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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合， ，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求集合，再由即可求解.
【详解】由题意得：，所以，所以，
由，所以.
2．样本数据的分位数为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】C
【详解】由小到大排列为，一共有8个数据，
因为，所以分位数为.
3．已知等比数列的首项为1，前n项和为，若，则（　　）
A． B．1 C．2 D．1或
【答案】C
【分析】根据等比数列的公比是不是，结合等比数列的前n项和公式分类讨论进行求解即可.
【详解】设该等比数列的公比为，
当时，，不符合题意；
当时，，
所以.
4．已知直线，，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为，
直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距，
所以，此“”是的充分条件；
若，当时，，，显然两条直线有交点，
当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等，
即：，解得：，因此“”是的必要条件，
所以“”是的充要条件.
5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】是定义域为的奇函数，可得，
，令，得，
令，得，
又函数为上的奇函数，故.
6．已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】由可得，
结合的图象可得，
所以，
所以.
7．已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可.
【详解】连接，因为，所以，
由抛物线的定义可知，，所以，则，
同理可得，，故，
由，可得，，
故在直角梯形中，，
因为为线段的中点，所以.
8．已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得.
【详解】当时，，
令，则恒成立，
故在上单调递增，则，
则在上单调递减，则，
又当时，，
则有，解得，
故满足的实数的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【详解】设，若，则，
对于A，，故A正确；
对于B，，
则，故B正确；
对于C，若取，显然满足，但，故C错误；
对于D，若取，则，而，，故D错误.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若事件、满足：，，且，则事件、相互独立
B．已知一组成对数据、、、的经验回归方程为，则
C．是、、相互独立的充分条件
D．若，记函数，，则的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】利用条件概率公式结合事件独立性的定义可判断A选项；利用回归直线过样本中心点可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性和函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，若事件、满足：，，且，
即，
由条件概率公式可得，即，
故事件、相互独立，A对；
对于B选项，由题意可得，，
因为回归直线过样本中心点，即，解得，B错；
对于C选项，对于事件、、，
若，，，及成立，
则、、相互独立，缺一不可，故，不能推出、、相互独立，C错；
对于D选项，若，记函数，
由正态密度曲线的对称性可知，
即，即，故函数的图象关于点对称，D对.
11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A．点的轨迹经过线段的中点
B．点的轨迹长度为2
C．三棱锥的体积为定值
D．球面经过四点的球的半径的最小值为
【答案】ABD
【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，易知，
又平面，平面，所以平面.
又是中点，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，
所以点的轨迹为线段（不含端点）.
对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；
对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确；
对于C，因为平面，点是棱的中点，
则，所以C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，
则，设，球心，半径为，
由，得到，
解得，，所以，
又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______．
【答案】15
【分析】利用等面积法及正余弦定理计算即可.
【详解】由题意可知，所以，
又由余弦定理可知，
即，则的周长为.
13．的展开式中的系数为___________．（用数字作答）
【答案】120
【分析】根据二项式的展开式，分类讨论产生的情况，求指定项的系数即可.
【详解】二项式的通项公式为：
展开式中的系数有两种情况：
情况1：第一个括号的乘中的项，则，
系数为：.
情况2：第一个括号的乘中的对应项，
，乘完后要得到，则，
系数为：.
合并两种情况的系数：，即的系数为.
14．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______.
【答案】/
【分析】设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，这样结合双曲线的定义可把和用表示，再应用余弦定理可得关系，从而得离心率．
【详解】
设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，，
所以，
又，即，，则，
因为，所以，
由余弦定理得，
即，
得，即
所以离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.
(1)求，的值；
(2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，列出方程组，求出结果即可；
（2）根据二项分布的性质，求出随机变量的分布列，进而求出期望.
【详解】（1）依题意可知组距为，则，
解得.
（2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即；
则，
，
，
，
.
分布列如下表所示.
0 1 2 3 4
故.
16．如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点.
