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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．适用省份：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】因为，所以中的元素个数为.
2．若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B．1 C．i D．
【答案】B
【详解】由，
因为复数（）是纯虚数，所以，解得，
所以，即，故z的共轭复数的虚部为.
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用二项式展开式的通项公式计算求解即可.
【详解】根据二项式展开的通项公式，第项为，
令的指数，解得，
即的系数为.
4．在中，若，，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】因为，且，所以.
因为，由正弦定理得，
因为，所以.
因为，所以，所以.
故为等边三角形．
5．某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】设第天捐款数额为，由题意可知，
可知，即数列是以20为首项，以2为公比的等比数列，
则，得，
可得，化简得，
因，且是递增数列，故的最小值为8，此时.
6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．112 C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，
则底面，过点作于点，则底面，
则即侧棱与底面的夹角,即，
因为，所以，
故，所以，
故该正四棱台的体积为.
7．已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，则，
因此，而，
所以.
8．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数分析其单调性与极值，结合定义域及极限情况，确定函数零点个数，从而得出的取值范围.
【详解】令，且，求导得.
当时，，在上单调递增，
在上，从递增到有一个零点；
在上，从递增到，无零点；
故时，方程仅有1个实数根，不符合题意.
当时，令，解得（极值点），
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
在处取得极大值，.
设，求导得，令，解得.
在上单调递减，在上单调递增，最小值为，
故，即极大值恒正.
在上：从递增到极大值，必有一个零点；
在上：从极大值递减到，必有一个零点；
又不在定义域内，且在两侧均趋近于，不影响零点个数.
综上，当时，方程有2个不相等的实数根.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若与方向相反，则
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量坐标为
D．若 则与夹角的余弦值为
【答案】AC
【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出投影向量及向量夹角余弦判断CD.
【详解】对于A，由，得，解得，当时，，与方向相同，
当时，，与方向相反，A正确；
对于B，，由，
得，解得或，B错误；
对于CD，当时，，，
则在方向上的投影向量，C正确；
与夹角的余弦值为，D错误.
10．如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为正方形内的动点，则（ ）
A．平面
B．
C．二面角的余弦值为
D．当直线与平面所成角的正切值为时，点的轨迹的长度为
【答案】ACD
【分析】A选项，通过中位线得到，然后利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，建立空间直角坐标系，计算向量即可判断；C选项，分别求出平面和平面的法向量，再计算法向量夹角的余弦值，即可求得二面角的余弦值；D选项，先确定平面，将线面角转化为中的角，由正切值计算出，即可得出的轨迹是正方形内的圆，周长即为轨迹长度.
【详解】对于A：连接，因为分别为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，
因为，所以与不垂直，即与不垂直，故B错误；
对于C：由B可知，，
设平面的法向量为，则，
令，可得.
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设二面角的平面角为，
则，
由图知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故C正确；
对于D：设点是正方形的中心，连接，则平面，
所以就是直线与平面所成的角，即，
在中，，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹长度为，故D正确.
11．已知函数满足对且，若数列满足，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
【答案】ABD
【详解】对于A，令，可得，正确；
对于B，令，则，
由和可得，正确；
对于C，因为，令，
则，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故错误；
对于D，所以.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量，且，则__________．
【答案】
【详解】依题意得，
所以.
13．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________.
【答案】
【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案.
【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为
因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得，
又轴截面面积为，所以，
解得，则，圆锥的高为，
由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R，
连接，则，所以，
在中，，即，
则，解得，
则三棱锥的外接球的体积.
14．已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________．
【答案】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于的代数关系，进而建立目标式与离心率的关系，最后利用柯西不等式求解最值.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义.
设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义，
不妨设，则有.
联立得.
因为，所以根据勾股定理有，
化简得：，两边同除以可得：，
则根据柯西不等式得，
当且仅当
所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长．
【答案】(1)最小正周期为，增区间为
(2)
【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间；
（2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长．
【详解】（1）由
，
则的最小正周期，
令时，解得，
故函数的增区间为；
（2）因为，则，
由于，则，所以，解得，
又，则，
又由于，得，
，解得．
16．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
(3)求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】取中点，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证.
（2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案.
（3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案.
【详解】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为是边长为2的等边三角形，为中点，
所以，且.
又因为为中点，
所以，且.
因为，所以，
所以.
又平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
由（2）知平面PAC的一个法向量为，），
所以，
故平面和平面夹角的余弦值为.
17．已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点．
(1)求的方程；
(2)若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据长轴长及直线与椭圆的位置关系求解即可.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据圆的性质得到，结合韦达定理及直线过定点问题证明即可.
【详解】（1）由题易知，
联立得，
，
令，因为，解得，
所以C的方程为．
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，整理得，
，
则，，
所以．
因为以为直径的圆经过点，则，即，
即，
则，即或．
当时，，
直线的方程为，此时直线过定点，舍去；
当时，，
直线的方程为，此时直线过定点．
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，两点为，，以为直径的圆的方程为，点在该圆上．
综上所述，直线过定点．
18．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，没有极小值
(2)0
(3)
【分析】（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域是
求导可得
令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
由此可得的极大值为，没有极小值.
（2）当时，，定义域是
求导可得
令，定义域是，则
求导可得，当时，，因此在上是增函数，
所以，即在上是增函数，.
（3），定义域是
求导可得，
令，定义域是
求导可得
分类讨论，
当时，，因此在上是减函数，；
当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求；
当时，，，因此存在，使得，即，
当变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
因此，只需要，即时，在上存在零点；
当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求；
当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求，
综上所述，的取值范围是.
19．元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖：
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为．
(1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望：
(2)当（且）时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）；
(3)记时，甲同学获奖的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．
【答案】(1)
2 3 4
；
(2)；
(3).
【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案；
（2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案；
（3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值．
【详解】（1）依题意，的取值可能为，
，，，
故的分布列为：
2 3 4
数学期望.
（2）记事件：甲同学获奖，
显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖，
则，
所以，
令，则，
两式相减得，
，即，
所以．
（3）记表示乙同学的得分，，
记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率，
显然，又，
由全概率公式知：，
则，
于是
，
即，同理，
，，
，
累加得，
因此
，即，
即，
当时，甲同学获奖的概率为，则，
由，即，解得，
所以的最小值为.
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高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．适用省份：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B．1 C．i D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若，，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．112 C． D．
7．已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若与方向相反，则
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量坐标为
D．若 则与夹角的余弦值为
10．如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为正方形内的动点，则（ ）
A．平面
B．
C．二面角的余弦值为
D．当直线与平面所成角的正切值为时，点的轨迹的长度为
11．已知函数满足对且，若数列满足，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量，且，则__________．
13．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________.
14．已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长．
16．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
(3)求平面和平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点．
(1)求的方程；
(2)若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点．
18．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
19．元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖：
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为．
(1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望：
(2)当（且）时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）；
(3)记时，甲同学获奖的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．
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