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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由解得：或，故或，
由，解得：，故，
所以
2．若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立；
若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立；
综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件.
3．下列说法正确的是（ ）
A．残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．数据的分位数是6
D．在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强
【答案】D
【分析】残差散点越集中，相关性越强，所以A错；正态分布关于均值对称，可由求出的值，B错；先将数据按从小到大排列，再求分位数，C 错；线性相关系数绝对值越接近1，线性相关性越强，D对.
【详解】选项A，残差散点图所在的带状区域越窄，
说明残差越小，模型拟合效果越好，两个变量的线性相关性越强，
因此“带状区域越宽，相关性越强”说法错误，所以A错.
选项B,因为所以该正态分布关于对称，
已知由对称性可得
又因为所以
故所以B错.
选项C，将数据按从小到大排列：共有 7 个数据，
故分位数是第 5 个数，即不是 6.所以C错.
选项 D，在线性回归分析中，线性相关系数满足
且越大，说明两个变量的线性相关性越强；越接近 0，说明线性相关性越弱.所以D正确.
4．已知向量，，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出参数，再通过向量数量积与模长公式计算两向量夹角的余弦值.
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得，所以，，
所以，又，设与的夹角为，
则．
5．设双曲线的离心率分别为．若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】由 可知，则，，
又，所以．由可知，
则由 ，解得．
6．已知等比数列的前n项和为，首项不为0，且，则的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】设的公比为，若，则，.
又，所以，所以，
所以，所以，解得.
7．已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间，最后结合已知条件确定实数的取值范围即可.
【详解】因为，所以：
，
因为（）的单调递增区间就是的单调递减区间，
由，，解不等式得：
，，
所以的单调递减区间为，，
又因为在区间上单调递减，当时，单调递减区间为，
则有，
由 得 ，由 得 ，
因为 ，所以 ，
因此，实数的取值范围为.
8．已知函数（），则下列命题错误的是（ ）
A．若，则有1个零点 B．若，则没有零点
C．若有2个零点，则 D．若，则有2个零点
【答案】D
【分析】先确定函数的定义域然后根据a的符号分三类情况进行讨论，当时由函数值的符号知其没有零点；当时求导找单调性及端点值确定零点个数；当时，根据单调性及极值点、端点值确定零点个数及范围.
【详解】的定义域为，
当时，在上单调递减，且；
当时，，在上单调递减，
因为，，，所以在内有1个零点，A正确；
当时，由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
由得，由得，所以时，没有零点，B正确；
根据已有分析可知当时，极大值，且，，
所以在内有1个零点，在有1个零点，所以有2个零点，C正确，D错误．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数为纯虚数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】使用虚数、纯虚数的概念求解.
【详解】由题意知，解得，选项正确；
由A得，所以，选项正确；
，选项错误；
，选项错误.
10．已知函数，则（ ）
A．是函数的一个极值点
B．是函数的一个极值点
C．直线是曲线在处的切线
D．直线是曲线在处的切线
【答案】AC
【分析】本题主要考查极值点的判断和曲线某点处切线方程的求解，通过导函数的符号判断函数的单调性，进而确定极值点；对于切线方程，由导数的几何意义可知，切线的斜率等于该点处的导函数值，再结合点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程.
【详解】由题意知，令，则或，
当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，因此是函数的一个极值点，A正确；
因为，所以不是函数的极值点，B错误；
当时，，，所以切点为，斜率为，所以切线方程为，即，所以C正确，D错误.
11．如图所示，矩形中，，将沿翻折至，使得，则（ ）
A．不存在的值使
B．存在的值使平面平面
C．三棱锥体积的最大值为
D．当点在平面上的射影落在上时，直线与平面所成角为
【答案】BCD
【分析】直接利用勾股定理即可判断A；当时，可证平面，进而得到平面平面即可判断B；过作交于，则当平面时，三棱锥体积最大，接着求出判断存在性，再得到体积即可判断C；当点在平面上的射影落在上时，可推出平面平面，则，再利用等体积法求出三棱锥的高，进而得到直接与平面所成角即可判断D．
【详解】解：根据题意，，
若，则，即，
解得，符合题意，故A错误；
当时，，又平面，
平面，又平面，
平面平面，故B正确；
过作交于，
由题易知，，
，解得，
又，
所以当平面时，三棱锥体积最大，
此时，，
，又，
，
，符合题意，
三棱锥体积最大值为，故C正确；
当点在平面上的射影落在上时，平面平面，
又，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以平面平面，故，
又，所以，
，
，
设三棱锥的高为，直线与平面所成角为，
，解得，
，又，所以，
直线与平面所成角为，故D正确．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________.
【答案】108
【详解】当两男生在两端时，坐法有种，当两女生在两端时，坐法有种，
当一男生一女生在两端时，
先选出这两人有种选法，两端的男女生可以交换位置，有种坐法，
再考虑中间四个位置的坐法,若挨着男生的是另一名女生，此时中间另3个位置有种坐法，
若挨着男生的是机器人，此时中间另3个位置有种坐法，
故当一男生一女生在两端时坐法有种，
所以不同坐法总数为.
