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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．正项等比数列，为其前项和，已知，为方程的两根，则（ ）
A．2069 B．2070 C．4048 D．4049
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知单位向量满足，若向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．若球的半径为2，圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则当圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（ ）
A．十种金属增速数据的众数是2.9
B．十种金属增速数据的平均数是3.57
C．十种金属日均产量数据的极差是
D．十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．直线为图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为3
C．存在点，使得
D．当离心率不小于时，的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若复数 ，则 __________．
13．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.
14．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值.
16．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，是AC与BD的交点，.
(1)证明：平面平面PBD；
(2)已知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为，记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求.
17．已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的标准方程；
(2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程.
18．已知函数，．
(1)令，讨论在的单调性；
(2)证明：，.
19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.
(1)求；
(2)求的分布列及数学期望；
(3)求的通项公式；
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2026年高考临考实战仿真卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先需要求解集合的元素，找出公共元素即可得到.
【详解】解一元二次方程，因式分解得，解得或，因此；
已知，因此.
2．正项等比数列，为其前项和，已知，为方程的两根，则（ ）
A．2069 B．2070 C．4048 D．4049
【答案】A
【详解】，为方程的两根，，；
数列为正项等比数列，，即，解得.
.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案.
【详解】因为在定义域上是单调递增函数，
所以由等价于，
由可知且，
又因为函数在上是单调递减函数，
所以等价于，
因此，“”是“”的充要条件.
4．直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
则到直线的距离，
则.
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知，再结合得，最后计算即可.
【详解】因为
所以，，
所以，
因为，即，
所以，.
6．已知单位向量满足，若向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量数量积的运算得到，再由向量夹角公式计算．
【详解】因为单位向量满足．
所以，所以，
所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为．
7．若球的半径为2，圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则当圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用球内接圆锥的几何关系建立底面半径与高的关系式，写出圆锥体积关于的函数，再通过求导分析单调性，找到体积取最大值时的，进而求出和母线长，最后用侧面积公式计算结果．
【详解】
设圆锥的底面半径为，高为，则，
所以，，圆锥体积，，
时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取得最大值，
此时，，
则圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积为．
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性，利用不等式放缩进行分析求解即可.
【详解】在上为增函数，，，即.
，.
令，，
，，
当时，，所以在上单调递增.
又因为，所以当时，，
当时，.
，
，即.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（ ）
A．十种金属增速数据的众数是2.9
B．十种金属增速数据的平均数是3.57
C．十种金属日均产量数据的极差是
D．十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25
【答案】ABD
【详解】十种金属增速数据排序：2.2, 2.9, 2.9, 2.9, 3.1, 3.8, 3.9, 4.4, 4.7,4.9
出现次数：2.9 出现 3 次，其余一次，众数是 2.9 ，A正确；
，B正确；
十种金属日均产量数据的极差： ，C错误；
数据已经按从小到大排序：
22.0, 22.0, 22.4, 22.5, 22.5, 22.7, 23.2, 23.2, 23.3, 23.3
80%分位数为第8个数和第9个数的平均数：，D正确.
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．直线为图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
【答案】BD
【详解】由图象知，，所以，故错误；
函数形式为，代入零点得
，
由得，故正确；
因为，
所以 ，故错误；
，故正确．
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为3
C．存在点，使得
D．当离心率不小于时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D.
【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则，
对于A，由，得，则离心率，A正确；
对于B，由，得椭圆的半焦距，由，
得，因此的最大值为，B正确；
对于C，由，得，而，则，
以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误；
对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则，
于是，，
因此
，当且仅当时取等号，符合题意，D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若复数 ，则 __________．
【答案】25
【分析】先求得复数z的共轭复数，再利用复数的模公式求解.
【详解】因为复数 ，
所以，
所以，
故答案为：25
13．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.
【答案】
【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解.
【详解】在棱长为的正方体中，
由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为，
设到平面的距离为，
由，可得,
所以，
因为，可得，解得，
所以点到平面的距离为.
14．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先根据求出的通项公式，再代入不等式求解，结合对勾函数性质及不等式恒成立条件即可求出实数的取值范围．
【详解】由，平方得，
又等差数列中有，
所以，
所以，由于，得，
则，即对任意恒成立，
设，
根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而，
所以，故．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
，则，
.
（2）因为是中点，所以.
两边平方得.
所以，即，
又由均值不等式得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即面积的最大值为.
16．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，是AC与BD的交点，.
(1)证明：平面平面PBD；
(2)已知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为，记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）通过证明平面PAC，证得平面平面PBD.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值求得，进而求得.
【详解】（1）因为是圆柱的底面直径，所以，
又因为PC是圆柱的母线，所以平面ABCD，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面PAC，
又因为平面PBD，所以平面平面PBD.
（2）以为坐标原点，CA为轴，过点垂直于CA的直线为轴，CP为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，因为，所以，
所以，，
所以，
，设平面PAB的法向量，则
即取.
设平面PAD的法向量，
则即
取.
设平面PAB与平面PAD的夹角为，
所以
，
解得：或，
所以，当时，
，
所以.
当时，
，
所以.
17．已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的标准方程；
(2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案；
解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得，
又，所以，即.
将点代入方程，得，即，所以，.
故双曲线的标准方程为.
（2）解法一：设点、、，
若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意，
故直线的斜率存在，
设直线的方程为，即.
联立方程，代入消去，整理得.
则，
即，且，所以.
于是，中点的横坐标，则.
又点在直线上，所以，即.
因为，且，
当时，，可得，则，
当时，，可得，则，
故线段的中点的轨迹方程为或.
解法二：设点、、，
若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意，
故直线的斜率存在，
设直线的方程为，即.
联立方程代入消去，整理得.
则即，且，
由、两点在双曲线上得，作差得，①
当时，易知；
当时，①式可化为，即.
故（由题意可得且），
可得，
因为，所以.
当时，也在直线上.
又，可得，且，
当时，，可得，则，
当时，，可得，则，
综上，线段的中点的轨迹方程为或.
18．已知函数，．
(1)令，讨论在的单调性；
(2)证明：，.
【答案】(1)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分、、、讨论即可；
（2）构造函数，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立. 令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明.
【详解】（1），，则，
①当时，恒成立，所以在上单调递减；
②当时，令，则，解得.
若，即时，，则，所以在上单调递增；
若，即时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
③当时，在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以当时，取极小值，
所以，即，所以，当且仅当，等号成立.
令，则，所以，则.
所以.
综上，，.
19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.
(1)求；
(2)求的分布列及数学期望；
(3)求的通项公式；
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，
(3)（）
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解；
（2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望；
（3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进；
②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可；
【详解】（1）甲第次在处投篮的概率为，说明第次投中，即，
甲第次在处投篮的概率为，说明第次，第次投中或第次，第次没投中，
即.
（2）第次投篮后累计得分记为，则的可能取值为0，2，3，4，
设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，
，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4.
，
，
，
，
所以的概率分布为
0 2 3 4
.
（3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：
①第次在处投篮且投进，这种情形概率为；
②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为.
所以，故，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即，.
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