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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．适用省份：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为需要满足，所以，所以；
因为且，所以，所以，
则.
2．（2026·云南·模拟预测）若数据的标准差为，则数据的标准差为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】已知数据的标准差为，
由标准差的性质可知，的标准差为．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ）
A．10 B．16 C．15 D．11
【答案】D
【详解】数列为正项等比数列，所以，
，得.
又，得.
所以.
4．（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【详解】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，所以．
5．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性求出的取值，再根据充分、必要条件求解即可.
【详解】由是偶函数得，，
得，
由是奇函数得，，
得，
若甲条件成立，取甲条件中，得，
代入乙条件验证，所以不是整数，不满足乙，即甲推不出乙；
若乙条件成立，，代入甲条件得，
所以满足时，乙可以推出甲；
所以甲是乙的必要不充分条件.
6．（2026·山西·模拟预测）瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）
A．556π B．900π C．732π D．588π
【答案】D
【分析】根据圆台、圆柱及球的体积计算公式可得.
【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9，
所以该瓷器的体积为,
故选：D
7．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（ ）

A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案.
【详解】连接,如图所示：

设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，
则为边长为1的正三角形，
所以,,
由正六边形的性质可知三点共线，
所以,
则
,
又因为，
所以，
所以.
8．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围.
【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立，
设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以，解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·重庆·三模）已知向量，则（ ）
A．当时，
B．存在，使
C．当时， 在方向上的投影向量为
D．当与的夹角为锐角时，
【答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D.
【详解】对A，，则，解得，A正确；
对B，，若，则，
即，故不存在，使，B错误；
对C，当时，，，
在方向上的投影向量为，C错误；
对D，当与夹角为锐角时，且不共线，
即且，解得，D正确．
10．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为复数，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】设，，应用复数的模的计算公式，复数的乘法、共轭运算判断A、B；取，判断C；取，判断D.
【详解】A，设，，
，
所以
所以，正确；
B，由上，
由，得，
所以成立，正确；
C，若，不妨取，，
此时，但不成立，错误；
D，若，不妨取，，则，错误.
11．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（ ）
A．
B．周长的取值范围为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，进而得出判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D.
【详解】对于A，已知，由正弦定理得，
即，得，
则有，得，
又由于，所以，故，
而，所以，选项A正确；
对于B，在中，由余弦定理，得，
所以，，所以，即，当且仅当时取等号，
由于，
所以的周长的取值范围为，故选项B正确；
对于C，在中，由正弦定理得，
，，
由AC的中点为M，有，
，
△ABC为锐角三角形，则，得，
当，有，所以，
有，故的最大值为，选项C错误；
对于D，设，所以，在中由余弦定理，
，
，，
故当，即时，
取最小值，所以的最小值为，故D选项正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________.
【答案】
【详解】由，可得，当时，，
则曲线在点处的切线方程为.
13．（2026·海南海口·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系化简给定等式，利用等差数列定义求出即可.
【详解】正项数列中，当时，，
整理得，则数列是首项，公差为1的等差数列，
，当时，，因此，而不满足上式，
所以.
故答案为：
14．（2026·青海·模拟预测）在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为______．
【答案】/
【分析】取的中点，连接，，，易得平面，从而可得线段，由余弦定理得，根据外接球的几何性质确定点的轨迹为平面截三棱锥的外接球所得的截面圆，从而确定截面圆的半径，于是得所求.
【详解】如图，取的中点，连接，，，
则，，平面，
所以平面，则，
又，所以，所以．
过作于，设动点的轨迹所在平面为，则平面经过点且，
所以点的轨迹为平面截三棱锥的外接球所得的截面圆．
设，的中心分别为，，连接，，，易知平面，平面，
且，，，四点共面，
由题可得，，所以．
又，则三棱锥的外接球半径．
易知平面平面，点到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径，
所以截面圆的周长，即所求周长为．
故答案为：
【点睛】方法点睛：破解动态几何中轨迹或截面问题的解题步骤
第一步：准确作图，整体审读问题，根据题干给出的信息画出几何图形；
第二步：分析形状，抓关键条件，分析动点轨迹或截面形状，常见的动点轨迹有线段、直线、圆、弧等，截面形状则要通过找平面与各个面的交点和交线确定，确定时配合平行线、两点确定一条线段等，
第三步：解决问题，分析完动点轨迹或截面形状之后，运用几何、函数、不等式等知识，采用数形结合的方法解决相应问题
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域；
(3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求.
【答案】(1)表格如下：
(2)
(3)
【分析】（1）利用表格中的数据求出、的方程组，解出这两个参数的值，结合可求出的值，结合五点法可完善表格；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出的取值范围，再结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；
（3）利用正弦型函数的对称性得出，根据已知条件得出，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得