(1)若平面平面，求证：；
(2)若，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先应用线面平行判定定理证明平面，再应用线面平行性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解.
【详解】（1）分别是线段的中点，.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，则.
又平面平面，
平面.
平面，平面平面，
.
（2）平面平面.
又两两相互垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
设平面的法向量为，则
令，则，得.
平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则.
由题图可知，为钝角，则二面角的大小为.
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求B；
(3)若b＝2，当角A最大时，求的面积．
【答案】(1)0；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出；
（2）由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求；
（3）由余弦定理可得，进而得，利用基本不等式可求角的最大值，进而可求△ABC的面积.
【详解】（1）
∵，
由正弦定理可得：，
∴，
∴，
两边同时除以cosBcosC，
可得：；
（2）
因为，则，
结合正弦定理得，，
在△ABC中，，
即，
整理可得，
所以，
即，
解得，又，
∴．
（3）
，
∴ ，
，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，此时A取到最大值，
∵，∴当A最大时，
此时．
18．已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，，若函数仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增
(2)
【分析】（1）利用导数的性质结合多次求导法判断单调性即可.
（2）法一对参数范围进行分类讨论，结合导数的性质判断零点个数检验即可，法二利用分离参数法并结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）因为，所以，
而的图象在点处的切线方程为，
可得，则，解得，
故，则，
令，则，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以，
所以恒成立，故在上单调递增．
（2）法一：由题意得，显然，
则是唯一零点，，
①当时，恒成立，故在上单调递增，满足条件；
②当时，令，解得，
当时，则在上单调递减；
当时，则，所以在上单调递增；
（i）当时，，且在上单调递增，
故，而，
所以，使，故，有两个零点，不合题意；
（ii）当时，，故，满足条件；
（iii）当时，，且在上单调递减；
故，而，
所以，使，故有两个零点，不合题意；
综上所述，.
法二：由题意得，显然，则是唯一零点．
当时，分离参数得，令，则，
设，则，
当时，单调递减；
当时，则单调递增，所以，
故，所以在上单调递增，在上单调递增，
又时，时，，
又由洛必达法则知，
所以当时，方程无解，
综上所述，．
19．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且.
(1)求的方程；
(2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点.
（i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式；
（ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧.
【答案】(1)
(2)（i），（ii）证明见解析
【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解；
（2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解；
（ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解．
【详解】（1）由题知，所以，
不妨设点在第一象限,
由抛物线定义知到准线的距离为，所以，
由，解得，
所以的方程为.
（2）（i）设经过轴上点的直线为，
与抛物线的两交点记为，
联立得，则，
因为直线经过点，所以，
因为直线经过点，所以，
因为直线和经过点，
所以，
所以，
因为，所以，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上．
（ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，
所以，
设直线为，联立得
，所以，
，
设直线为，
同理可得，
又且，所以，
所以，
则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上，
，
同理所以，
联立直线与得，
所以，
所以的重心在的右侧.

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高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合， ，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．样本数据的分位数为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
3．已知等比数列的首项为1，前n项和为，若，则（　　）
A． B．1 C．2 D．1或
4．已知直线，，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数
B．
C．若，则
D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．若事件、满足：，，且，则事件、相互独立
B．已知一组成对数据、、、的经验回归方程为，则
C．是、、相互独立的充分条件
D．若，记函数，，则的图象关于点对称
11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A．点的轨迹经过线段的中点
B．点的轨迹长度为2
C．三棱锥的体积为定值
D．球面经过四点的球的半径的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______．
13．的展开式中的系数为___________．（用数字作答）
14．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.
(1)求，的值；
(2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.
16．如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点.
(1)若平面平面，求证：；
(2)若，求二面角的大小.
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求B；
(3)若b＝2，当角A最大时，求的面积．
18．已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，，若函数仅有一个零点，求的取值范围．
19．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且.
(1)求的方程；
(2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点.
（i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式；
（ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧.
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