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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，为实数集，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．在等比数列中，若，则（ ）
A．3 B． C．9 D．27
4．函数的部分图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：，
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下：
1 2 3 4 5
2 3 6
若其线性回归方程，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
8．已知，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
10．已知在中，.设函数，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．
D．在区间上有且仅有3个零点
11．已知O为坐标原点，双曲线，其左右焦点分别为，过的直线与C的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线C的离心率为
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________.
13．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______．
14．已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求外接圆的面积.
16．如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)求点M到平面的距离．
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围.
18．甲 乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球．
(1)求甲连胜三局的概率．
(2)求需要进行第五局比赛的概率．
(3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望．
19．椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点.
(1)求E的方程；
(2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比；
(3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，为实数集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，用列举法先求出集合，再根据集合的补集求出集合，从而求出.
【详解】解：由题意得集合，集合，
所以.
2．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
3．在等比数列中，若，则（ ）
A．3 B． C．9 D．27
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
由题意可得：，可得，
所以.
4．函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可.
【详解】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A.
当时，，又，所以.故排除C.
当时，，故排除D.
函数的部分图象可能是选项B.
5．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：，
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】利用正态分布的性质即可求解.
【详解】若甲：是真命题，则，
若乙、丙为真， 则，此时甲为真，
由可得，显然，
即丁为假，故D符合题意.
6．已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下：
1 2 3 4 5
2 3 6
若其线性回归方程，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】求出，再计算得到，得到与的另一个式子，联立可解
【详解】，代入回归方程得：
，联立得．
7．设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【详解】在中，由为上一点，，得，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4．
8．已知，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】令，，原式可变形为，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为，由，及二次函数的性质求最大值，求解即可．
【详解】，
令，，则原式，
所以的最大值为.
，，
令，则，令，
所以当，即时，取得最大值，即，
此时原式的最大值为，即，
综上，，时，取最大值为1．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】ABC
【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理及直四棱柱的性质逐项分析判断即可.
【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误；
选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误.
选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误.
选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以，
如图，连接，，易知，，故，
因为四边形为正方形，所以，则，
又平面，所以平面，故D正确.
10．已知在中，.设函数，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．
D．在区间上有且仅有3个零点
【答案】AC
【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，
则在中，，故A正确；
，
若，则，
因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误；
因为，
所以，故C正确；
若，则，
因为正弦函数在上存在个零点，
所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误.
11．已知O为坐标原点，双曲线，其左右焦点分别为，过的直线与C的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线C的离心率为
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用基本量求解离心率判断B，利用四点共圆的性质判断A，利用平面向量数量积的定义结合点到直线的距离公式判断C，利用正弦定理结合两点间距离公式判断D即可.
【详解】对于B，由题意得，则，故B正确，
对于A，如图，作出符合题意的图形，设，
由题意得分别与渐近线垂直，
则四点共圆，且渐近线的方程为，
结合斜率的几何意义得，可得，故A错误，
对于C，由向量数量积的定义得，
由点到直线的距离公式得，，
则，
因为在双曲线上，所以，则，
可得，故C正确，
对于D，由已知得四点共圆，且圆的直径为，
由正弦定理得，整理得，
由两点间距离公式得，
令，而过的直线与C的右支交于两点，
且作直线过焦点并与渐近线平行，其方程为，
设直线与双曲线交点为，联立方程组，
解得，可得，而，
由二次函数性质得在上单调递增，
则，即，得到，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________.
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
由圆锥的母线与底面所成角为，
故该圆锥的侧面积为：.
13．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______．
【答案】
【分析】这道题的解题核心是先确定抽奖次数，再用对立事件与补集思想简化计算：先算出小陈可参与次抽奖，再计算次抽奖的总结果数，接着通过 “减去只抽到种或种颜色的情况”，间接得到集齐三种颜色的结果数，最后求出对应概率．
【详解】因为，所以小陈可以参与4次抽奖，
因为每次抽奖种颜色（黑、白、灰），次抽奖的总结果数为，
而次抽奖只抽到种颜色的结果数为，
次抽奖只抽到种颜色的结果数为，
所以小陈能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为．
14．已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】设切点为，得切线方程，由题意得，问题化为与有一个交点，结合导数即可求解.
【详解】设切点为，则，曲线 在点处的切线方程为，
即，由题意得，即，
令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，
当时，,当时，,
故当或时，与有一个交点，
所以实数的取值范围是：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求外接圆的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，利用正弦定理，结合三角恒等变换可求值；
（2）利用已知，结合（1）求得，进而利用正弦定理可求得外接圆的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，故.
（2）因为，又，
所以，
所以，
记外接圆的半径为，所以，解得，
所以外接圆的面积.
16．如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)求点M到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论；
（3）求的坐标，利用向量方法求结论即可.
【详解】（1）（1）取中点，连接，如下图所示：
因为为中点，为中点，所以，
又因为，所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为为中点，为中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，故，
所以，取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，故，
所以，取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，又，
所以；
（3）因为，为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，
所以点到平面的距离为.
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义可得；
（2）解法一：分、、三种情况结合单调性讨论；
解法二：分离参数后分的取值讨论单调性可得.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为，
（2）解法一：（i）当时，，在单调递增，此时存在，使，
不符合题意，舍去；
（ii）当时，显然成立；
（iii）当时，令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增.
所以，解得.
综上所述，的取值范围为.
解法二：由已知，得.
（i）当时，可得.因为，所以，又因为时，，
所以；
（ii）当时，恒成立，所以；
（iii）当时，可得.
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，所以.
综上所述，的取值范围为.
18．甲 乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球．
(1)求甲连胜三局的概率．
(2)求需要进行第五局比赛的概率．
(3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望为
【分析】（1）利用概率的乘法公式计算；
（2）分甲发球的两局甲都胜，其余都负、乙发球的两局甲都胜，其余都负、甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负三种情况求出概率；
（3）根据独立事件和互斥事件结合前两问逐一求出概率，最后利用期望公式求出.
【详解】（1）甲连胜三局的概率．
（2）需要进行第五局比赛，说明前四局甲胜两局负两局，有三种情况：
甲发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为；
乙发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为；
甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负，其概率为
，
故需要进行第五局比赛的概率为．
（3）X的所有可能取值为0，1，2，3
．
的情况是比赛四局，前三局甲胜一局负两局，第四局甲负，
则甲发球胜一局的概率为，
乙发球甲胜一局的概率为，
所以；
；
．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
19．椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点.
(1)求E的方程；
(2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比；
(3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)数列是等比数列，公比为
(3)直线恒过定点
【分析】（1）根据的关系即可求出；
（2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明；
（3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明.
【详解】（1）由题意得，，
故E的方程为.
（2）设，直线的方程为，
由，消去，整理得，
，
直线的斜率之积为
，
设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零，
由经过E的右焦点，知①，
由经过E的左焦点，知②，
②①得，故数列是等比数列，公比为.
（3）直线的方程为，由（2）知，
故，解得，
故直线恒过定点.
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