【详解】（1）由题意可得，解得，
又因为，故，
由可得；由可得；由可得.
完善表格如下：
（2）由题可得，
当时，，则，
函数的值域为.
（3）函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，
当时，，由可得，
所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期.
所以两个交点关于直线对称，且，
所以，
所以
.
16．（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在中，因为，
可得，所以，
因为，且，平面，
所以平面.
（2）解：在中，因为，
可得，所以，
由（1）知：平面，平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，可得，
设，可得，
因为，可得，
可得，解得，即，所以，
又由，可得
设异面直线与所成的角为，
可得.
17．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可；
（2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解．
【详解】（1）当时，，．
由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，，不满足题意．
所以，此时 ，显然是上的增函数，
且时，时，
所以存在唯一正实数使得，即 ．
此时在上单调递减，在上单调递增．
由题意 ．
将 代入上式整理得：，解得：．
此时，代入后．
化简得： ，解得：．
令 ，其中．则，
所以是区间上的增函数．
所以 ，代入得到a的取值范围是．
18．（2026·吉林·三模）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为.
(1)求；
(2)求；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用全概率公式，分从第1个盒子取出红球/蓝球两种情况，计算得到；
（2）通过全概率公式建立递推关系，构造等比数列，从而求出；
（3）将拆分为两部分，分别用错位相减法和等差数列求和，合并得到前项和.
【详解】（1）记事件表示从第个盒子里取出蓝球，则
，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
因为，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，即.
（3）由（2）得.
设的前项和分别是，
，
，
以上两式相减，得
,
所以.
，
所以，
即数列的前项和为.
19．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线C上．
(1)求动点满足的双曲线C方程；
(2)双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为，弦DE中点为，、分别在第二、第三象限时，证明：与的面积比为定值；
(3)在（2）的条件下，设到：和：的距离为、，到：和：的距离为、，比较和的大小关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据求出点的坐标，然后消去参数 即可得出双曲线的方程；
（2）因为，所以可设直线的斜率为，则直线的斜率为，分别联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出、的坐标，利用三角形面积公式，将面积比转化为坐标相关的比值，化简后证明其为定值；
（3）利用点到直线的距离公式代入、的坐标求出、、、，分别计算和的表达式，再比较二者的大小.
【详解】（1）已知，，直线的方向向量为，
直线的方向向量为，
因为，所以，，
解得，，，即 ，
由，整理得： ，
即双曲线的方程为.
（2）双曲线中，右焦点，
设直线斜率为，则方程为，代入，
整理得： ，
由韦达定理得中点坐标： ，
因为，所以斜率为，同理得中点坐标： ，
由在第二象限、在第三象限得 ，解得.
和共边，面积比等于原点和到直线的距离比，
直线的方程为：整理得：，
则，，因此： .
面积比为定值.
（3）由点到直线距离公式：，，，，
代入坐标化简得： ，
因此： ， .
故 .
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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．适用省份：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·云南·模拟预测）若数据的标准差为，则数据的标准差为（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ）
A．10 B．16 C．15 D．11
4．（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
5．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
6．（2026·山西·模拟预测）瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）
A．556π B．900π C．732π D．588π
7．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（ ）

A．-2 B．2 C． D．
8．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·重庆·三模）已知向量，则（ ）
A．当时，
B．存在，使
C．当时， 在方向上的投影向量为
D．当与的夹角为锐角时，
10．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为复数，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
11．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（ ）
A．
B．周长的取值范围为
C．的最大值为
D．的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________.
13．（2026·海南海口·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则__________.
14．（2026·青海·模拟预测）在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域；
(3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求.
16．（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值．
17．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
18．（2026·吉林·三模）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为.
(1)求；
(2)求；
(3)求数列的前项和.
19．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线C上．
(1)求动点满足的双曲线C方程；
(2)双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为，弦DE中点为，、分别在第二、第三象限时，证明：与的面积比为定值；
(3)在（2）的条件下，设到：和：的距离为、，到：和：的距离为、，比较和的大小关系．
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