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第7课时　函数的概念及其表示
[考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
知识点1　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 ___的取值范围A
值域 与x对应的y的值的集合{f (x)|x∈A}
知识点2　同一个函数
如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
知识点3　函数的表示法
表示函数的常用方法：________、________、________．
知识点4　分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______．
[常用结论]
注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．
(4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为
1．(多选)(湘教版必修第一册P76习题3.1T1)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
　
A　　　　　　B
　
C　　　　　　D
2．(人教A版必修第一册P66例3)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝
3．(人教A版必修第一册P68例5)画出函数y＝|x|的图象．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝则f (1)＋f (－3)＝________．
5．(北师大版必修第一册P55例2(2))函数y＝的定义域为________．
考点一　函数的概念
[典例1]　(1)(多选)下列选项中正确的是(　　)
A．函数f (x)＝的定义域是(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞)
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点
C．函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数
D．对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
(2)(2025·济宁高新区月考)已知函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f (1－3x)的定义域为(　　)
A． B．
C．[0，1] D．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：(1)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
(2)f (φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围．
(3)直线x＝a与函数y＝f (x)的图象至多有1个交点．
考点二　函数的解析式
[典例2]　求下列函数的解析式．
(1)已知f＝ln x，求f (x)；
(2)已知f＝x4＋，求f (x)；
(3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：(1)定义域不要漏写．
(2)用换元法求解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围．
考点三　分段函数
[典例3]　(1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4]
C．若f (x)＝2，则x的值是－
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
(2)(人教A版必修第一册P68例6改编)定义max{a，b}＝设函数f (x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，记函数F(x)＝max{f (x)，g(x)}，且函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，则n－m的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(综合变式)本例(1)中，若f (a)＝0，则实数a＝________．
2．(变结论)本例(1)条件不变，则f (f (3))＝________．
易错提醒：分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易忽略自变量的取值范围而出错．
1．(链接考点三)(2026·济南模拟)已知函数f (x)＝则f (9)＝(　　)
A．2 B．9
C．65 D．513
2．(链接考点一)(2026·慈溪市模拟)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2
B．f (x)＝与g(x)＝x
C．f (x)＝与g(x)＝
D．f (x)＝与g(x)＝
3．(链接考点二)(2025·驻马店月考)已知f (x2－1)＝x4－1，则函数f (x)的解析式为(　　)
A．f (x)＝x2－2x
B．f (x)＝x2－1(x≥－1)
C．f (x)＝x2＋2x(x≥－1)
D．f (x)＝x2－2x＋2(x≥1)
4．(链接考点一)(2025·昆明富民县月考)函数f (x)＝＋(x－1)0的定义域是________．(用区间表示)
第7课时　函数的概念及其表示
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　实数集　任意一个数x　唯一　x
知识点2　定义域　对应关系
知识点3　解析法　图象法　列表法
知识点4　(2)并集
链教材·夯基固本
1．BC　[对于A，当x＝1.5时，y没有值与之对应，故A错误；
对于B，C，集合M中的每一个x，集合N中都有唯一的y与之对应，故B，C正确．
对于D，当x＝1.5时，y有两个值与之对应，故D错误．故选BC．]
2．B　[函数y＝()2＝x(x≥0)与y＝x不是同一个函数，选项A错误；
u＝＝v与y＝x是同一个函数，选项B正确；
y＝＝|x|与y＝x不是同一个函数，选项C错误；
m＝＝n(n≠0)与y＝x不是同一个函数，选项D错误．故选B．]
3．解：由绝对值的概念，我们有
y＝
所以函数y＝|x|的图象如图所示．
4.26　[由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26．]
5．[－3，0)∪(0，＋∞)　[由
解得
故函数的定义域为[－3，0)∪(0，＋∞)．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)ABD　(2)C　[(1)对于A，要使函数f(x)＝有意义，
则解得x<－2或－2所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞)，A正确；
