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第9课时　函数的单调性的应用
[考试要求]　1．会利用函数的单调性比较函数值的大小、解函数不等式．2．会求函数的最值或值域．
知识点　函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 ① x∈D，都有_____________； ② x0∈D，使得______________ ① x∈D，都有_____________ ； ② x0∈D，使得______________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
[常用结论]
1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
2．开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值．
1．(人教A版必修第一册P86习题3.2 T7改编)已知f (x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为________；f (x)min＝________．
2．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
3．(北师大版必修第一册P65习题2－3 A组T2(1))函数y＝x2＋1在区间[1，4]上的最大值为________，最小值为________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点一　比较函数值的大小
[典例1]　设f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y轴对称，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小关系是(　　)
A．f (－π)B．f (－2)C．f (－π)D．f (3)_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：比较函数值大小的关键是将各自变量的值转化到同一单调区间上．
考点二　解函数不等式
[典例2]　(2026·长沙模拟)已知f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
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易错提醒：求解函数不等式时，由单调性脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，还要注意函数的定义域．
考点三　函数的值域与最值
[典例3]　函数f (x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　)
A． B．[0，1]
C． D．
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[母题探究]
(综合变式)本例中若g(x)＝x＋＋1，求在[1，4]上的最大值和最小值．
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通性通法：函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f (x)在[a，b]上的最大值为f (a)，最小值为f (b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f (x)在[a，b]上的最大值为f (b)，最小值为f (a)．
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
考点四　求参数的值(范围)
[典例4]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]　　　　 B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
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[考题探源]
(北师大版必修第一册P73复习题二C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
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易错提醒：易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
[多维变迁]
(2025·濮阳市华龙区期中)若函数f (x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(－∞，2] D．(－∞，0)
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求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于与一元二次函数有关的函数求值域问题．
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
(3)数形结合法．
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．
[典例5]　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　)
A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6)
B．函数y＝的值域为R
C．函数y＝2x－的值域为
D．函数y＝的值域为[，＋∞)
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1．(链接考点一)已知定义域为R的函数f (x)， x1，x2∈R，x1≠x2，都有<0，则(　　)
A．f (3)>f (π)>f (2) B．f (2)＞f (3)＞f (π)
C．f (2)>f (π)>f (3) D．f (π)>f (2)>f (3)
2．(链接考点二)(2025·杭州期末)已知函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)＜f (a－3)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(1，2) D．(1，3)
3．(链接考点三)(人教A版必修第一册P81例5改编)若函数f (x)＝在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　)
A． B．2
C． D．
上单调递增，所以M＝f (4)＝2－＝，m＝f (1)＝0，因此M－m＝故选A．]
