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第8课时　函数的单调性
[考试要求]　1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解其实际意义．2．理解并会求函数的单调区间．
知识点1　单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
知识点2　单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______ 叫做y＝f (x)的单调区间．
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈I(x1≠x2)，则
(1)>0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0) f (x)在区间I上单调递增；
(2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0) f (x)在区间I上单调递减．
2．若函数f (x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)的单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)的单调性相反；
(3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝(f (x)≠0)的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减 ”．
1．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T3改编)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f (x)＝－2x＋1是减函数
B．函数f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增
C．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增
2．(北师大版必修第一册P63例4)判断函数f (x)＝的单调性，并给出证明．
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3．(人教A版必修第一册P85习题3.2 T1改编)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．[1，2]∪[4，5]　　　 B．[－1，2]和[4，5]
C．[－3，－1]∪[2，4] D．[－3，－1]和[2，4]
4．(用结论)函数f (x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1，3] D．[－1，1]
考点一　函数单调性的判断
[典例1]　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增
B．若f (x)，g(x)都是R上的增函数，则h(x)＝f (x)＋g(x)也是R上的增函数
C．函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递增
D．函数y＝lg (x＋1)在(0，＋∞)上单调递增
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易错提醒：讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
考点二　利用定义证明函数的单调性
[典例2]　判断函数f (x)＝，x∈(－2，＋∞)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
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通性通法：用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”．
考点三　求函数的单调区间
[典例3]　函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________．
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[母题探究]
1．(综合变式)函数y＝的单调递减区间为________．
2．(综合变式)函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为________．
易错提醒：(1)求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域．
(2)单调区间只能用区间表示．
(3)若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
1．(链接考点一)(2025·重庆期末)下列函数在定义域内是减函数的是(　　)
A．f (x)＝x B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x2
2．(链接考点三)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A． B．
C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞)
3．(链接考点二)(湘教版必修第一册P81例2节选)证明函数f (x)＝x＋(x>0)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．
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第8课时　函数的单调性
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　f(x1)f(x2)
知识点2　单调递增　单调递减　区间I
链教材·夯基固本
1．ABD　[对于A，对任意x10，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是减函数，A正确；对于B，对任意0∴x1＋x2>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴x1－x2<0，x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴函数f(x)＝1－在(－∞，0)上单调递增，D正确．故选ABD．]
2．解：画出函数f(x)＝的图象(如图)．由图象可以看出，函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
x1，x2∈[0，＋∞)，且x1所以f(x1)－f(x2)＝．
由>0，可知f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
3．B　[由题图知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B．]
4．D　[函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)的定义域为[－1，3]．
因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f(x)＝在[－1，1]上单调递增．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　ABD　[对于A，∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；
对于B，两增函数的和为增函数，故B正确；
对于C，作出函数y＝2|x＋1|的图象，如图所示，
由图象可知，函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递减，故C错误；
由判断复合函数的单调性的方法"同增异减"可得函数y＝lg(x＋1)是定义域为(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ABD．]
考点二
典例2　解：函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
证明如下：f(x)＝＝1－， x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，x2＋2>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
考点三
典例3　[－1，2]，[5，＋∞)　[函数y＝|－x2＋4x＋5|＝
由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5，
函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．]
母题探究
1．[2，5]　[函数y＝的定义域需要满足－x2＋4x＋5≥0，解得x∈[－1，5]，因为t＝－x2＋4x＋5在[2，＋∞)上单调递减，所以y＝在[2，5]上单调递减．]
2．(－∞，－2]和[0，2]　[f(x)＝
即f(x)＝
画出函数的图象如图所示，
可知函数f(x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，2]．]
随堂·对点检测
