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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．适用省份：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026·贵州安顺·模拟预测）等差数列中，，则数列中正数项共有（ ）
A．7项 B．8项 C．9项 D．10项
4．（2026·四川泸州·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．（2026·贵州安顺·模拟预测）下表为“2016-2025年某地区数字经济总体规模”相关数据（其中市场规模是逐年递增的）.
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
市场规模/万亿元 22.6 27.2 31.3 35.8 39.2 45.5 50.2 63.2 70.8
由于不小心，2023年的市场规模数据被污染了，但知道表中数据的第40百分位数与上四分位数之和为93.6，则2023年的市场规模数据为（ ）
A．54.5 B．56.1 C．57.9 D．60.8
6．（2026·云南·模拟预测）若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C．或 D．
7．（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·山西晋中·三模）已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
10．（2026·山西·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．存在动点，使平面
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2
D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为
11．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ）
A．坐标原点O到直线AB的距离为
B．若，则的取值范围为
C．的面积最大值为
D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026·重庆万州·三模）复数的实部与虚部之差为______.
13．（2026·山西·二模）已知是五次函数，若是方程的三重根，是方程的三重根，则的解析式是________.
14．（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
16．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．（2026·重庆渝中·三模）2026 年 4 月 19 日， 第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行， 来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的 500 台机器人进行统计，得到如下列联表 （单位： 台）：
完成比赛 未完成比赛
搭载智能避障系统 180 70
未搭载智能避障系统 120 130
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 有关
(2)从该 500 台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为 10 的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为.求的数学期望 .
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2026·云南·模拟预测）已知点在抛物线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线与抛物线C相交于M，N两点，
（ⅰ）若，求实数k的值；
（ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程．
19．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：．
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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．适用省份：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，解得，
，
．
2．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量.
【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得，
所以，
因为与均为非零向量的倍数，
所以与共线，即，充分性成立.
若，当时，，所以；
当时，存在实数，使得，所以，
假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，，
所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立.
综上，“”是“”的充要条件.
3．（2026·贵州安顺·模拟预测）等差数列中，，则数列中正数项共有（ ）
A．7项 B．8项 C．9项 D．10项
【答案】B
【分析】先根据等差数列基本计算得，再解即可求得答案.
【详解】设等差数列的公差为，
因为等差数列中，，
所以，解得，
所以，
故，解得，
因为，所以时，，即数列中正数项共有8项.
4．（2026·四川泸州·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】先根据正切函数图像上零点与相邻渐近线的水平距离，利用公式求出，再结合图像过点与零点，利用正切函数零点满足，结合确定值，最后将和函数值及代入解析式，求得即可.
【详解】由图知，得到，
又由图知，
由，得到，
又，所以即，
由，得，所以.
5．（2026·贵州安顺·模拟预测）下表为“2016-2025年某地区数字经济总体规模”相关数据（其中市场规模是逐年递增的）.
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
市场规模/万亿元 22.6 27.2 31.3 35.8 39.2 45.5 50.2 63.2 70.8
由于不小心，2023年的市场规模数据被污染了，但知道表中数据的第40百分位数与上四分位数之和为93.6，则2023年的市场规模数据为（ ）
A．54.5 B．56.1 C．57.9 D．60.8
【答案】B
【详解】
设2023年的市场规模数据为，
因市场规模是逐年递增，由可知第40百分位数为，
由可知上四分位数为，
，解得．
6．（2026·云南·模拟预测）若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【详解】由可得，故，
当，则，方程只有一个实数解，满足题设要求，
此时双曲线方程为，，；
当时，，此时，
此时双曲线方程为，，.
7．（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质，可得在上恒成立，再结合二次函数的图象性质，讨论对称轴和区间的位置关系，即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以由在上恒成立，可得在上恒成立，
又当时，，其对称轴为，
若，即，则在上单调递增，则，
解得，所以，
若，即，则在单调递减，在上单调递增，
则，即，解得，所以，
若，即，则在上单调递减，则，
解得，所以.
综上所述，的取值范围为.
8．（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案.
【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点.
设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面.
过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面.
因为，，所以，.
取的中点E连接，，可得，，
则.
设，连接，，则，解得，
故三棱锥外接球的表面积为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·山西晋中·三模）已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
【答案】AC
【详解】因为，所以或.
当时，，此时；
当时，或，此时或.
AC选项正确.
10．（2026·山西·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．存在动点，使平面
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2
D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为
【答案】BCD
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法计算判断；对于B，由线面平行的判定定理及面面平行的性质定理求得动点的轨迹计算判断；对于C，由点到直线距离空间向量法及点到平面距离空间向量法结合图形计算判断；对于D，由点到平面距离空间向量法计算距离，进而计算截面圆的半径后可得截面圆面积.
【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
对于A，设，且，
，
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以平面的法向量为，
若平面，则，
由，解得，不合题意，
不存在动点，使平面，故A错误；
对于B，如图，取的中点，的中点，连接，
则，由正方体性质可知，故，
平面，平面，
平面，
， ，
因为，且平面，
平面，
且平面，
平面平面，
若平面，则平面，
动点的轨迹为线段，其长度为，故B正确；
对于C，，
，
空间向量法计算点到直线的距离为，
则的面积为，
显然，当与重合时，三棱锥的体积最大，则，
点到平面的距离为，
三棱锥体积的最大值为，故C正确；
对于D，正方体外接球的球心为，半径，
则，则点到平面的距离为，
故球被平面所截截面圆半径，
截面圆的面积为，故D正确.
