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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．13
4．已知函数，当函数为奇函数时，为（ ）
A． B． C．0 D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
7．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，则（ ）
A． B．2026 C．4050 D．4051
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆锥展开图中圆心角为
D．若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为
10．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
11．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是
B．若，则的最大值为
C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为
D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____.
13．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________．
14．已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）：
月份 1 2 3 4 5 6
销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8
若关于的经验回归方程为，且相关系数.
(1)求的值（精确到0.01）；
(2)求的值（精确到0.1）.
附：，相关系数.
参考数据：，.
16．在中，角的对边分别为， ，点为边上一点.
(1)求角的大小；
(2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围.
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有极小值，且，求a的取值范围.
18．如图，四棱台的底面为正方形，平面，平面与平面的交线为l.
(1)证明:平面;
(2)若，直线与交于点，点N是l上一点，且，当直线与平面所成的角最大时，求.
19．已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为．
(1)求的标准方程；
(2)设直线与的两个交点分别为都不是的顶点，是坐标原点，的面积为为的左顶点．
（i）求的值；
（ii）过作，交于另一点，交直线于点，求．
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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易得集合，所以.
2．已知复数z满足则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】由得，
所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
3．样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【分析】根据百分位数的求法求得正确答案.
【详解】因为，向上取整为2，所以下四分位数是第2个数，即4.
4．已知函数，当函数为奇函数时，为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质求得，再根据对数的运算即可求解．
【详解】由题知，，则定义域为，
所以，
，经检验满足题意，
又，
所以．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，解得，
所以.
6．若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】通过离心率，求得关系，确定渐近线方程，再由点到线距离公式即可求解.
【详解】设的焦距为，则，又，
得，所以，
故渐近线方程为，
所以点到C的一条渐近线的距离为．
7．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接．
因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即．
因为，所以，，
，
所以．
8．若，，则（ ）
A． B．2026 C．4050 D．4051
【答案】A
【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可.
【详解】因为，又，
且，
所以．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆锥展开图中圆心角为
D．若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为
【答案】AC
【分析】根据题意，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断AB；用底面周长除以母线长得到侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断．
【详解】解：圆锥底面半径，高，
体积，故A正确；
圆锥的侧面积，故B错误；
底面周长为，则圆锥展开图中圆心角为，故C正确；
如图，侧面沿展开，
所以，则，
，则最短距离为，故D错误．
10．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
【答案】ABD
【分析】应用递推公式计算判断A，B，取对数化简结合等差数列定义计算判断C，应用等比数列求和公式计算判断D.
【详解】对于A，由，又，，所以，，得，故A正确；
对于B，因为，，，所以，，所以，故B正确；
对于C，由得，两边同时取以2为底的对数得，
即，又，所以，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C不正确；
对于D，由C知，故D正确；
11．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是
B．若，则的最大值为
C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为
D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为
【答案】BC
【分析】对于A，根据一般方程表示圆的条件即可判断；对于B，时，可知圆心，半径，结合设，即，再根据点到直线的距离求解；对于C，求出圆心到直线的距离，最小值用即可；对于D，设点到圆心的距离为，，得到，结合两圆位置关系求出的范围，再由单调性求最值即可．
【详解】解：对于A，因为曲线表示圆，所以，解得，故A不正确；
对于B，当时，，即，，
其圆心，半径，
设，即，所以点在直线上，
所以直线和圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得，故B正确；
对于C，因为圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最小值，
等于圆心到的距离减去其半径，所以最小值为，故C正确；
对于D，设点到圆心的距离为，圆的半径为，，则，

所以，则，
所以，
因为，
所以，即，所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以最小值取不到，
又因为在上单调递增，所以当时，取最小值为，故D不正确．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____.
【答案】/
【详解】由，得， 即，解得， 所以.
， ，.
所以在方向上的投影向量为 .
13．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________．
【答案】/
【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解.
【详解】X的取值为，
则，，
，，
，
所以．
14．已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________．
【答案】
【分析】先求出的外接圆半径和正三棱柱的外接球半径，再根据勾股定理求出，即可求出正三棱柱的高，然后利用柱体的体积公式计算体积即可.
【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接.
正中，，由正弦定理可得，.
又正三棱柱的外接球体积为，.
在中，.
所以正三棱柱的高.
所以正三棱柱的体积.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）：
月份 1 2 3 4 5 6
销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8
若关于的经验回归方程为，且相关系数.
(1)求的值（精确到0.01）；
(2)求的值（精确到0.1）.
附：，相关系数.
参考数据：，.
【答案】(1)0.86
(2)8.6
【分析】（1）根据相关系数公式、的求解公式，结合题中数据进行求解即可；
（2）根据在回归直线上进行求解即可.
【详解】（1）由题意得，
，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，关于的经验回归方程为，
，，
因为在回归直线上，所以，
所以.
16．在中，角的对边分别为， ，点为边上一点.
(1)求角的大小；
(2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得，根据，求解即可.
【详解】（1）因为，
即，
所以，
即，
所以，
即，
由余弦定理可得，
又因为，所以；
（2）由题意可得，
所以,
所以,
即，
又因为，
所以，
即，
所以，
即
，
，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
所以，即，
又因为，
所以，
所以实数的取值范围为.
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有极小值，且，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
(3)
【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
（3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间.
【详解】（1）当时，，所以
所以切线方程为即，
（2），
若，可得时，，所以在上单调递增；
若时，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，
此时极小值也是最小值，由，可得，，
又，所以
令，求导得，
所以在上单调递减，又，
当时，，当时，，
所以时，，此时满足，
所以a的取值范围
18．如图，四棱台的底面为正方形，平面，平面与平面的交线为l.
(1)证明:平面;
(2)若，直线与交于点，点N是l上一点，且，当直线与平面所成的角最大时，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，根据线面平行的性质定理证得，进而证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得直线与平面所成的角的正弦值，根据正弦值取最大值求得点坐标，进而求得.
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
因为平面平面，所以，
由于平面，所以平面.
由于平面，平面，
所以平面，
由于平面，平面与平面的交线为，
所以，所以 平面；
（2）以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
根据正四棱台的性质可知，
则，设，由于，
而，所以同向，则，
，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成的角为，
则
，
所以当时，取得最大值，
也即取得最大值，对应.
19．已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为．
(1)求的标准方程；
(2)设直线与的两个交点分别为都不是的顶点，是坐标原点，的面积为为的左顶点．
（i）求的值；
（ii）过作，交于另一点，交直线于点，求．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据椭圆上一点以及该点到焦点的距离联立方程可得；
（2）联立直线与椭圆，根据韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意得解得
所以的标准方程为．
（2）（i）如图所示，由消去，得，，
，
又点到直线的距离，
所以，
所以，
所以.
（ii）如图所示，由（i）知，
由．
设直线的斜率为，则．
联立消去，得．
所以．又，所以，
由得所以，
所以，所以，所以．
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