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广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的模长是( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角的对边分别为若，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则它的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，，是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图，已知棱长为的正方体中，二面角的大小是( )
A. B. C. D.
7.已知向量与的夹角为，则向量与上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论中错误的是( )
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 的共轭复数为
10.如图所示，在正方体--中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A. 直线与是异面直线 B. 直线与是共面直线
C. 直线与是异面直线 D. 直线与的夹角为
11.在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 外接圆的面积为
C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，且，则 ．
13.已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是和，侧面积是，则该圆台的体积为 ．
14.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面若，则直线与平面所成的角的大小为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求．
16.本小题分
已知，求与垂直的单位向量的坐标．
已知向量，，当为何值时，与垂直？
已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？
17.本小题分
已知，是两个单位向量，其夹角为，，．
求，；
求与的夹角．
18.本小题分
如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形．
求证：平面平面；
若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离．
在的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由．
19.本小题分
如图，在直三棱柱 中， ，是边的中点， ．
求直三棱柱 的体积；
求证： 面 ．
一只小虫从点 沿直三棱柱表面爬到点，求小虫爬行的最短距离．
参考答案
1.
2.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由余弦定理，，
，
．
由正弦定理，，
由第问，，
．
16.解：设与垂直的单位向量为．
则解得或
所以或．
因为，，所以，
因为与垂直，所以，
所以，即，所以．
与互相垂直的充要条件是，
即．
因为，，所以．
解得也就是说，当时，与互相垂直．

17.解：因为，是两个单位向量，其夹角为，
则，，，
又，
所以，
同理，
所以；
由题得，，
设与的夹角为，
则，
因为，所以，
则向量与的夹角为．

18.解：证明：延长，交于点，
由为等边三角形，得是的中心，
则，易知平面，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
连接，作于，由知平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
故到平面的距离为的长．
易知，，
又，所以，
所以，
又，所以，
故，
所以点到平面的距离为．
存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上，
由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图：
设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知，
则，解得，
所以球表面积．

19.解：在直三棱柱 中，由 ，得 ，
由 ，得 ， ，
所以直三棱柱 的体积 ．
连接 ，连接 ，
由矩形 ，得 是 的中点，而是边的中点，
则 ，又 平面上 ， 平面 ，
所以 平面 ．
当小虫从点 沿 爬到点，把矩形 与 置于同一平面内，如图，
连接 ，过 作 于 ，交 于点 ，
由 ，得 ， ， ，
，则 ，
因此 ；
当小虫从点 沿正方形 爬到点，
把正方形 与 置于同一平面内，
或把正方形 与矩形 置于同一平面内，如图，
在左图中，取 中点 ，连 ，显然 共线，
则 ， ，
而 ，因此 ，
在右图中， ， ；
当小虫从点 沿矩形 爬到点，
把矩形 与 置于同一平面内，
或把矩形 与矩形 置于同一平面内，如图，
在左图中，取 中点 ，连 ，显然 共线，
则 ， ，
而 ，因此 ，
在右图中， ， ，
显然 ，
所以小虫爬行的最短距离 ．

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