11．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ）
A．坐标原点O到直线AB的距离为
B．若，则的取值范围为
C．的面积最大值为
D．
【答案】ACD
【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断A；利用向量数量积的坐标公式结合点在椭圆上可判断B；利用椭圆的参数方程求出点到直线距离的最大值可判断C；计算出的坐标进而可得和，结合点在椭圆上即可求解.
【详解】椭圆，得，坐标，
第一象限椭圆上，满足，即.
对于A：直线过，方程为，即，
原点到的距离 ，A正确；
对于B： ， 代入，
得： 即，不是， B错误；
对于C：，到直线的距离，则，
由参数方程，得，，最大值为，
因此： ， C正确；
对于D：直线方程：，令得，则，
直线方程：，令得，则，
，代入，
得， D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026·重庆万州·三模）复数的实部与虚部之差为______.
【答案】
【详解】由，
所以实部与虚部之差为.
13．（2026·山西·二模）已知是五次函数，若是方程的三重根，是方程的三重根，则的解析式是________.
【答案】
【分析】设出一般式，重根及导函数建立方程求解即可.
【详解】由题知是四次函数，则0，1是方程的二重根，
不妨设，
则.
，.
又，.
.
14．（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____.
【答案】 /
【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为.
【详解】①已知，正态曲线图像关于对称，
故，
因此.
②由题意，，满足，且与独立，
由全概率公式： (1)
令，则,
即等价于 (2)
(1)(2)两式相加
结合第一空的结论，
得.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式；
（2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，满足上式，所以；
由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）
.
16．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；
（2）取AB的中点，连接ED，分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PMC与平面PAN的法向量，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】（1）因为平面平面，所以平面.
因为是斜边的等腰直角三角形，所以．
如图1，取AC的中点，连接PE．
因为是正三角形，且，所以，且，
又平面平面ABC，平面平面，
所以平面.
因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN，
所以平面，
所以．
如图2，连接BE，因为，
所以四边形PEBN为平行四边形，因此．
因为平面平面，
所以平面，
又平面平面PMN，
所以平面平面.
方法二：
如图3，取BC的中点，连接MF．
因为，所以，又，所以，
又，所以四边形BFMN是平行四边形，
所以，
因为，所以，
连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN，
所以平面，
又平面，所以，
因此四边形MPEF是平行四边形，．
因为平面平面ABC，所以平面，
又平面平面平面，
所以平面平面.
（2）如图4，取AB的中点，连接ED，因为是AC的中点，所以，
又是斜边的等腰直角三角形，
所以，所以．
又平面平面，所以，所以EP，EA，ED两两垂直．
分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，）
设平面PMC的法向量为，
则即取，得，
则是平面PMC的一个法向量．
设平面PAN的法向量为，
则即取，得，
则是平面PAN的一个法向量．
设平面PMC与平面PAN的夹角为，
则，
因此平面PMC与平面PAN夹角的余弦值为．
17．（2026·重庆渝中·三模）2026 年 4 月 19 日， 第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行， 来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的 500 台机器人进行统计，得到如下列联表 （单位： 台）：
完成比赛 未完成比赛
搭载智能避障系统 180 70
未搭载智能避障系统 120 130
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 有关
(2)从该 500 台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为 10 的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为.求的数学期望 .
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛”有关.
(2)，分布列为：
【分析】（1）先完善列联表，再计算，根据临界值表可得相应判断；
（2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式计算期望即可.
【详解】（1）完善列联表如下：
完成比赛 未完成比赛 合计
搭载智能避障系统
未搭载智能避障系统
合计
设：“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 无关，
则，
故根据小概率值 的独立性检验，
可以认为“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛”有关.
（2）根据分层抽样可得10台机器人中“搭载智能避障系统” 的台数为，
故可取，
又，，
，，
故的分布列为：
故.
18．（2026·云南·模拟预测）已知点在抛物线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线与抛物线C相交于M，N两点，
（ⅰ）若，求实数k的值；
（ⅱ）O为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；
（2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式列方程求解即可；
（ⅱ）结合（ⅰ）可得，进而得到外接圆圆心为的中点，设的中点为，进而结合中点坐标公式求解即可.
【详解】（1）将点代入，得，即，
则抛物线C的方程为.
（2）（ⅰ）设，
联立，得，
则，
且，
则，
则，解得.
（ⅱ）由（1）知，，，
则
，
所以，即为直角三角形，则外接圆圆心为的中点，
设的中点为，
则，
消去，得，则外接圆圆心的轨迹方程为．
19．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导并解不等式、即可.
（2）分离参数可得，恒成立，令，运用导数求的最大值即可.
（3）取，由（2）知，设，进而可得，整理可得，结合累加法证明即可.
【详解】（1）当时，，
则．
由，得．
令，解得；令，解得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为，恒成立，所以恒成立．
令，则．
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
又，所以，即．
所以时，，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为．
（3）证明：由（2）知，取，当时，，所以．
设，则满足，
所以，
即，
所以，
所以，
即．
【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立 ；
恒成立 ；
能成立 ；
能成立 .
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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