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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在复平面内，复数对应的点是，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
3．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（ ）
A．3种 B．6种 C．12种 D．48种
4．已知角的终边与圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（ ）

A．平面 B．平面
C．二面角的余弦值为 D．直线与所成的角为
10．若函数满足对任意，都有，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在上单调递减
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于A，B两点，若直线的斜率是的周长是36，则下列选项中正确的是（ ）
A．的虚轴长为2 B．的渐近线方程为
C．的面积为48 D．的外接圆半径为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______；
13．已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____.
14．已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求.
(2)若，，求的面积.
16．如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且.
(1)求证：直线平面；
(2)求点A到平面的距离.
17．甲 乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲 乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲 乙同时射击，且是否击中目标，互不影响.
(1)甲 乙同时射击1次，求甲得1分的概率；
(2)甲 乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望；
(3)甲 乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲 乙两人击中目标的次数相等.
18．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：．
19．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M．
(1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程；
(2)设，求：数列前2026项的和；
(3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为，，
所以，集合中的元素个数为3．
2．在复平面内，复数对应的点是，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案.
【详解】由题意知，，则，
所以.
3．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（ ）
A．3种 B．6种 C．12种 D．48种
【答案】C
【详解】法一：先安装下底面的三个顶点有种不同的安装方法，
再安装上底面的三个顶点有种不同的安装方法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的安装方法.
法二：依次安装，，，，，六个位置，
则有种不同的安装方法.
4．已知角的终边与圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为在圆上，所以，
所以，
所以．
5．如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则解得
所以圆锥的母线长为，其侧面积为.
6．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，则，
解得.
所以.
7．已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由向量，得，
由，得，即，
因此，，ABD错误，C正确．
8．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数，定义域为.
易知函数只含项，
因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大，
所以在上单调递减，在上单调递增.
等价于离的距离小于离的距离大小问题，
即.两边平方得；
整理得，解得.
故的取值范围为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（ ）

A．平面 B．平面
C．二面角的余弦值为 D．直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A的正误，根据空间垂直关系的转化可判断B的证明，构造面面角或线面角结合余弦定理可判断CD的正误.
【详解】连接，因为，平面，平面，
所以平面，故A正确．
由正方形可得，
而平面，故平面，因平面，故，
因为，平面，所以平面，故B正确．
连接，同理可证平面，而平面，故，

所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，故，
故，而，，
则，故C错误．
取的中点，取的中点，连接，，，
则，则直线，所成的角为或其补角，
同理可证平面，而平面，故，
故，因为所在边的中点，故，
故平面，而平面，故，
故，又，
故，
故，则直线与所成的角为60°，故D正确．

