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2026年高考数学考前仿真冲刺卷
高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合则x∈B是x∈U的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本题考查知识点为集合的运算（补集）及充分、必要条件的判断，属于基础题.先求出全集与补集的元素，再根据充分、必要条件的定义进行判断.
【详解】先求全集解方程，，或，所以.
再求，由，根据补集的定义知，，则有.
充分性：若，则，显然，因此由能推出，即充分性成立；
必要性：若不能推出，必要性不成立，故A选项正确.
2．已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由复平面内点的坐标可得复数，进而表示出共轭复数，最后利用模长公式求出.
【详解】解：由复数z在复平面内对应的点坐标为，则，
所以，因此.
3．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
又，所以．
4．在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为为边的中点，，
所以.
5．若函数是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的性质代入特殊值求出的值，再进行检验即可.
【详解】由，可得，
即函数的定义域为，
显然，
又因为函数奇函数，
所以.
当时，，定义域为，
且，满足题意.
所以.
6．某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（ ）
A．504种 B．1080种 C．1224种 D．2304种
【答案】C
【分析】根据题意，可分为男女或男女，结合女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，利用排列数与组合数公式，即可求解.
【详解】根据题意，从6名男生和4名女生中选派4人，所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，可分为男女或男女，
①当男女，共有，
先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法，
由分步计数原理得，共有种选派方案；
②当男女，共有，
先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法，
由分步计数原理得，共有种选派方案，
再由分类计数原理得，共有种不同的选派方案.
7．若函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数，得出是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意得函数的定义域是，且满足方程，
等式两边同除以得，令，则有，
这说明当是正整数时，数列是一个公差为的等差数列，由，得，
因此，对于正整数有，则，
所以，故C正确.
8．若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可.
【详解】将直线代入得，
所以，
因为大于的虚轴长，所以，即，
同时除以得，
解得，所以离心率，
所以的离心率的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列满足，，，是的前项和，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．的前项和小于1
【答案】AD
【分析】根据递推关系可得是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的定义以及前项和公式依次判断选项即可.
【详解】 对于A，由题可得，且，
故是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对于B，由A易得，于是，
又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误；
对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误；
对于D，易知当时，，所以，
设，则，故D正确.
10．记的内角，，的对边分别是，，，已知，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的面积最大值为
C．的一个可能值为 D．外接圆面积可能是
【答案】ABC
【分析】A将条件变形后，根据两角和差的正余弦公式化简，或即可；B利用基本不等式以及面积公式即可；C利用余弦定理得出，再求解一元二次函数的值域；D利用正弦定理求出外接圆半径的取值范围.
【详解】选项A，方法一：，
得到
所以
所以
，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以A正确；
方法二：
所以
所以
因为，所以，所以，
因为，所以，即，所以A正确；
选项B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以B正确．
选项C，因为
，
又因为，所以，所以，所以C正确．
选项D，设外接圆半径为，
因为，，所以，则，
所以外接圆面积的取值范围为，故D错误．
11．已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．二面角的正弦值为
D．该平行六面体的体积为
【答案】BC
【分析】由即可判断A；由即可判断B；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断D.
【详解】由题可得，
因为
所以不垂直，A错误；
因为，所以，
所以即，B正确；
取AD中点O，连接，则由题意易知，
所以是二面角的一个平面角，
因为，
则，
，
所以，
所以二面角的正弦值为，C正确.
因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上，
因为，
，
所以，所以，
所以该平行六面体的体积为，D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______.
【答案】
【详解】若有2个小球的编号与盒子的编号一致，则有种；
若有3个小球的编号与盒子的编号一致，则有种；
若有4个小球的编号与盒子的编号一致，此时没有可行的方案，为0种.
若有5个小球的编号与盒子的编号一致，则有1种.
故所求概率.
13．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______.
【答案】
【分析】将问题转化为方程有且只有一个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合图象可求得答案.
【详解】由，得，
因为，所以，
令，则，令，则，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以当时，函数有极小值，
且当时，，
因为函数有且只有一个零点，
所以结合函数图象可得，所以实数k的取值范围为.
14．如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________.
【答案】18
【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得.
【详解】如图，作出抛物线和圆在点处的公共切线，同时过作射线轴，
则有，由抛物线的光学性质，可得，
，
且，
又，代入得，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且的面积为．
(1)求A；
(2)若a＝6，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解．
（2）由余弦定理及三角形的面积公式求解.
【详解】（1）因为，且的面积为，
由余弦定理及三角形的面积公式可得，且，
可得，，
两式相除可得，
而，可得；
（2）因为为锐角三角形，，
由（1）可得，即，
由余弦定理可得，
即，可得．
16．如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面.