对于B，根据函数的定义可知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点，B正确；
对于C，函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数y＝x－1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数，C错误；
对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，D正确．故选ABD．
(2)因为函数y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，
所以－2≤x－1≤1，
则y＝f(1－3x)中，－2≤1－3x≤1，
解得0≤x≤1，
故y＝f(1－3x)的定义域为[0，1]．
故选C．]
考点二
典例2　解：(1)换元法：令＋1＝t(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝ln，
∴f(x)＝ln(x>1)．
(2)配凑法：∵f＝x4＋－2，
令t＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，
∴f(t)＝t2－2(t≥2)，
∴f(x)＝x2－2(x≥2)．
(3)待定系数法：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7．
(4)解方程组法：∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x．
考点三
典例3　(1)BC　(2)D　[(1)函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；
当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；
当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；
当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC．
(2)令f(x)≥g(x)，即x＋1≥(x＋1)2，解得－1≤x≤0；
令f(x)0，
所以F(x)＝max{f(x)，g(x)}＝
F(x)的图象如图所示，
又F(0)＝F(－2)＝1，F(－1)＝0，
要使函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，
当n＝0时，－2≤m≤－1；
当m＝－2时，－1≤n≤0，
则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2．故选D．]
母题探究
1.0或2　[当－2≤a<1时，由a2＝0，得a＝0；当a≥1时，由－a＋2＝0，解得a＝2，故实数a的值为0或2．]
2.1　[f(f(3))＝f(－1)＝1．]
随堂·对点检测
1．A　[f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2．]
2．C　[对于A，f(x)＝x2，x∈R，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，两函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于B，f(x)＝＝－x，x∈(－∞，0]，g(x)＝x，x∈(－∞，0]，两函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，f(x)＝＝1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝＝1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，f(x)＝·，x∈[3，＋∞)，g(x)＝，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)，两函数的定义域不同，不是同一个函数．
故选C．]
3．C　[因为x2－1≥－1，所以f(x2－1)＝x4－1＝(x2－1)2＋2(x2－1)，
所以f(x)＝x2＋2x，其中x≥－1．
故选C．]
4．[－5，1)∪(1，＋∞)　[由题意可得，解得x≥－5且x≠1，
故函数的定义域为[－5，1)∪(1，＋∞)．]
5 / 6(共73张PPT)
第二章　函数
第二章　函数
第7课时　函数的概念及其表示
[考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
实数集
任意一个数x
唯一
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 ___的取值范围A
值域 与x对应的y的值的集合{f (x)|x∈A}
x
知识点2　同一个函数
如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
知识点3　函数的表示法
表示函数的常用方法：________、________、________．
定义域
对应关系
解析法
图象法
列表法
知识点4　分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______．
并集
[常用结论]
注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．
(4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为
【教用·常用结论】
基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；
当a<0时，值域为
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(7)y＝x－(a>0)的值域为(－∞，＋∞)．
(8)y＝(a≠0，ad－bc≠0)的值域为
1．(多选)(湘教版必修第一册P76习题3.1T1)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
√
√
BC　[对于A，当x＝1.5时，y没有值与之对应，故A错误；
对于B，C，集合M中的每一个x，集合N中都有唯一的y与之对应，故B，C正确．
对于D，当x＝1.5时，y有两个值与之对应，故D错误．故选BC．]
2．(人教A版必修第一册P66例3)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝
√
B　[函数y＝()2＝x(x≥0)与y＝x不是同一个函数，选项A错误；
u＝＝v与y＝x是同一个函数，选项B正确；
y＝＝|x|与y＝x不是同一个函数，选项C错误；
m＝＝n(n≠0)与y＝x不是同一个函数，选项D错误．故选B．]
3．(人教A版必修第一册P68例5)画出函数y＝|x|的图象．
[解]　由绝对值的概念，我们有
y＝
所以函数y＝|x|的图象如图所示．