1．C　[f(x)＝x在R上单调递增；
f(x)＝在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递减，在定义域内不单调递减；
f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，在定义域内不单调递减；
函数t＝1－2x在R上为减函数，t∈R，函数y＝在R上为增函数，
所以函数f(x)＝在定义域R上为减函数．
故选C．]
2．B　[g(x)＝x|x－1|＋1＝
画出函数图象如图所示．
根据图象知函数g(x)的单调递减区间为．故选B．]
3．证明：①设x1和x2是区间(0，1]上任意两个实数，且x1由01，
于是k＝1－<0，f(x2)－f(x1)<0，
所以函数f(x)在区间(0，1]上单调递减．
②设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1由x2>x1≥1，得x1x2>1，<1，
于是k＝1－>0，f(x2)－f(x1)>0，
所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
3 / 4(共53张PPT)
第二章　函数
第8课时　函数的单调性
[考试要求]　1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解其实际意义．2．理解并会求函数的单调区间．
理法先行·题练固本
知识点1　单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
增函数 减函数
定义 当x1f (x1)f (x1)>f (x2)
增函数 减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
知识点2　单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______ 叫做y＝f (x)的单调区间．
单调递增
单调递减
区间I
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈I(x1≠x2)，则
(1)>0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0) f (x)在区间I上单调递增；
(2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0) f (x)在区间I上单调递减．
2．若函数f (x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)的单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)的单调性相反；
(3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝( f (x)≠0)的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减 ”．
1．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T3改编)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f (x)＝－2x＋1是减函数
B．函数f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增
C．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增
√
√
√
ABD　[对于A，对任意x10，∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在R上是减函数，A正确；对于B，对任意00，x1－x2<0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴f (x1)0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增，D正确．故选ABD．]
2．(北师大版必修第一册P63例4)判断函数f (x)＝的单调性，并给出证明．
[解]　画出函数f (x)＝的图象(如图)．由图象可以看出，函数f (x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则x1－x2＜0．
所以f (x1)－f (x2)＝＝
由＞0，可知f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)．
所以函数f (x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
3．(人教A版必修第一册P85习题3.2 T1改编)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．[1，2]∪[4，5]　　　
B．[－1，2]和[4，5]
C．[－3，－1]∪[2，4]
D．[－3，－1]和[2，4]
√
B　[由题图知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B．]
4．(用结论)函数f (x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[1，3] D．[－1，1]
√
D　[函数f (x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得
f (x)的定义域为[－1，3]．
因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f (x)＝在[－1，1]上单调递增．]
考点深研·题型突破
考点一　函数单调性的判断
[典例1]　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增
B．若f (x)，g(x)都是R上的增函数，则h(x)＝f (x)＋g(x)也是R上的增函数
C．函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递增
D．函数y＝lg (x＋1)在(0，＋∞)上单调递增
√
√
√
ABD　[对于A，∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；
对于B，两增函数的和为增函数，故B正确；
对于C，作出函数y＝2|x＋1|的图象，如图所示，
易错提醒：讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
由图象可知，函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递减，故C错误；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得函数y＝lg (x＋1)是定义域为(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ABD．]
【教用·通性通法】
函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；
③利用已知函数的单调性；④导数法．
【教用·备选题】
1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)
A．f (x)＝－x B．f (x)＝
C．f (x)＝x2 D．f (x)＝
√
D　[法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f (x1)＝，f (x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D．
法二(图象法)：如图，在平面直角坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观地判断D项符合题意．故选D．]
2．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是
(　　)
A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝
C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1|
√
C　[对于A选项，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝
－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误；
对于B选项，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误；
对于C选项，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在
(0，＋∞)上单调递增，C选项正确；
对于D选项，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不是单调的，D选项错误．故选C．]
考点二　利用定义证明函数的单调性
[典例2]　判断函数f (x)＝，x∈(－2，＋∞)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
[解]　函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增．
