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湖北省孝感高级中学等校2025-2026学年高一上学期期末质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题是假命题的为( )
A. 若，，则 B. 若且，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知是第一象限角， ，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，且的图象过定点，则( )
A. B. C. D.
5.想要得到函数的图像，只需将函数的图像( )
A. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
B. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向左平移个单位
C. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
D. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
6.已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且为自然对数的底数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设为实数，已知函数，，若存在实数，同时
满足和，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数的单调递增区间是
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 已知，则函数的最小值为
10.设函数，已知在上有且仅有个零点，则( )
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点恰有个
D. 在上不一定单调
11.已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则( )
A. B.
C. 当时， D. 方程恰有个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是 ．
13.幂函数在上为减函数，则的值为 ．
14.已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求的值；
计算：．
16.本小题分
已知函数且．
若，求不等式的解集；
若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
一块长方形鱼塘，米，米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建条如图所示的观光走廊，，，考虑到整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且．

设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
经核算，三条走廊每米建设费用均为元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
18.本小题分
设函数．
若，求函数在上的值域：
若不等式在上恒成立，求的取值范围
若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
已知定义在上的函数满足下列两个条件：对任意、，都有；对任意，请解答下列问题：
判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明；
解不等式：；
证明：对任意正整数，．
提示：；．
参考答案
1.
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3.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以
．
．

16.解：当，，
令，
则可化为，
即，
解得或，即，或，
所以或，
故不等式的解集为或，
因为，
当时，有最大值，
故存在，成立，
令，因为，所以
即存在，成立，
即，
而函数的图象开口向下，对称轴为，
又，则，
故．

17.解：在中，，，所以，
在中，，即，又，
所以，
所以的周长，
即
当点在点时，角最小，此时
当点在点时，角最大，此时
故此函数的定义域是
由题意可知，只需求出的周长的最小值即可
设 ，则 ，
则原函数可化简为，
因为 ，所以，，
则，
则，
从而，
则当时，即时，；
即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元

18.解：令，，
则变为，
，在上单调递减，
，，
值域为；
若要，则需，
当时，，
函数变为，
所求问题变为恒成立，
易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，
最小值一定在区间端点处取得，所以有
，解得，
故的取值范围是；
令，由题意可知，当时，
关于的方程在时有两个不等实数解，
所以原题可转化为在内有两个不等实数根，
令，
则有
解得，即的取值范围是．

19.解：令，则，解得；
令，则，
所以为定义在上的奇函数，
设，则，所以，
因为，所以，则，，
又，所以，
又当，，所以，
所以，即，所以在上是减函数．
由得，
因为定义域为且在上是减函数，所以
解得，故原不等式的解集为．
因为，
因为，，
所以，
所以
，
因为，所以，则，
所以，
故．

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