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九年级数学
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.在化学反应 中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为+2，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为
A. +2 B. - 2 C.0 D. +4
2.下列四个展开图中，能折叠成一个四棱锥的是
3.中国空间站梦天实验舱的超冷原子物理实验柜，可将原子冷却到接近绝对零度，其温度低至0.000 000 003 4K,将数据0.000 000 003 4用科学记数法表示为公众号耕耘数学YYDS
A. B. C. D.
4.2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗(如图1)集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一.图2 是某机器狗身体结构的平面示意图，AB∥CD，若∠1 =115°，∠2=135°,则∠3 的度数为
A.60° B.65° C.70° D.75°
5.若关于x的不等式组 的解集如下图所示，则m的取值范围是
A. m<-4 B.m≤-4 C. m<-5 D.m≤-5
6.如图,正六边形ABCDEF的中心为O,M为BO的中点,N为CE的中点,连接MN,若正六边形的边长为4，则MN的长为
A.2 B. C. D.4
7.某校开展四季主题活动：体育季、文学季、科创季、艺术季.校学生会准备从这四个主题中随机选取两个主题作为本学期重点打造的活动，则恰好选中“科创季”和“艺术季”的概率为
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,∠B=38°,以AB为直径的圆恰好经过点 C,D为劣弧AC上一点,连接AD并延长交BC的延长线于点E,连接CD.若∠E=71°,则∠ACD的度数为
A.9° B.18° C.19° D.29°
9.对于一个函数，若某点处的函数值是自变量的2倍，我们称该点为一个倍增点.若抛物线 上仅存在一个倍增点，则c的值为
A.0 B. C.1 D.
10.不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异.现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量(用百分比计量)与时间t(单位：min)之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是
A.两车开始充电时电量相同
B.当0C.两车的电量增加70%所需的时间总相等
D.按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到100%
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.请写一个使 为有理数的x的值： .
12.某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练.李明在连续5次模拟测试中的成绩(单位:米)分别为2.45,2.50,2.48,2.52,2.45.这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076.若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差 .(填“变大”“不变”或“变小”)
13.观察多项式： 则该多项式的第n项是 .
14.如图,△ABC内接于⊙O,CD为⊙O 的切线,且CD∥AB,若⊙O 的半径为2,∠CAB =60°，则图中阴影部分的面积为 .
15.定义：在一个三角形中，过一个顶点作一条线段，将原三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，那么这条线段称为该三角形的“相似分割线”.已知在△ABC中， ，过顶点C作线段CD交AB于点D,且CD是△ABC的“相似分割线”,其中△ACD 是等腰三角形,△BCD∽△BAC,则AB 的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(10分)(1)计算:
(2)化简:
17.(9分)某校开展学生体质健康监测活动.校医从全校1200名学生中随机抽取了部分学生，对他们一分钟跳绳次数进行测试，并将测试数据整理成如下不完整的统计表.
组别 分组(次) 频数 频率
A 60≤x<80 10 0.10
B 80≤x<100 20 0.20
C 100≤x<120 30 a
D 120≤x<140 b 0.25
E x≥140 15 0.15
合计 c 1.00
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中α= ,b= ,c= .
(2)估计全校1 200名学生中，一分钟跳绳次数达到“良好”等级(120次及以上)的人数.
(3)本次抽查的学生一分钟跳绳次数的中位数落在哪个组 请说明理由.
18.(9分)如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AD,垂足为E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)以O为圆心，OA 为半径作圆，该圆与线段 BC 交于点 F，证明：四边形 AFCE 是矩形.
19.(9分)为迎接校园艺术节，某班计划定制一批统一的文化衫，有甲、乙两家服装厂可以选择.甲厂收取的费用包括固定的“设计费”和按件收取的“制作费”，且已知甲厂定制20件文化衫的总费用为1400元，定制50件文化衫的总费用为2300元.乙厂免设计费，仅收取每件55元的制作费.
(1)求甲厂的设计费及每件文化衫的制作费.
(2)设该班要定制m件文化衫，当m在什么范围内时，乙厂的总费用比甲厂低
(3)若总费用不超过3 200元，选择哪家服装厂能定制更多的文化衫 最多能定制多少件
20.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于点A(-3,1)和B(1,n).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将△OAB 绕原点O 顺时针旋转,点 A 对应的点为A',点B 对应的点为B'，当A'B'首次与y轴平行时，判断点A'是否在函数 的图象上.
21.(9分)河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构.小明在水平地面上测量观星台的高度公众号耕耘数学YYDS
活动主题 测量观星台的高度
实物图和测 量 示意图
测量过程及数据 小明眼睛距离地面1.6米，如图，他在点A处用眼睛观测到观星台顶部P 的仰角为 ，然后沿水平方向向观星台走近5.8米到达点 B，此时用眼睛观测到顶部P的仰角为45°.已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部 Q与点A，B在同一水平面上.
根据以上信息，解决下列问题.
(1)求观星台的高PQ.(结果精确到0.1米，参考数据：
(2)假设(1)中得到的高度PQ 是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点A处用眼睛观测到观星台顶部P的仰角为30°，沿水平方向向观星台前进了x米，此时用眼睛观测到顶部P的仰角为α.