证明如下：f (x)＝＝＝1－，
x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，x2＋2>0，x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)故函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增．
通性通法：用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”．
考点三　求函数的单调区间
[典例3]　函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是______________．
[－1，2]，[5，＋∞)　[函数y＝|－x2＋4x＋5|＝
由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5，
函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．]
[－1，2]，[5，＋∞)
[母题探究]
1．(综合变式)函数y＝的单调递减区间为________．
[2，5]　[函数y＝的定义域需要满足－x2＋4x＋5≥0，解得x∈[－1，5]，因为t＝－x2＋4x＋5在[2，＋∞)上单调递减，所以y＝在[2，5]上单调递减．]
[2，5]
2．(综合变式)函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为__________ __________．
(－∞，－2]和[0，2]　[f (x)＝
即f (x)＝
画出函数的图象如图所示，
可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为
(－∞，－2]和[0，2]．]
(－∞，－2]
和[0，2]
易错提醒：(1)求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域．
(2)单调区间只能用区间表示．
(3)若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
1．(链接考点一)(2025·重庆期末)下列函数在定义域内是减函数的是(　　)
A．f (x)＝x B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x2
√
C　[ f (x)＝x在R上单调递增；
f (x)＝在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递减，在定义域内不单调递减；
f (x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，在定义域内不单调递减；
函数t＝1－2x在R上为减函数，t∈R，函数y＝在R上为增函数，
所以函数f (x)＝在定义域R上为减函数．
故选C．]
2．(链接考点三)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A． B．
C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞)
√
B　[g(x)＝x|x－1|＋1＝画出函数图象如图所示．
根据图象知函数g(x)的单调递减区间
为故选B．]
3．(链接考点二)(湘教版必修第一册P81例2节选)证明函数f (x)＝x＋(x>0)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．
[证明]　①设x1和x2是区间(0，1]上任意两个实数，且x1由01，
于是k＝1－<0，f (x2)－f (x1)＜0，
所以函数f (x)在区间(0，1]上单调递减．
②设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1由x2>x1≥1，得x1x2>1，<1，
于是k＝1－>0，f (x2)－f (x1)＞0，
所以函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
一、单项选择题
1．(2025·杭州期中)下列函数中，在(0，1)内单调递减的是(　　)
A．y＝x-1 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
课时作业(八)　函数的单调性
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A　[对于A，y＝x-1＝是反比例函数，在(0，1)内单调递减，符合题意；
对于B，y＝＝是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意；
对于C，y＝x2是二次函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意；
对于D，y＝x3是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意．
故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
2．函数f (x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(10，＋∞)
C．(5，10) D．(5，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
B　[由x2－10x＞0，得x＜0或x＞10．
∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，
且函数y＝x2－10x在(10，＋∞)上单调递增，
∴f (x)的单调递减区间为(10，＋∞)．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
3．(2025·长沙期末)设函数f (x)的定义域为R，则“ x∈R，f (x＋1)＞f (x)”是“函数f (x)为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
B　[充分性：因为 x∈R，f (x＋1)＞f (x)成立，但并不能保证f (x)为R上的连续函数，
所以f (x)不一定为增函数，
如f (x)＝
故充分性不成立；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
必要性：当f (x)为增函数时，因为x＋1＞x，
所以f (x＋1)＞f (x)一定成立，
故必要性成立．
所以“ x∈R，f (x＋1)＞f (x)”是“函数f (x)为增函数”的必要不充分条件．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
二、多项选择题　
4．已知f (x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判定f (x)是增函数的是(　　)
A．f (x)在[1，＋∞)上单调递增
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f (x1)≥f (x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f (x1)－f (x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
CD　[对于选项A，一个函数在定义域内的某个子区间上单调递增，这个函数在定义域上不一定是增函数，A不符合题意；对于选项B，当f (x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f (x1)＝f (x2)，f (x)不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2 <0，都有f (x1)－f (x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f (x1)－f (x2) >0，则函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选CD．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
5．(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是(　　)
A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝
C．f (x)＝1＋ D．f (x)＝－x－
√
题号
1
3
5
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CD　[对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，则函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
对于A，f (x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知A不满足题意；
对于B，f (x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意；
对于C，f (x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意；
