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河南鄢陵县第二高级中学等校2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若变量关于变量的线性回归方程为，则相关系数的值不可能是( )
A. B. C. D.
2.过点，的面积最小的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
3.函数的图象在处的切线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
5.为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若、，则方程表示的直线条数为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子次，向上点数较大的一方获胜向上点数相等为平局，然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第轮抛掷后游戏结束的概率为( )
A. B. C. D.
8.若、，且，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值单位：近似服从正态分布，则( )参考数据：若，则，．
A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为
B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为
C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为
D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于的比例约为
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两平行直线、的方向向量的坐标分别为、，则 ．
13.若随机变量，且，则 ．
14.若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求与；
若，求的前项和．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
求的方程；
若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
17.本小题分
某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于次，则认定为级电池，否则认定为级电池，统计结果如下表：
级电池 级电池 总计
液冷技术
风冷技术
总计
根据小概率值的独立性检验，分析“是级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关；
现从使用液冷技术的组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取组电池，再从这组电池中用无放回的方式随机抽取组电池，记为抽到的级电池的组数，求的分布列和数学期望．
附：．
18.本小题分
在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为或已知第一个量子比特测量结果为的概率为，测量结果为的概率为若第一个量子比特测量结果为，则第二个量子比特测量结果为的概率为；若第一个量子比特测量结果为，则第二个量子比特测量结果为的概率为．
在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为的概率．
设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和．
求的分布列；
在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且，，，，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若方程有实根，求的取值范围；
若函数有个极值点、，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，由，得，解得，
所以，
．
由得，，
则，
所以
．

16.解：双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为．
依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得，则，，
因此，
所以的面积．

17.解：零假设：“是级电池”与“电池冷却技术类型”无关，
由题中数据得，
根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立，
所以“是级电池”与“电池冷却技术类型”有关．
从使用液冷技术的组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取组电池，
则级电池抽取组，级电池抽取组，则的所有可能取值为，，，
，，，
故的分布列为
所以．

18.解：记事件“第一个量子比特测量结果为”，事件“第二个量子比特测量结果为”，
事件“两个量子比特测量结果相同”，则，
则，，
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为的概率为
．
的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
由得，，
所以，
所以的取值范围是．

19.解：由题知的定义域为，，
若，则，此时函数的增区间为，无减区间；
若，由可得，由可得．
此时函数的减区间为，增区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为．
由得，参变量分离可得，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又当时，，所以的取值范围是．
由题可知，
则，
由题知、是方程的两根，即方程的两个根，
所以，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以
，
令，其中，
则，
令，其中，
则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
所以在上单调递减，则，
故．

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