4．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝则f (1)＋f (－3)＝________．
26　[由题意得f (1)＝5，f (－3)＝21，
所以f (1)＋f (－3)＝26．]
26　
5．(北师大版必修第一册P55例2(2))函数y＝的定义域为_____________________________．
[－3，0)∪(0，＋∞)　[由解得
故函数的定义域为[－3，0)∪(0，＋∞)．]
[－3，0)∪(0，＋∞)　
考点深研·题型突破
考点一　函数的概念
[典例1]　(1)(多选)下列选项中正确的是(　　)
A．函数f (x)＝的定义域是(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞)
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点
C．函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数
D．对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
√
√
√
(2)(2025·济宁高新区月考)已知函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f (1－3x)的定义域为(　　)
A． B．
C．[0，1] D．
√
(1)ABD　(2)C　[(1)对于A，要使函数f (x)＝有意义，
则解得x＜－2或－2＜x≤－1或x≥1．
所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞)，A正确；
对于B，根据函数的定义可知，函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点，B正确；
对于C，函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数y＝x－1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数，C错误；
对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，D正确．故选ABD．
(2)因为函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，
所以－2≤x－1≤1，
则y＝f (1－3x)中，－2≤1－3x≤1，
解得0≤x≤1，
故y＝f (1－3x)的定义域为[0，1]．
故选C．]
易错提醒：(1)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
(2)f (φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围．
(3)直线x＝a与函数y＝f (x)的图象至多有1个交点．
【教用·通性通法】
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数的概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
【教用·备选题】
1．(2022·北京卷)函数f (x)＝的定义域是____________________．
(－∞，0)∪(0，1]　[依题意解得x∈(－∞，0)∪(0，1]．]
(－∞，0)∪(0，1]
2．下列各图中，一定不是函数的图象的是(　　)
√
A　[由函数的定义可知，一个x的值只能对应一个y的值，而选项A中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数的图象．
故选A．]
考点二　函数的解析式
[典例2]　求下列函数的解析式．
(1)已知f ＝ln x，求f (x)；
(2)已知f ＝x4＋，求f (x)；
(3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求
f (x)；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)．
[解]　(1)换元法：令＋1＝t(t>1)，则x＝，
∴f (t)＝ln ，
∴f (x)＝ln (x>1)．
(2)配凑法：∵f ＝x4＋＝－2，
令t＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，
∴f (t)＝t2－2(t≥2)，
∴f (x)＝x2－2(x≥2)．
(3)待定系数法：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，
∴f (x)＝2x＋7．
(4)解方程组法：∵2f (x)＋f (－x)＝3x，①
∴将x用－x替换得2f (－x)＋f (x)＝－3x，②
由①②解得f (x)＝3x．
易错提醒：(1)定义域不要漏写．
(2)用换元法求解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围．
【教用·通性通法】
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f (g(x)) ＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得到f (x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f (g(x)) 的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f (t)，改写即得f (x)，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f (x)与f 或f (－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x)．
考点三　分段函数
[典例3]　(1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4]
C．若f (x)＝2，则x的值是－
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
√
√
(2)(人教A版必修第一册P68例6改编)定义max{a，b}＝设函数f (x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，记函数F(x)＝max{f (x)，g(x)}，且函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，则n－m的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
√
(1)BC　(2)D　[(1)函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；
当－2≤x<1时，f (x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确；