13．已知均是第一象限角，，则______．
【答案】
【分析】根据条件分别求，再根据同角三角函数关系式求和，最后代入两角和余弦公式求解即可.
【详解】由条件可知，，得，又，所以，
因为是第一象限角，
所以，解得，，
又所以，解得，，
所以，
所以.
14．已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________．
【答案】
【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值．
【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.
由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，
由余弦定理得，又，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，即的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知正项数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据递推关系及的关系求得、，再由等差数列的定义写出通项公式；
（2）应用裂项相消法求，即可证.
【详解】（1）因为，，
当时，，又，所以或，又，则.
当时，因①；所以②，
①②：，化简：，
由，，故，
所以是以2为首项，公差为1的等差数列，则.
（2）由，得，
所以，
又，所以，得证.
16．针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联；
性别 是否喜欢人工智能应用 合计
是 否
男生
女生
合计
(2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
【答案】(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联
(2)
【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，利用公式求，与临界值对比后下结论；
（2）根据全概率公式求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率，再根据贝叶斯公式求该生为女生的概率.
【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：
性别 是否喜欢人工智能应用 合计
是 否
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联．
，
∴依据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联．
（2）设事件A为“抽取的学生喜欢人工智能应用”，
事件B为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”，
将样本的频率视为概率，则，
，
由全概率公式得，
再根据贝叶斯公式得.
所以已知该生喜欢人工智能应用，则该生为女生的概率为.
17．如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且
(1)求证:BD⊥平面 ACC1A1；
(2)求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用空间向量数量积运算证明，再利用线面垂直的判定推理得证.
（2）利用空间向量数量积的运算求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【详解】（1）在平行六面体中，令，，，
由正方形边长为2，得，而，，
则，，
因，
则，则，即，
又底面ABCD是边长为2的正方形，则，，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，
设平面的法向量，
则，
不妨取，得，则，
由（1）知平面的法向量，
又，
，
，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)，为上两点，的重心在直线上．
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】第（1）问利用抛物线定义，先由已知点到焦点的距离求出参数，从而写出抛物线方程.
第（2）问先设弦端点坐标，借助重心条件求出两点纵坐标和为定值，从而证明直线的斜率为定值；再由定斜率设出直线方程，与抛物线联立并结合韦达定理求出中点坐标，证明相关辅助直线恒过定点，最后由垂足所成直角推出轨迹为定圆.
【详解】（1）抛物线的准线方程为．
根据抛物线定义，，所以．
因此抛物线的方程为．
（2）（i）设，，易知；
则的重心为，
由题意知，，则．
所以直线的斜率，为定值．.
（ii）因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为．设，．
联立，整理得．所以..
设为的中点，
则，，
即．
直线与轴交于点，，则中点．
由于，所以．所以．
直线的斜率，
直线的方程，整理得.
令，代入方程，解得，
因此，直线经过定点．
因为，于，所以在以为直径的圆上，
圆心为，半径为，所以圆的方程为；
因此在以为直径的定圆上．
19．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性并说明理由；
(2)当时，证明：，；
(3)当为正整数时，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的符号判断单调性；
（2）将不等式转化为，利用，结合（1）中的单调性，得，从而证得不等式；
（3）将拆成，用和角公式展开，结合三角不等式与放缩，得到，再通过递推累加进行证明.
【详解】（1），令，则，
当时，，所以在上单调递减，
有，即，所以在上单调递减；
（2）当，及，时，不等式显然成立，
故不妨设，，原不等式改写为，
因为，故，
下证，只需证，
因为，由（1）知，，
所以成立，从而成立，综上，原不等式成立；
（3）证明：对任意正整数和实数，
由，，有
从而有
，证毕.
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高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．数据的分位数是6
D．在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强
4．已知向量，，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．设双曲线的离心率分别为．若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知等比数列的前n项和为，首项不为0，且，则的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（），则下列命题错误的是（ ）
A．若，则有1个零点 B．若，则没有零点
C．若有2个零点，则 D．若，则有2个零点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数为纯虚数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．是函数的一个极值点
B．是函数的一个极值点
C．直线是曲线在处的切线
D．直线是曲线在处的切线
11．如图所示，矩形中，，将沿翻折至，使得，则（ ）
A．不存在的值使
B．存在的值使平面平面
C．三棱锥体积的最大值为
D．当点在平面上的射影落在上时，直线与平面所成角为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________.
13．已知均是第一象限角，，则______．
14．已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知正项数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
16．针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联；
性别 是否喜欢人工智能应用 合计
是 否
男生
女生
合计
(2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
17．如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且
(1)求证:BD⊥平面 ACC1A1；
(2)求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值.
18．已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)，为上两点，的重心在直线上．
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动．
19．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性并说明理由；
(2)当时，证明：，；
(3)当为正整数时，证明：.
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