4．(链接考点四)(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数f (x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
第9课时　函数的单调性的应用
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点　f(x)≤M　f(x0)＝M　f(x)≥M　f(x0)＝M
链教材·夯基固本
1．　－15
2．－　－2　[可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－2．]
3.17　2　[因为y＝f(x)＝x2＋1在区间[1，4]上单调递增，
所以f(x)max＝f(4)＝17，f(x)min＝f(1)＝2．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　B　[因为f(x)的定义域为R，f(x)的图象关于y 轴对称，所以f(x) 是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，所以f(2)考点二
典例2　A　[因为f(x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f(x－1)所以故选A．]
考点三
典例3　C　[由y＝x在[1，4]上单调递增，
且y＝－在[1，4]上单调递增，
可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增，
又f(1)＝0，f(4)＝，
故f(x)在[1，4]上的值域为．]
母题探究
　解：由对勾函数的模型知g(x)＝x＋＋1
在[1，，4]上单调递增，
∴g(x)min＝g()＝2＋1．
又g(1)＝4，g(4)＝，
∴g(x)max＝g(4)＝，
∴g(x)在[1，4]上的最小值为2＋1，最大值为．
考点四
典例4　B　[因为函数f(x)在R 上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1．
综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B． ]
考题探源
　解：要使此分段函数f(x)在R上是减函数，需满足
解得0≤a≤，即实数a的取值范围是．
多维变迁
　B　[由y＝－x2＋ax－3a在[1，＋∞)上单调递减，可知≤1，即a≤2，由y＝2ax＋1在(－∞，1)上单调递减，可得2a<0，即a<0，又f(x)在R上单调递减，所以2a＋1≥－1－2a，解得a≥－．
故实数a的取值范围是．
故选B．]
微点突破4
典例5　ACD　[对于A，配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)；
对于B，分离常数法：y＝＝2＋≠0，y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；
对于C，换元法：设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2，
由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为；
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝在[1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝，
即函数的值域为[，＋∞)．
故选ACD．]
随堂·对点检测
1．B　[易知f(x)是R上的减函数，
又π>3>2，故f(π)2．A　[因为函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)所以1－a解得a>2．
故选A．]
3．A　[因为f(x)＝在[1，4]上单调递增，所以M＝f(4)＝2－，m＝f(1)＝0，因此M－m＝．故选A．]
4．(－∞，0]　[函数f(x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞) [a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．]
4 / 5(共62张PPT)
第二章　函数
第9课时　函数的单调性的应用
[考试要求]　1．会利用函数的单调性比较函数值的大小、解函数不等式．2．会求函数的最值或值域．
理法先行·题练固本
知识点　函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 ① x∈D，都有____________； ② x0∈D，使得_____________ ① x∈D，都有_____________ ；
② x0∈D，使得______________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
f (x)≤M
f (x0)＝M
f (x)≥M
f (x0)＝M
[常用结论]
1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
2．开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值．
1．(人教A版必修第一册P86习题3.2 T7改编)已知f (x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为________；f (x)min＝________．
　－15
2．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
－　－2　[可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以
f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2．]
－　
－2
3．(北师大版必修第一册P65习题2－3 A组T2(1))函数y＝x2＋1在区间[1，4]上的最大值为________，最小值为________．
17　2　[因为y＝f (x)＝x2＋1在区间[1，4]上单调递增，
所以f (x)max＝f (4)＝17，f (x)min＝f (1)＝2．]
17　
2　
考点深研·题型突破
考点一　比较函数值的大小
[典例1]　设f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y轴对称，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小关系是(　　)
A．f (－π)B．f (－2)C．f (－π)D．f (3)√