当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；
当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC．
(2)令f (x)≥g(x)，即x＋1≥(x＋1)2，解得－1≤x≤0；
令f (x)0，
所以F(x)＝max{f (x)，g(x)}＝
F(x)的图象如图所示，
又F(0)＝F(－2)＝1，F(－1)＝0，
要使函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，
当n＝0时，－2≤m≤－1；
当m＝－2时，－1≤n≤0，
则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2．故选D．]
[母题探究]
1．(综合变式)本例(1)中，若f (a)＝0，则实数a＝________．
0或2　[当－2≤a＜1时，由a2＝0，得a＝0；当a≥1时，由－a＋2＝0，解得a＝2，故实数a的值为0或2．]
0或2
2．(变结论)本例(1)条件不变，则f ( f (3))＝________．
1　[ f ( f (3))＝f (－1)＝1．]
1
易错提醒：分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易忽略自变量的取值范围而出错．
【教用·通性通法】
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f ( f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
【教用·备选题】
(2025·八省联考)已知函数f (x)＝x|x－a|－2a2．若当x>2时，f (x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
√
B　[f (x)＝当x当x≥a时，f (x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)·(x＋a)．
①当a>0时，则2a≤2，即00恒成立；③当a<0时，则－a≤2，即－2≤a<0．综上，－2≤a≤1．]
1．(链接考点三)(2026·济南模拟)已知函数f (x)＝则f (9)＝(　　)
A．2 B．9
C．65 D．513
√
A　[f (9)＝f (9－3)＝f (6)＝f (3)＝f (0)＝20＋1＝2．]
2．(链接考点一)(2026·慈溪市模拟)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2
B．f (x)＝与g(x)＝x
C．f (x)＝与g(x)＝
D．f (x)＝与g(x)＝
√
C　[对于A，f (x)＝x2，x∈R，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，两函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于B，f (x)＝＝－x，x∈(－∞，0]，g(x)＝x，x∈(－∞，0]，两函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，f (x)＝＝1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝＝1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，f (x)＝＝，x∈[3，＋∞)，g(x)＝，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)，两函数的定义域不同，不是同一个函数．
故选C．]
3．(链接考点二)(2025·驻马店月考)已知f (x2－1)＝x4－1，则函数
f (x)的解析式为(　　)
A．f (x)＝x2－2x
B．f (x)＝x2－1(x≥－1)
C．f (x)＝x2＋2x(x≥－1)
D．f (x)＝x2－2x＋2(x≥1)
√
C　[因为x2－1≥－1，所以f (x2－1)＝x4－1＝(x2－1)2＋2(x2－1)，
所以f (x)＝x2＋2x，其中x≥－1．
故选C．]
4．(链接考点一)(2025·昆明富民县月考)函数f (x)＝＋(x－1)0的定义域是___________________．(用区间表示)
[－5，1)∪(1，＋∞)　[由题意可得，解得x≥－5且x≠1，
故函数的定义域为[－5，1)∪(1，＋∞)．]
[－5，1)∪(1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数f (x)＝的定义域为
(　　)
A． B．
C． D．
课时作业(七)　函数的概念及其表示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[要使f (x)有意义，只需满足即x≤且x≠0．]
√
2．(2026·盐城模拟)函数f (x)满足2f (x)－f (1－x)＝x，则函数f (x)＝
(　　)
A．x－2 B．
C． D．－x＋2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为2f (x)－f (1－x)＝x，①
所以2f (1－x)－f (x)＝1－x，②
由①×2＋②得3f (x)＝x＋1，即f (x)＝
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝1，g(x)＝x0
B．f (x)＝，g(x)＝|x|
C．表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2
D．f (t)＝，g(t)＝t＋4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[对于A，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
对于C，因为函数h＝130t－5t2中，0≤t≤26，而函数y＝130x－5x2中，x∈R，即这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(2025·佛山禅城区月考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C　[考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D；之后为了赶时间加快速度行驶，这一时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·汉川市校级模拟)已知函数y＝f (x＋1)的定义域为[－1，4]，则y＝的定义域为(　　)
A．(1，2] B．[－1，9]
C．(1，9] D．[－1，2]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[函数y＝f (x＋1)的定义域为[－1，4]，
则－1≤x≤4，
故0≤x＋1≤5，
故函数f (x)的定义域为[0，5]，
令解得1＜x≤2，