10．若函数满足对任意，都有，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在上单调递减
【答案】BCD
【分析】先由函数对称性求出，再用辅助角公式化简解析式；依次判断参数值、平移后奇偶性，最后通过换元确定内层角范围，对照正弦函数单调性判断选项D．
【详解】对于A，B，因为对任意，都有，
所以取，可得，A错误，B正确；
对于C，因为对任意，都有，即的图象关于直线对称，
而是把的图象左移个单位，所以的图象关于轴对称，即是偶函数，C正确；
对于D，，
由，可得，
而在上单调递减，故在上单调递减，D正确．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于A，B两点，若直线的斜率是的周长是36，则下列选项中正确的是（ ）
A．的虚轴长为2 B．的渐近线方程为
C．的面积为48 D．的外接圆半径为
【答案】BCD
【分析】通过直线轴与双曲线交点、直线斜率、双曲线定义及周长建立方程组，解得后验证各选项，从而确定正确答案.
【详解】如图，设，直线，
由，得，则，
由直线的斜率是，得，
由双曲线定义得，
由的周长是36，得，
即，故，而，
代入得，解得，
所以双曲线方程为，
对于A，双曲线方程为，所以的虚轴长为，A错误；
对于B，因为，所以的渐近线方程为，B正确；
对于C，，所以，C正确；
对于D，由题意得，
所以的外接圆半径为，D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______；
【答案】/
【分析】本题采用全概率公式求解，先按第一次取球的三种情况（取个新球）计算各自概率，再分别计算每种情况下第二次取个新球的条件概率，最后将各情况的概率与对应条件概率相乘后求和，得到第二次取到个新球的总概率．
【详解】第一次取到0个新球的概率为，
第一次取到1个新球的概率为，
第一次取到2个新球的概率为，
所以第二次所取出的球都是新球的概率
；
13．已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____.
【答案】4
【详解】设等比数列的公比为，
则由可得①，
由可得，即②，
联立①②，，即，
故.
14．已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.
【答案】4
【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解.
【详解】设直线与函数的图象的切点为，
由求导得，由，得，
所以直线与函数的图象的切点为，
将点代入，解得.
设直线与函数的图象的切点为，
又，则（*）.
由，代入上式得，
因为函数单调递增，且，
所以，代入（*），解得，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求.
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，再代入已知等式后约去非零的，得到的值，结合，最终求得即可；
（2）先根据三角函数关系求出和，再利用正弦定理求出，然后求出，最后根据三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理：（为外接圆半径），
可得 ，，
因为，所以.
即.
又，所以，即.
又因为，得.
（2）因为，即，所以，
又因为，将代入可得：
，即，，，
因为，所以是锐角，则，那么，
又因为，，所以，则，
因为，
因为，，，所以，
根据三角形面积公式，将，，代入可得：
.
16．如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且.
(1)求证：直线平面；
(2)求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正三棱柱的结构可判断四边形的形状，进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化；（2）根据三棱锥的体积相等可求距离，也可利用空间向量求解距离问题.
【详解】（1）如图1，连接，
由正三棱柱的结构特征可知，
在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面.
因为D是棱的中点，所以，
因为平面，所以平面平面.
又平面平面，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以矩形为正方形，所以，
又，所以，
因为平面，，所以直线平面.
（2）方法一：设点A到平面的距离为h，
因为平面，所以到平面的距离相等，都为.
由（1）知，侧面均为正方形，所以，，
又，所以为等腰三角形，所以.
又，即，
所以，解得，即点A到平面的距离为.
方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直，
所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
即，所以点A到平面的距离为.
17．甲 乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲 乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲 乙同时射击，且是否击中目标，互不影响.
(1)甲 乙同时射击1次，求甲得1分的概率；
(2)甲 乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望；
(3)甲 乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲 乙两人击中目标的次数相等.
【答案】(1)0.74
(2)
0 1 2 3 4
0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324
.
(3)证明见解析
【分析】（1）由概率加法公式和乘法公式进行求解；
（2）甲 乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为，结合甲、乙击中次数服从二项分布进行求解；
（3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为，则甲 乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为，进行求解．
【详解】（1）根据得分规则甲 乙同时射击1次，甲得1分的情况是甲 乙都击中目标或甲 乙都未击中目标，
所以甲得1分的概率.
（2）甲 乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324
.
（3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为，
因为甲 乙射击比赛得分规则是：击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分，
所以甲击中目标次，甲得分，乙得分；乙击中目标次，甲得分，乙得分，
所以甲 乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为，
因为甲的总得分与乙的总得分相等，所以，所以，即两人击中目标的次数相等.
18．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：．
【答案】(1)
(2)当时，在上单调递增；
当时，有两根记为，在和上单调递增，在上单调递减.
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求切线方程；
（2）讨论的取值范围利用导数求的单调性；
（3）通过构造函数求最值的方法证明不等式.
【详解】（1）函数，有，
，有，
所以切线方程为，
即曲线在点处的切线方程为.
（2）函数，，，
令，，，
令，得，
令，得，所以在上单调递减，
令，得，所以在上单调递增，
所以，
①当时，，
所以，即，
所以在上单调递增；
②当时，，
所以，即，
当时，，，从而，
当时，，，与相比，指数函数呈爆炸性增长，从而，
所以有两根，记为，
当变化时，与的变化情况如下表：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，有两根，记为，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，，
因为函数在上有两个不同的零点，
所以即，即，
两式相除得，令③，
，所以，代入③式得，
，
令，，，
令，，
因为，所以，
所以在区间上单调递增，所以，
所以在区间上单调递增，所以，
得证.
19．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M．
(1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程；
(2)设，求：数列前2026项的和；
(3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，且
(2)
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）求出，利用相关点法求轨迹方程；
（2）推出为等差数列，求出，利用裂项相消法求和；
（3）先求出切点坐标，联立求出与点坐标，由对称性可得在轴上，根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故，
设点，，则，，
由得，
故，所以，
又在抛物线上，且与点不重合，
所以，且，，
即，且，
化简得，且；
（2）由题意得，设点，，，
则的半径为，，解得，
因为与外切，则，
即，整理可得，
又，所以，即，
故数列是为首项，公差为2的等差数列，
则，，
，
；
（3）存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下：
的方程为，显然与为两切线，
最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为，
故切点坐标为，
若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
故过点的直线斜率也不为0，
设过的直线方程为，
联立与得，
设，则，
则，故点横坐标为，
将代入中得，
故，同理可得，
由对称性可知在轴上，不妨设，
则，，
点N，T，S始终三点共线，故，
，
，
化简得，显然，
所以，即时，上式恒成立，
故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线.
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