B　[因为f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y 轴对称，所以f (x) 是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)．又f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，所以f (2)易错提醒：比较函数值大小的关键是将各自变量的值转化到同一单调区间上．
考点二　解函数不等式
[典例2]　(2026·长沙模拟)已知f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[因为f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)，
所以则＜x≤
故选A．]
易错提醒：求解函数不等式时，由单调性脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，还要注意函数的定义域．
考点三　函数的值域与最值
[典例3]　函数f (x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　)
A． B．[0，1]
C． D．
√
C　[由y＝x在[1，4]上单调递增，
且y＝－在[1，4]上单调递增，
可得f (x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增，
又f (1)＝0，f (4)＝，
故f (x)在[1，4]上的值域为]
[母题探究]
(综合变式)本例中若g(x)＝x＋＋1，求在[1，4]上的最大值和最小值．
[解]　由对勾函数的模型知g(x)＝x＋＋1
在[1，]上单调递减，在[，4]上单调递增，
∴g(x)min＝g()＝2＋1．
又g(1)＝4，g(4)＝，
∴g(x)max＝g(4)＝，
∴g(x)在[1，4]上的最小值为2＋1，最大值为
通性通法：函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f (x)在[a，b]上的最大值为
f (a)，最小值为f (b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f (x)在[a，b]上的最大值为
f (b)，最小值为f (a)．
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
考点四　求参数的值(范围)
[典例4]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]　　　　 B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
√
B　[因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1．
综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B． ]
[考题探源]
(北师大版必修第一册P73复习题二C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
[解]　要使此分段函数f (x)在R上是减函数，需满足
解得0≤a≤，即实数a的取值范围是
易错提醒：易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
【教用·通性通法】
利用单调性求参数的范围(或值) 的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，求出参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[多维变迁]
(2025·濮阳市华龙区期中)若函数f (x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(－∞，2] D．(－∞，0)
√
B　[由y＝－x2＋ax－3a在[1，＋∞)上单调递减，可知≤1，即a≤2，由y＝2ax＋1在(－∞，1)上单调递减，可得2a＜0，即a＜0，又f (x)在R上单调递减，所以2a＋1≥－1－2a，解得a≥－
故实数a的取值范围是
故选B．]
【教用·备选题】
1．(2025·南宁月考)已知f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C．(1，＋∞) D．
√
D　[根据题意，f (x)＝在R上单调递增，
需满足＜a≤2，则实数a的取值范围为
故选D．]
2．若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
[1，2)　[f (x)＝＝＝1＋，定义域为(－∞，1) ∪(1，＋∞)．
∵f (x)在(a，＋∞)上单调递增，
∴解得1≤a<2．]
[1，2)
微点突破4　求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于与一元二次函数有关的函数求值域问题．
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
(3)数形结合法．
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．
[典例5]　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　)
A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6)
B．函数y＝的值域为R
C．函数y＝2x－的值域为
D．函数y＝的值域为[，＋∞)
√
√
√
ACD　[对于A，配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)；
对于B，分离常数法：y＝＝＝2＋，显然≠0，y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；
对于C，换元法：设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为；
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，
∴y＝在[1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝，
即函数的值域为[，＋∞)．故选ACD．]
1．(链接考点一)已知定义域为R的函数f (x)， x1，x2∈R，x1≠x2，都有<0，则(　　)
A．f (3)>f (π)>f (2) B．f (2)＞f (3)＞f (π)
C．f (2)>f (π)>f (3) D．f (π)>f (2)>f (3)
√
B　[易知f (x)是R上的减函数，
