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第11课时　函数的对称性及应用
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．
知识点1　奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于_____对称．
(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线______ 对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点__________．
知识点2　函数的轴对称和中心对称
(1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x) f (2a－x)＝f (x)．
(2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)或f (x)＋f (2a－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于点__________ 对称．
(3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为
知识点3　两个函数图象的对称
(1)函数y＝f (x)的图象与y＝f (－x)的图象关于_____对称；
(2)函数y＝f (x)的图象与y＝－f (x)的图象关于_____对称；
(3)函数y＝f (x)的图象与y＝－f (－x)的图象关于______对称．
(4)函数y＝f (a－x)的图象与y＝f (x－b)的图象关于直线_____对称．
1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
2．(人教B版必修第一册P117习题3－1 C T3)函数f (x)＝的图象关于点________对称．
3．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
考点一　函数的对称性
　自对称中的轴对称
[典例1]　(多选)已知函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，则下列结论成立的是(　　)
A．f (x＋1)为偶函数
B．f (1＋x)＝f (1－x)
C．f (1＋x)＋f (1－x)＝0
D．f (1)＝0
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　自对称中的中心对称
[典例2]　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．函数f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称
B．函数f (x)满足f (2x－1)为奇函数，则函数f (x)的图象关于点(－1，0)中心对称
C．若函数y＝f (x)过定点(0，1)，则函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2)
D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　两个函数图象的对称
[典例3]　函数y＝2x-1与y＝21-x的图象(　　)
A．关于y轴对称
B．关于直线x＝1对称
C．关于直线x＝－1对称
D．关于直线x＝2对称
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思维建模：函数对称性模型
第1步　找关系
处理函数得到f (a＋mx)与f (b－mx)的等量关系式．
第2步　定对称
(1)轴对称：若f (a＋mx)＝f (b－mx)，则对称轴为直线x＝；
(2)中心对称：若f (a＋mx)＋f (b－mx)＝c，则对称中心为
考点二　奇偶性与对称性
[典例4]　(多选)(2025·南京江宁区期末)已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，且f (x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f (－x－1)＝－f (x＋1)
B．f (x)的图象关于点(1，0)中心对称
C．函数f (x)的周期为2
D．f (2 025)＝0
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可以利用图象变换关系得出函数图象的对称性．
考点三　对称性、周期性与单调性
[典例5]　(多选)(2025·杭州调考)已知定义域为R的函数f (x)在(－1，0]上单调递增，f (1＋x)＝f (1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则 (　　)
A．f (0)＝f (－2)
B．f (x)的周期T＝2
C．f (x)在(2，3)上单调递减
D．f (x)满足f (2 025)>f (2 026)>f (2 027)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．
1．(链接考点一)(2026·乌鲁木齐模拟)若函数f (x)＝的图象关于点(1，2)对称，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．(链接考点二)(多选)(2026·承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
3．(链接考点三)若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
B．函数f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．在区间(2，3)内，f (x)单调递减
D．f>f
4．(链接考点二)若偶函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (－1)＝________．
第11课时　函数的对称性及应用
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)原点　y轴　(2)x＝a　(a，0)
知识点2　(2)(a，0)
知识点3　(1)y轴　(2)x轴　(3)原点
(4)x＝
链教材·夯基固本
1．C　[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，
所以函数f(x)的图象关于原点对称．故选C．]
2．(1，0)　[将y＝的图象向右平移1个单位长度，得到y＝的图象，所以f(x)＝的图象的对称中心是(1，0)．]
3．B　[因为y＝＝3-x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一
考向1　典例1　AB　[由于y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x＋1)为偶函数，故A，B选项正确，C选项错误；如f(x)＝(x－1)2＋1，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，但f(1)＝1≠0，故D选项错误．故选AB．]
考向2　典例2　ABC　[对于A，f(x)＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确；
对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，B正确；
对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确；
对于D，函数y＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，
所以
所以b＋c＝4，D不正确．故选ABC．]
考向3　典例3　B　[设y＝f(x)＝2x-1，y＝g(x)＝21-x，显然g(x)＝2(2-x)-1＝f(2－x)，故y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B．]
考点二
典例4　BD　[因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
又f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0，
因为A选项中，f(－x－1)＝－f(x＋1) f(－x)＝－f(x)，而f(－x)＝f(x)，所以A选项错误；
所以f(－x)＋f(x＋2)＝0，f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(1)＝0，所以B选项正确；
所以f(x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，
所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以C选项错误；
所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，所以D选项正确．
故选BD．]
考点三
典例5　AC　[由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，所以f(0)＝f(2)，
又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x)．
因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，
即f(2＋x)＝－f(2－x)，