故函数y＝的定义域为(1，2]．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·江西名校联盟联考)若f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f (1)＝1，则f (30)＝(　　)
A．189 B．190
C．464 D．465
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[依题意，f (2)＝f (1)＋f (1)＋1×1＝3，
f (3)＝f (2)＋f (1)＋1×2＝3＋1＋2＝6，
f (4)＝f (2)＋f (2)＋2×2＝3＋3＋4＝10，
f (5)＝f (2)＋f (3)＋2×3＝3＋6＋6＝15，
f (6)＝f (2)＋f (4)＋2×4＝3＋10＋8＝21，
f (7)＝f (2)＋f (5)＋2×5＝3＋15＋10＝28，
f (8)＝f (2)＋f (6)＋2×6＝3＋21＋12＝36，
f (15)＝f (7)＋f (8)＋7×8＝28＋36＋56＝120，
f (30)＝f (15)＋f (15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题　
7．(苏教版必修第一册P112习题5.1T4，T6改编)下列说法正确的是
(　　)
A．式子y＝可表示自变量为x，因变量为y的函数
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点
C．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f ＝1
D．f (x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[对于A选项，有不等式组无解，A错误；对于B选项，根据函数的概念知，当函数f (x)在x＝1处无定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1无交点，当函数f (x)在x＝1处有定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，B正确；对于C选项，因为f (x)＝|x－1|－|x|，所以f ＝0，故f＝f (0)＝1，C正确；对于D选项，两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，故这两个函数是同一个函数，D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(人教A版必修第一册P73习题3.1T8改编)如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么下列关系中正确的是(　　)
A．y＝，x>0 B．d＝，x>0
C．l＝2x＋，x>0 D．l＝，d≥2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[∵矩形的面积为10，长为x，宽为y，∴xy＝10，∴y＝，x>0，根据d＝，得到d＝，x>0，
∵周长l＝2(x＋y)，∴l＝2x＋，x>0，
根据d2＝x2＋，l2＝4＝4＝4(d2＋20)，∴l＝2，d≥2故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．函数D(x)＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　)
A．D(D(2))＝D(D())
B．D(x)的值域与函数f (x)＝的值域相同
C．D(x)≠D(－x)
D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[对于A，根据狄利克雷函数的定义可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D())＝D(0)＝1，所以A正确；
对于B，易知D(x)的值域为{0，1}，函数f (x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x∈(－∞，0)时，f (x)＝＝0；当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝＝1，即函数f (x)＝的值域为{0，1}，所以B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D(x)＝D(－x)＝1，若x∈ RQ，则－x
∈ RQ，则D(x)＝D(－x)＝0，综上可得D(x)＝D(－x)，所以C错误；
对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1；
当x∈ RQ时，x＋1∈ RQ，此时D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·上饶期末)已知函数f ()＝x＋2，若f (a)＝4，则实数a＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
1　[令＝t，t≥0，
则x＝t2＋1(t≥0)，f (t)＝t2＋3，
故f (a)＝a2＋3＝4(a≥0)，解得a＝1．]
1
11．(2024·上海卷)已知函数f (x)＝则f (3)＝_______．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[f (x)＝
则f (3)＝]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝若f (a)＝，则实数a＝________．
2或±　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2或±　[当a>1时，f (a)＝1＋＝，
∴a＝2>1；当－1≤a≤1时，f (a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1，1]；当a<－1时，f (a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1，舍去．
综上，a＝2或a＝±]
谢谢！课时作业(七)　函数的概念及其表示
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数f (x)＝的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
2．(2026·盐城模拟)函数f (x)满足2f (x)－f (1－x)＝x，则函数f (x)＝(　　)
A．x－2 B．
C． D．－x＋2
3．(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝1，g(x)＝x0
B．f (x)＝，g(x)＝|x|
C．表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2
D．f (t)＝，g(t)＝t＋4
4．(2025·佛山禅城区月考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