又π>3>2，故f (π)2．(链接考点二)(2025·杭州期末)已知函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)＜f (a－3)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(1，2) D．(1，3)
√
A　[因为函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)＜f (a－3)，
所以1－a＜a－3，
解得a＞2．
故选A．]
3．(链接考点三)(人教A版必修第一册P81例5改编)若函数f (x)＝在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　)
A． B．2
C． D．
√
A　[因为f (x)＝在[1，4]上单调递增，所以M＝f (4)＝2－＝，m＝f (1)＝0，因此M－m＝故选A．]
4．(链接考点四)(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数f (x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______________．
(－∞，0]　[函数f (x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f (x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞) [a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．]
(－∞，0]　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．已知f (x)是偶函数，f (x)在[1，3]上单调递增，则f (1)，f (－2)，
f (－3)的大小关系为(　　)
A．f (1)>f (－2)>f (－3)
B．f (－2)>f (－3)>f (1)
C．f (－3)>f (1)>f (－2)
D．f (－3)>f (－2)>f (1)
课时作业(九)　函数的单调性的应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为f (x)是偶函数，
所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)．
因为f (x)在[1，3]上单调递增，
所以f (3)>f (2)>f (1)，
所以f (－3)>f (－2)>f (1)．]
√
2．(苏教版必修第一册P122习题5.3 T4改编)定义在[－2，2]上的函数
f (x)满足(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0(x1≠x2)，且f (x)>f (2x－1)，则实数x的取值范围为(　　)
A．(－∞，1) B．
C． D．[－1，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意知，f (x)在[－2，2]上单调递增，则f (x)>f (2x－1) 解得－≤x<1．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(北师大版必修第一册P95复习题三B组T3改编)已知函数f (x)＝若f (x)存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，0)
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[当x≥a时，f (x)＝2x，f (x)单调递增，在[a，＋∞)上的最小值为2a，当x则由已知得－a≥2a，即2a＋a≤0，设h(a)＝2a＋a，易知该函数为增函数，且h(－1)＝2-1－＝0，从而a≤－1．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·清远期末)已知函数f (x)＝若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．(0，2]
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[根据题意，函数f (x)是定义域为R的减函数，
必有即≤a＜2，
故实数a的取值范围是
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·鞍山市立山区期末)min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f (x)＝min{2＋x，14－x，2x}(x≥0)的最大值为
(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[画出函数y＝2x，y＝2＋x，y＝14－x的图象如图所示，
由图象可知，当0≤x≤2时，f (x)＝2x，
当2＜x≤6时，f (x)＝2＋x，
当x＞6时，f (x)＝14－x，
当x＝6时，f (x)取到最大值，f (6)＝8．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·伊春调研)已知函数f (x)在R上为增函数，若不等式f (－4x＋a)>f (－3－x2)， x∈(3，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为
(　　)
A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意，得－4x＋a>－3－x2， x∈(3，＋∞)恒成立，
则a>－x2＋4x－3， x∈(3，＋∞)恒成立．
设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
因为当x>3时，g(x)< g(3) ＝ 0，
所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．定义min{a，b}＝设f (x)＝min{|x|，x＋1}，则(　　)
A．f (x)有最大值，无最小值　
B．当x≤0时，f (x)的最大值为
C．不等式f (x)≤的解集为
D．f (x)的单调递增区间为(0，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[作出函数f (x)＝min{|x|，x＋1}的图象，如图实线部分，
对于A，根据图象，可得f (x)无最大值，无最小值，故A错误；
对于B，根据图象得，当x≤0时，f (x)的最大值为，故B正确；
对于C，由|x|≤，解得－≤x≤，结合图象，
得不等式f (x)≤的解集为，故C正确；
对于D，由图象得，f (x)的单调递增区间为，
[0，＋∞)，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．已知函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f (x)在(－∞，－1]上单调递增