(1)证明：；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）方法1，取中点，连结接，由题设可得四边形为平行四边形，据此可完成证明；方法2，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量知识结合可完成证明；
（2）方法1，设到平面的距离为，由，可得，然后由与平面所成角的正弦值为，可得
，据此可得答案；方法2，由（1）方法2，设直线与平面所成角为，由题设及空间向量知识可得，据此可得答案.
【详解】（1）法一：取中点，连接，
因为是的中点，所以且.
由直三棱柱的性质知且，所以且，
又因为是的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以，
结合，所以，又因为是的中点，所以.
法二：由直三棱柱的性质知平面，
因为平面，所以，
又因为，所以两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，
则.
因为分别为和的中点，所以.
因为平面，所以，
又因为，所以，
由解得，即.
（2）法一：在等腰直角中，因为，所以.
由（1）知，平面且.
设到平面的距离为，
则三棱锥的体积.
又因为三棱锥的体积，
所以由，得，解得.
因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，
所以，因为，所以，即的长为2.
法二：因为，所以由（1）知，
设平面的一个法向量为，
则取，则，即.
设直线与平面所成角为，则，
即，化简得，
因为，所以，即的长为2.
17．在递增数列中，.
(1)求的值，并证明：数列是等差数列；
(2)若等比数列中，，数列的前项和，证明：.
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）代入可求，对条件等式进行变形可化简得到的关系式，由此完成证明；
（2）根据条件先求的通项公式，由此可知的通项公式，再采用放缩法完成证明.
【详解】（1）由题意，解得或，
又因为是一个递增的数列，所以，
下面证明数列是一个等差数列：
因为，
所以，即，
又因为，所以，故数列是一个等差数列；
（2）由（1）知，是一个公差为的等差数列，且，所以，
由题意是一个等比数列，
设的公比为，由，得，解得，故，
由于当时，，所以，
所以，
故．
18．为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛 复赛，甲 乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
(2)在甲 乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率.
【答案】(1)
0 10 20 30
.
(2).
【分析】（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（2）记“甲 乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件，利用条件概率公式求解即可.
【详解】（1）题意知的所有可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
0 10 20 30
所以.
（2）记“甲 乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件，
所以，
，
所以，
即在甲 乙两队总得分之和等于30分的条件下，甲队得分比乙队得分高的概率为.
19．设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称为的凹区间；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，区间称为的凸区间．
(1)已知函数，判断的单调性并求其凹，凸区间；
(2)如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，过线段的中点作轴的垂线，与函数和轴分别交于点，已知．
（i）证明：对任意的点均有；
（ii）结合（i）中的结论，当时，证明：
【答案】(1)在单调递增；的凹区间为，凸区间为;
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）二次求导，得到导函数的单调区间得到的凹区间和凸区间；
（2）（i）表达出的坐标，由得到结论；
（ii）对不等式两边取对数，问题等价于，构造函数，二次求导，得到是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，结合（i）的结论得到答案.
【详解】（1）因为的定义域为，
所以在定义域内单调递增.
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为;
（2）（i）对于凹函数定义域中的任意两个自变量，，，
所以，
由，有，
（ii）对不等式两边取对数.
问题等价于恒成立.
构造函数，即证恒成立，
，令，
令，即，解得，
所以是函数的凹区间，
因为，所以当时，是凹函数，
由（i）知，，当时，等号成立，
所以时，恒成立，
所以恒成立.
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高三数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合则x∈B是x∈U的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
6．某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（ ）
A．504种 B．1080种 C．1224种 D．2304种
7．若函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列满足，，，是的前项和，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．的前项和小于1
10．记的内角，，的对边分别是，，，已知，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的面积最大值为
C．的一个可能值为 D．外接圆面积可能是
11．已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．二面角的正弦值为
D．该平行六面体的体积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______.
13．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______.
14．如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且的面积为．
(1)求A；
(2)若a＝6，求的值．
16．如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面.
(1)证明：；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
17．在递增数列中，.
(1)求的值，并证明：数列是等差数列；
(2)若等比数列中，，数列的前项和，证明：.
18．为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛 复赛，甲 乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
(2)在甲 乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率.
19．设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称为的凹区间；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，区间称为的凸区间．
(1)已知函数，判断的单调性并求其凹，凸区间；
(2)如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，过线段的中点作轴的垂线，与函数和轴分别交于点，已知．
（i）证明：对任意的点均有；
（ii）结合（i）中的结论，当时，证明：
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