　　
A　　　　　　　B
　　
C　　　　　　　D
5．(2026·汉川市校级模拟)已知函数y＝f (x＋1)的定义域为[－1，4]，则y＝的定义域为(　　)
A．(1，2] B．[－1，9]
C．(1，9] D．[－1，2]
6．(2025·江西名校联盟联考)若f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f (1)＝1，则f (30)＝(　　)
A．189 B．190
C．464 D．465
二、多项选择题　
7．(苏教版必修第一册P112习题5.1T4，T6改编)下列说法正确的是(　　)
A．式子y＝可表示自变量为x，因变量为y的函数
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点
C．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f ＝1
D．f (x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数
8．(人教A版必修第一册P73习题3.1T8改编)如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么下列关系中正确的是(　　)
A．y＝，x>0 B．d＝，x>0
C．l＝2x＋，x>0 D．l＝，d≥2
9．函数D(x)＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　)
A．D(D(2))＝D(D())
B．D(x)的值域与函数f (x)＝的值域相同
C．D(x)≠D(－x)
D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x)
三、填空题
10．(2025·上饶期末)已知函数f ()＝x＋2，若f (a)＝4，则实数a＝________．
11．(2024·上海卷)已知函数f (x)＝则f (3)＝________．
12．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝若f (a)＝，则实数a＝________．
课时作业(七)
1．D　[要使f (x)有意义，只需满足即x≤且x≠0．]
2．B　[因为2f (x)－f (1－x)＝x，①
所以2f (1－x)－f (x)＝1－x，②
由①×2＋②得3f (x)＝x＋1，即f (x)＝
故选B．]
3．B　[对于A，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
对于C，因为函数h＝130t－5t2中，0≤t≤26，而函数y＝130x－5x2中，x∈R，即这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数．故选B．]
4．C　[考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D；之后为了赶时间加快速度行驶，这一时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．]
5．A　[函数y＝f (x＋1)的定义域为[－1，4]，
则－1≤x≤4，
故0≤x＋1≤5，
故函数f (x)的定义域为[0，5]，
令解得1＜x≤2，
故函数y＝的定义域为(1，2]．
故选A．]
6．D　[依题意，f (2)＝f (1)＋f (1)＋1×1＝3，
f (3)＝f (2)＋f (1)＋1×2＝3＋1＋2＝6，
f (4)＝f (2)＋f (2)＋2×2＝3＋3＋4＝10，
f (5)＝f (2)＋f (3)＋2×3＝3＋6＋6＝15，
f (6)＝f (2)＋f (4)＋2×4＝3＋10＋8＝21，
f (7)＝f (2)＋f (5)＋2×5＝3＋15＋10＝28，
f (8)＝f (2)＋f (6)＋2×6＝3＋21＋12＝36，
f (15)＝f (7)＋f (8)＋7×8＝28＋36＋56＝120，
f (30)＝f (15)＋f (15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．]
7．BCD　[对于A选项，有不等式组无解，A错误；对于B选项，根据函数的概念知，当函数f (x)在x＝1处无定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1无交点，当函数f (x)在x＝1处有定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，B正确；对于C选项，因为f (x)＝|x－1|－|x|，所以f ＝0，故f＝f (0)＝1，C正确；对于D选项，两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，故这两个函数是同一个函数，D正确．故选BCD．]
8．ABC　[∵矩形的面积为10，长为x，宽为y，∴xy＝10，∴y＝，x>0，根据d＝，得到d＝，x>0，
∵周长l＝2(x＋y)，∴l＝2x＋，x>0，
根据d2＝x2＋，l2＝4＝4＝4(d2＋20)，∴l＝2，d≥2故选ABC．]
9．ABD　[对于A，根据狄利克雷函数的定义可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D())＝D(0)＝1，所以A正确；
对于B，易知D(x)的值域为{0，1}，函数f (x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x∈(－∞，0)时，f (x)＝＝0；当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝＝1，即函数f (x)＝的值域为{0，1}，所以B正确；
对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D(x)＝D(－x)＝1，若x∈ RQ，则－x∈ RQ，则D(x)＝D(－x)＝0，综上可得D(x)＝D(－x)，所以C错误；
对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1；
当x∈ RQ时，x＋1∈ RQ，此时D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正确．故选ABD．]
10．1　[令＝t，t≥0，
则x＝t2＋1(t≥0)，f (t)＝t2＋3，
故f (a)＝a2＋3＝4(a≥0)，解得a＝1．]
11．　[f (x)＝
则f (3)＝]
12．2或±　[当a>1时，f (a)＝1＋＝，
∴a＝2>1；当－1≤a≤1时，f (a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1，1]；当a<－1时，f (a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1，舍去．
综上，a＝2或a＝±]
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