对于D，f (x)＝－x－，由对勾函数的图象和性质可知D满足题意．故选CD．]
题号
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三、填空题
6．设函数f (x)＝若函数y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是____________________．
(－∞，1]∪[4，＋∞)
题号
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(－∞，1]∪[4，＋∞)　[作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4．]
题号
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7．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是__________________________．
(－∞，0)，(1，＋∞)
题号
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(－∞，0)，(1，＋∞)　[由题意知g(x)＝
该函数图象如图所示，
由图象知，函数g(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．]
题号
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四、解答题
8．设f (x)是定义在R上的函数， m，n∈R，f (m＋n)＝f (m)·f (n)
( f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，0(1) f (0)＝1；
(2)当x∈R时，恒有f (x)>0；
(3) f (x)在R上是减函数．
题号
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[证明]　(1)根据题意，令m＝0，
可得f (0＋n)＝f (0)·f (n)．
∵f (n)≠0，∴f (0)＝1．
(2)由题意知，当x>0时，0当x＝0时，f (0)＝1>0；
当x<0时，－x>0，∴0∵f (x＋(－x))＝f (x)·f (－x)，
∴f (x)·f (－x)＝1，∴f (x)＝>0．
故当x∈R时，恒有f (x)>0．
题号
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7
(3) x1，x2∈R，且x1则f (x2)＝f (x1＋(x2－x1))，
∴f (x2)－f (x1)＝f (x1＋(x2－x1))－f (x1)
＝f (x1)·f (x2－x1)－f (x1)
＝f (x1)[f (x2－x1)－1]．
由(2)知f (x1)>0，
又∵x2－x1>0，∴0故f (x2)－f (x1)<0，
故f (x)在R上是减函数．
谢谢！课时作业(八)　函数的单调性
一、单项选择题
1．(2025·杭州期中)下列函数中，在(0，1)内单调递减的是(　　)
A．y＝x-1 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
2．函数f (x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(10，＋∞)
C．(5，10) D．(5，＋∞)
3．(2025·长沙期末)设函数f (x)的定义域为R，则“ x∈R，f (x＋1)＞f (x)”是“函数f (x)为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题　
4．已知f (x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判定f (x)是增函数的是(　　)
A．f (x)在[1，＋∞)上单调递增
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f (x1)≥f (x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f (x1)－f (x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
5．(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是(　　)
A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝
C．f (x)＝1＋ D．f (x)＝－x－
三、填空题
6．设函数f (x)＝若函数y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
7．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________．
四、解答题
8．设f (x)是定义在R上的函数， m，n∈R，f (m＋n)＝f (m)·f (n)(f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，0(1)f (0)＝1；
(2)当x∈R时，恒有f (x)>0；
(3)f (x)在R上是减函数．
课时作业(八)
1．A　[对于A，y＝x-1＝是反比例函数，在(0，1)内单调递减，符合题意；
对于B，y＝＝是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意；
对于C，y＝x2是二次函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意；
对于D，y＝x3是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意．
故选A．]
2．B　[由x2－10x＞0，得x＜0或x＞10．
∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，
且函数y＝x2－10x在(10，＋∞)上单调递增，
∴f (x)的单调递减区间为(10，＋∞)．
故选B．]
3．B　[充分性：因为 x∈R，f (x＋1)＞f (x)成立，但并不能保证f (x)为R上的连续函数，
所以f (x)不一定为增函数，
如f (x)＝
故充分性不成立；
必要性：当f (x)为增函数时，因为x＋1＞x，
所以f (x＋1)＞f (x)一定成立，
故必要性成立．
所以“ x∈R，f (x＋1)＞f (x)”是“函数f (x)为增函数”的必要不充分条件．
故选B．]
4．CD　[对于选项A，一个函数在定义域内的某个子区间上单调递增，这个函数在定义域上不一定是增函数，A不符合题意；对于选项B，当f (x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f (x1)＝f (x2)，f (x)不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2 <0，都有f (x1)－f (x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f (x1)－f (x2)>0，则函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选CD．]
5．CD　[对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，则函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
对于A，f (x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知A不满足题意；
对于B，f (x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意；
对于C，f (x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意；
对于D，f (x)＝－x－，由对勾函数的图象和性质可知D满足题意．故选CD．]
6．(－∞，1]∪[4，＋∞)　[作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4．
]
7． (－∞，0)，(1，＋∞)　[由题意知g(x)＝
该函数图象如图所示，
由图象知，函数g(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．]
8．[证明]　(1)根据题意，令m＝0，
可得f (0＋n)＝f (0)·f (n)．
∵f (n)≠0，∴f (0)＝1．
(2)由题意知，当x>0时，0当x＝0时，f (0)＝1>0；
当x<0时，－x>0，∴0∵f (x＋(－x))＝f (x)·f (－x)，
∴f (x)·f (－x)＝1，∴f (x)＝>0．
故当x∈R时，恒有f (x)>0．
(3) x1，x2∈R，且x1则f (x2)＝f (x1＋(x2－x1))，
∴f (x2)－f (x1)＝f (x1＋(x2－x1))－f (x1)
＝f (x1)·f (x2－x1)－f (x1)
＝f (x1)[f (x2－x1)－1]．
由(2)知f (x1)>0，
又∵x2－x1>0，∴0故f (x2)－f (x1)<0，
故f (x)在R上是减函数．
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