B．函数y＝f (x)在[－1，0]上单调递减
C．当x＝0时，函数y＝f (x)有最小值
D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[因为f (x)＝－x2＋2|x|＋1，
所以f (x)＝
作出函数f (x)的图象如图所示，
由图象可知，f (x)在(－∞，－1]上单调递增，
在[－1，0]上单调递减，故A，B正确；
由图象可知，当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．已知函数f (x)满足对任意x∈R，都有f (x＋3)＝f (1－x)，且对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则下列结论正确的是
(　　)
A．f (－a2＋a＋1)≤f
B．对任意x∈R，f (x)≤f (2)
C．f (0)＞f (3)
D．若f (m)＞f (－1)，则－1＜m＜5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[对任意x∈R，都有f (x＋3)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称．
又对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，所以函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增，故函数f (x)在x＝2处取最大值，B正确；f (0)＝f (4)＜f (3)，C错误；－a2＋a＋1＝－＋，所以f (－a2＋a＋1)≤f ，A正确；若f (m)＞f (－1)，则|m－2|＜|2－(－1)|，解得－1＜m＜5，D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(人教B版必修第一册P107练习B T1)已知函数f (x)的定义域为[－1，5]，且在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，那么下列说法中，一定正确的是____________．(填序号)
(1)f (0)(2)f (3)>f (2)；
(3)f (x)在区间[－1，5]上有最大值，而且f (2)是最大值；
(4)f (0)与f (3)的大小关系不确定；
(5)f (x)在区间[－1，5]上有最小值；
(6)f (x)在区间[－1，5]上的最小值是f (5)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)(3)(4)(5)
(1)(3)(4)(5)　[∵f (x)在区间[－1，2]上单调递增，
∴f (0)∵函数f (x)在区间[2，5]上单调递减，
∴f (3)∵函数f (x)在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，∴函数f (x)在区间[－1，5]上有最大值，也有最小值，且f (2)是最大值，f (－1)或f (5)是最小值，故(3)(5)正确，(6)不正确，而f (0)与f (3)的大小不确定，故(4)正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2025·上海松江区三模)已知函数f (x)＝则f (x)的值域为____________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(0，＋∞)
(0，＋∞)　[因为f (x)＝
当x≥1时，f (x)＝x2≥1，
当0＜x＜1时，f (x)＝x＋－5单调递减，
故f (x)＞0，
则f (x)的值域为(0，＋∞)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．函数f (x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f (x1) ＋x2f (x2)＞x1f (x2)＋x2f (x1)，下列结论正确的是_______．(填序号)
(1)函数f (x)是减函数；
(2)f (－5)＜f (0)＜f (1)；
(3)f (0)＝0；
(4)不等式f (2x－1)＜f (3－x)的解集为
(2)(4)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)(4)　[由x1f (x1)＋x2f (x2)＞x1f (x2)＋x2f (x1)，
得(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＞0，
因此f (x)是增函数，(1)错误；
由－5＜0＜1，得f (－5)＜f (0)＜f (1)，(2)正确；
不一定有f (0)＝0，如f (x)＝2x在R上为增函数，f (0)＝1，(3)错误；
由f (2x－1)＜f (3－x)，得2x－1＜3－x，解得x＜，(4)正确．]
谢谢！课时作业(九)　函数的单调性的应用
一、单项选择题
1．已知f (x)是偶函数，f (x)在[1，3]上单调递增，则f (1)，f (－2)，f (－3)的大小关系为(　　)
A．f (1)>f (－2)>f (－3)
B．f (－2)>f (－3)>f (1)
C．f (－3)>f (1)>f (－2)
D．f (－3)>f (－2)>f (1)
2．(苏教版必修第一册P122习题5.3 T4改编)定义在[－2，2]上的函数f (x)满足(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0(x1≠x2)，且f (x)>f (2x－1)，则实数x的取值范围为(　　)
A．(－∞，1) B．
C． D．[－1，1)
3．(北师大版必修第一册P95复习题三B组T3改编)已知函数f (x)＝若f (x)存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，0)
C． D．
4．(2025·清远期末)已知函数f (x)＝若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．(0，2]
C． D．
5．(2025·鞍山市立山区期末)min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f (x)＝min{2＋x，14－x，2x}(x≥0)的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
6．(2025·伊春调研)已知函数f (x)在R上为增函数，若不等式f (－4x＋a)>f (－3－x2)， x∈(3，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)