①求 tanα与x的函数关系式；(式中的数精确到0.1)
②小明发现，当仰角大于60°时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远 (结果精确到0.1米)
22.(10分)已知抛物线 经过点A(-1,0),B(0,5).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，并在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中画出抛物线的大致图象；
(3)点 P 是抛物线上与点A不重合的动点，将抛物线上 P，A两点之间的部分(包括端点)记作图象 G，设点 P 的横坐标为t，过点 作y轴的垂线l，若图象G的最高点恰好在直线l上，直接写出t的值.
23.(10分)折纸是一项有趣的活动，在数学综合实践课上，老师给每位同学发了一张纸片，进行如下操作：
第一步:在纸上画△ABC,使得AB=AC,且. ,D为BC的中点,将 BA 绕点 B 顺时针旋转60°得到 BF,连接 CF;
第二步:将△BCF沿BC 翻折,得到△BCH,连接FH;
第三步:作射线 HC交AD 于点 M,连接BM,FM.
(1)操作观察：
(2)猜想证明：猜想AM，CM，CF满足的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：当四边形 BMFC为平行四边形时，△MFH为 三角形(填：钝角、锐角或直角)，此时
九年级数学·参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. B 2. A 3. A 4. C 5. D
6. C 7. A 8. C 9. D 10. C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.0(答案不唯一， ，2等答案也正确) 12.变小
15.4 或
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.答案 (1)原式
(5分)
(2)原式 (7分)
(8分)
(9分)
(10分)
17.答案 (1)0.30,25,100 (3分)
(2)120次及以上对应D组和E组,频数为15+25=40,频率为0.4,故估计全校达到“良好”等级的人数为1 200×0.4=480.
(3)将所有学生的跳绳次数从低到高排列，A组和B组的总人数为30，加上C组的总人数为60，说明第50和51位的学生都在C组，所以中位数也落在C组. (9分)
18.答案 (1)如图,点O 即为所求. (3分)
(2)∵O是AB的中点,OA 是圆O的半径,
∴AB是圆O的直径, (4分)
∴AF⊥BF. (6分)
∵AD∥BC,
∴AF⊥AD. (7分)
又∵CE⊥AD,∴∠AFC=∠FAD=∠AEC=90°,
∴四边形 AFCE 是矩形. (9分)
19.答案 (1)设甲厂的设计费为x元，每件文化衫的制作费为y元.
依题意得 (1分)
解得 (2分)
答：甲厂的设计费为800元，每件文化衫的制作费为30元. (3分)
(2)定制m件文化衫，甲厂的总费用为30m+800，乙厂的总费用为55m， (4分)
由55m<30m+800,解得m<32.
答：当m<32时，乙厂的总费用比甲厂低. (6分)
(3)设定制n件文化衫.
对于甲厂,30n+800≤3200,解得n≤80,最多定制80件. (7分)
对于乙厂,55n≤3 200,解得 最多定制58件. (8分)
因为80>58，所以选择甲厂能定制更多的文化衫，最多能定制80件. (9分)
20.答案 (1)将(-3,1)代入 得m=-3,
所以反比例函数的解析式为 (1分)
所以B(1,-3).
将(-3,1)和(1,-3)代入y= kx+b,
得 解得
所以一次函数的解析式为y=-x-2. (3分)
(2)如图,作OC⊥AB,垂足为C,设直线AB与x轴、y轴的交点分别为D,E.
因为A(-3,1),所以 (4分)
在一次函数y=-x-2中,令x=0,得y=-2,令y=0,得x=-2,
所以OD=OE=2,在等腰直角三角形ODE中, (5分)
在 Rt△OAC中, (6分)
根据旋转，A'B'首次与y轴平行时，点C恰好落在x轴上的C'处，
所以
所以A '(-\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}). (8分)
因为 所以点A'不在函数 的图象上. (9分)
21.答案(1)由题图知,在Rt△CPE中, 所以
(1分)
设PQ=h,在Rt△DPE中,∠PDE=45°,所以DE=PE=h-1.6. (2分)
所以 即 (3分)
代入相关数据，得(
解得 (米). (4分)
(2)①由(1)知,
因为前进x米后，对应仰角为α，所以 )
所以 (6分)
②当仰角等于60°时,tanα=tan 60°,所以 (7分)
解得x≈9.1. (8分)
所以CE-x≈13.7-x=13.7-9.1=4.6,
即他应该至少距离观星台底部4.6米. (9分)
22.答案 (1)由题意,将(-1,0),(0,5)代入
可得
解得
所以抛物线的解析式为 (4分)
(2)由(1)知,抛物线为
对称轴为
当x=2时,y=9,
所以顶点坐标为(2，9). (6分)
抛物线如图：
(7分)
(3)t=-2或 (10分)
23.答案 (1)150 (2分)
(2)AM=CM+CF. (3分)
理由如下:因为AD垂直平分BC,所以BM=CM,所以∠ABM=∠ACM.
由(1)知,∠BCF=150°,由翻折知,∠BCH=∠BCF=150°,
所以∠FCH=60°,
所以∠FCM=120°. (4分)
所以∠ACM=120°-(60°+α)=60°-α,
所以∠ABM=60°-α. (5分)
又∠ABM+∠HBM=∠ABH=60°+2(30°-α)=120°-2α,
所以∠HBM=60°-α=∠ABM. (6分)
由旋转和翻折知,BA=BF=BH,
所以在△ABM和△HBM中,
BA=BH,∠ABM=∠HBM,BM=BM,
所以△ABM≌△HBM(SAS). (7分)
所以AM=HM,
又MH=MC+CH,CF=CH,
所以AM=CM+CF. (8分)
(3)直角, (10分)

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