．L　 D．L
6．(多选)(2025·浙江杭州模拟)如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB、CD边足够长，AD边长为L。现有质量为m、电荷量为q的不同速率的带正电粒子，从AD的中点E射入磁场且速度方向与AD成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．从AB边射出粒子的最小速度为
C．从CD边射出粒子的最小速度为
D．AB边上有粒子射出的区域长度为L
7．(多选)如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量大小为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，穿过PQ边界线的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为L，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为
C．粒子从PQ边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
8．(15分)如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
(1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝，求该粒子在磁场中运动的时间；
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动时间的最大值；
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
课时作业(五十七)
1．C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。
]
2．A　[
若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，可以得出离y轴最远距离为x＝2r＝，离x轴最远距离为y＝2r＝，故选A。]
3．B　[
粒子带正电，由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由qvB＝m可得r＝＝5 cm，粒子运动的两种临界情况如图所示。当粒子沿轨迹①运动时，打到最左端，位置坐标为(－5 cm，0)，当粒子沿轨迹②运动时，打到最右端，由几何知识可知，最右端位置坐标为(5 cm，0)，故选B。]
4．C　[
由题意可知，粒子均向上偏转，从D点射入和从B点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝L，则有AE＝L，因为D点是AB的中点，所以D点是从B点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×L·cos 30°＝，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝L，故A、B、D错误，C正确。]
5．D　[
如图，粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O1O2连线上，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得r＝，则M点及O点发出的粒子恰好可打到O点，OM之间的粒子均可打到屏上，其中自OM中点发出的粒子圆心位于NO延长线上，该粒子打在屏上的位置距离O点最远，根据几何关系可得屏上有粒子打到的区域长度为s＝r(1－sin 45°)＝L，故D正确。]
6．CD　[当粒子从AD边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，由图可知粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝×＝，故A错误；当粒子刚好与AB边相切时，从AB边射出粒子的速度最小，如图乙所示，根据几何关系可得r1＋r1sin 30°＝，得r1＝，由洛伦兹力提供向心力得qv1B＝m，联立解得v1＝，故B错误；当粒子刚好与CD边相切时，从CD边射出粒子的速度最小，如图丙所示，根据几何关系可得r2＝L，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，联立解得v2＝，故C正确；由B、C选项分析图中几何关系可得AB边上有粒子射出的区域长度为Δs＝r2＋r2cos 30°－r1cos 30°＝L，故D正确。
]
7．BC　[
作出一些粒子的运动轨迹如图所示，从b点射出的粒子根据几何关系有R2＝(L－R)2＋，求得R＝L，A项错误；由qvB＝m得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B项正确；设粒子从PQ射出区域的上端d点到c点的距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，求得s＝，因此bd＝L，C项正确；从c点射出磁场的粒子，在a点时速度与MN的夹角θ满足2Rcos θ＝L，可得cos θ＝0.8，则θ≠30°，D项错误。]
8．解析：
(1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，圆弧对应的圆心角为90°，由T＝
可得t1＝＝。
(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场中运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角为60°
粒子在磁场中运动时间的最大值t2＝＝。
(3)由v3＝
可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图丙所示
由几何关系可知，出射点分布的长度为磁场边界的，即s＝。
答案：(1)　(2)　(3)
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