二、多项选择题
7．定义min{a，b}＝设f (x)＝min{|x|，x＋1}，则(　　)
A．f (x)有最大值，无最小值　
B．当x≤0时，f (x)的最大值为
C．不等式f (x)≤的解集为
D．f (x)的单调递增区间为(0，1)
8．已知函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f (x)在(－∞，－1]上单调递增
B．函数y＝f (x)在[－1，0]上单调递减
C．当x＝0时，函数y＝f (x)有最小值
D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值
9．已知函数f (x)满足对任意x∈R，都有f (x＋3)＝f (1－x)，且对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则下列结论正确的是(　　)
A．f (－a2＋a＋1)≤f
B．对任意x∈R，f (x)≤f (2)
C．f (0)＞f (3)
D．若f (m)＞f (－1)，则－1＜m＜5
三、填空题
10．(人教B版必修第一册P107练习B T1)已知函数f (x)的定义域为[－1，5]，且在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，那么下列说法中，一定正确的是________．(填序号)
(1)f (0)(2)f (3)>f (2)；
(3)f (x)在区间[－1，5]上有最大值，而且f (2)是最大值；
(4)f (0)与f (3)的大小关系不确定；
(5)f (x)在区间[－1，5]上有最小值；
(6)f (x)在区间[－1，5]上的最小值是f (5)．
11．(2025·上海松江区三模)已知函数f (x)＝则f (x)的值域为________．
12．函数f (x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f (x1)＋x2f (x2)＞x1f (x2)＋x2f (x1)，下列结论正确的是________．(填序号)
(1)函数f (x)是减函数；
(2)f (－5)＜f (0)＜f (1)；
(3)f (0)＝0；
(4)不等式f (2x－1)＜f (3－x)的解集为
课时作业(九)
1．D　[因为f (x)是偶函数，
所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)．
因为f (x)在[1，3]上单调递增，
所以f (3)>f (2)>f (1)，
所以f (－3)>f (－2)>f (1)．]
2．C　[由题意知，f (x)在[－2，2]上单调递增，则f (x)>f (2x－1) 解得－≤x<1．故选C．]
3．A　[当x≥a时，f (x)＝2x，f (x)单调递增，在[a，＋∞)上的最小值为2a，当x则由已知得－a≥2a，即2a＋a≤0，设h(a)＝2a＋a，易知该函数为增函数，且h(－1)＝2-1－＝0，从而a≤－1．故选A．]
4．D　[根据题意，函数f (x)是定义域为R的减函数，
必有即≤a＜2，
故实数a的取值范围是
故选D．]
5．D　[画出函数y＝2x，y＝2＋x，y＝14－x的图象如图所示，
由图象可知，当0≤x≤2时，f (x)＝2x，
当2＜x≤6时，f (x)＝2＋x，
当x＞6时，f (x)＝14－x，
当x＝6时，f (x)取到最大值，f (6)＝8．
故选D．]
6．C　[由题意，得－4x＋a>－3－x2， x∈(3，＋∞)恒成立，
则a>－x2＋4x－3， x∈(3，＋∞)恒成立．
设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
因为当x>3时，g(x)< g(3) ＝ 0，
所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选C．]
7．BC　[
作出函数f (x)＝min{|x|，x＋1}的图象，如图实线部分，
对于A，根据图象，可得f (x)无最大值，无最小值，故A错误；
对于B，根据图象得，当x≤0时，f (x)的最大值为，故B正确；
对于C，由|x|≤，解得－≤x≤，结合图象，
得不等式f (x)≤的解集为，故C正确；
对于D，由图象得，f (x)的单调递增区间为，[0，＋∞)，故D错误．
故选BC．]
8．ABD　[因为f (x)＝－x2＋2|x|＋1，
所以f (x)＝
作出函数f (x)的图象如图所示，
由图象可知，f (x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故A，B正确；
由图象可知，当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD．]
9．ABD　[对任意x∈R，都有f (x＋3)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称．
又对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，所以函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增，故函数f (x)在x＝2处取最大值，B正确；f (0)＝f (4)＜f (3)，C错误；－a2＋a＋1＝－＋，所以f (－a2＋a＋1)≤f，A正确；若f (m)＞f (－1)，则|m－2|＜|2－(－1)|，解得－1＜m＜5，D正确．故选ABD．]
10．(1)(3)(4)(5)　[∵f (x)在区间[－1，2]上单调递增，
∴f (0)∵函数f (x)在区间[2，5]上单调递减，
∴f (3)∵函数f (x)在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，∴函数f (x)在区间[－1，5]上有最大值，也有最小值，且f (2)是最大值，f (－1)或f (5)是最小值，故(3)(5)正确，(6)不正确，而f (0)与f (3)的大小不确定，故(4)正确．]
11．(0，＋∞)　[因为f (x)＝
当x≥1时，f (x)＝x2≥1，
当0＜x＜1时，f (x)＝x＋－5单调递减，
故f (x)＞0，
则f (x)的值域为(0，＋∞)．]
12．(2)(4)　[由x1f (x1)＋x2f (x2)＞x1f (x2)＋x2f (x1)，
得(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＞0，
因此f (x)是增函数，(1)错误；
由－5＜0＜1，得f (－5)＜f (0)＜f (1)，(2)正确；
不一定有f (0)＝0，如f (x)＝2x在R上为增函数，f (0)＝1，(3)错误；
由f (2x－1)＜f (3－x)，得2x－1＜3－x，解得x＜，(4)正确．]
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