故f(4＋x)＝－f(－x)，
所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，
即－f(x)＝f(2＋x)，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误．
因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，
又f(x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f(x)在[0，1)上单调递增，
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)在(1，2]上单调递减，
则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确．
根据f(x)的周期为4，可得f(2 025)＝f(1)，f(2 026)＝f(2)，f(2 027)＝f(3)，
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，
即f(2 025)＝f(1)，f(2 026)＝f(0)，
f(2 027)＝f(－1)，
由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，
若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立，故D错误．故选AC．]
随堂·对点检测
1．D　[法一：f(x)＝＝a＋的图象关于点(1，2)对称，则f(x)＋f(2－x)＝4，即a＋＋a＋＝4，解得a＝2．故选D．
法二：f(x)＝＝a＋，
可知f(x)的图象关于点(1，a)对称，
又f(x)的图象关于点(1，2)对称，
则a＝2．故选D．]
2．ACD　[因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以T＝4，故C正确；
因为T＝4且f(x)为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD．]
3．C　[f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，
即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)对称，B错误；
∵f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，A错误；
根据题意可得，f(x)在(0，1)上单调递增，
∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，关于点(2，0)对称，则f(x)在(2，3)内单调递减，C正确；
∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，
则f＝f4.5　[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于直线x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，
∴f(－1)＝5．]
4 / 4(共61张PPT)
第二章　函数
第11课时　函数的对称性及应用
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．
理法先行·题练固本
知识点1　奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于_____对称．
(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线______ 对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点__________．
原点
y轴
x＝a
(a，0)
知识点2　函数的轴对称和中心对称
(1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x)
f (2a－x)＝f (x)．
(2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)或f (x)＋f (2a－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于点__________ 对称．
(3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为
(a，0)
知识点3　两个函数图象的对称
(1)函数y＝f (x)的图象与y＝f (－x)的图象关于_____对称；
(2)函数y＝f (x)的图象与y＝－f (x)的图象关于_____对称；
(3)函数y＝f (x)的图象与y＝－f (－x)的图象关于______对称．
(4)函数y＝f (a－x)的图象与y＝f (x－b)的图象关于直线_________对称．
y轴
x轴
原点
x＝
【教用·常用结论】
对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f (x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|；
(2)若函数f (x)的图象关于两个不同点(a，0)和(b，0)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|；
(3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|．
1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于
(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
√
C　[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，
所以函数f (x)的图象关于原点对称．故选C．]
2．(人教B版必修第一册P117习题3－1 C T3)函数f (x)＝的图象关于点________对称．
(1，0)　[将y＝的图象向右平移1个单位长度，得到y＝的图象，所以f (x)＝的图象的对称中心是(1，0)．]
(1，0)
3．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
√
B　[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一　函数的对称性
考向1　自对称中的轴对称
[典例1]　(多选)已知函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，则下列结论成立的是(　　)
A．f (x＋1)为偶函数
B．f (1＋x)＝f (1－x)
C．f (1＋x)＋f (1－x)＝0
D．f (1)＝0
√
√
AB　[由于y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，则f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (x＋1)为偶函数，故A，B选项正确，C选项错误；如f (x)＝(x－1)2＋1，函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，但f (1)＝1≠0，故D选项错误．故选AB．]
考向2　自对称中的中心对称
[典例2]　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．函数f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称
B．函数f (x)满足f (2x－1)为奇函数，则函数f (x)的图象关于点(－1，0)中心对称
C．若函数y＝f (x)过定点(0，1)，则函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2)
D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2
√
√
√
ABC　[对于A，f (x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝
－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确；
对于B，因为f (2x－1)为奇函数，所以f (2x－1)＝－f (－2x－1)，所以f (x－1)＝－f (－x－1)，
所以f (x)＝－f (－x－2)，所以函数f (x)的图象关于点(－1，0)中心对称，B正确；
对于C，函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x－1)＋1的图象，由于y＝f (x)过定点(0，1)，故函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2)，C正确；
对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，
所以解得
所以b＋c＝4，D不正确．故选ABC．]
考向3　两个函数图象的对称
[典例3]　函数y＝2x-1与y＝21-x的图象(　　)
A．关于y轴对称
B．关于直线x＝1对称
C．关于直线x＝－1对称
D．关于直线x＝2对称
√
B　[设y＝f (x)＝2x-1，y＝g(x)＝21-x，显然g(x)＝2(2-x)-1＝f (2－x)，故y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B．]
思维建模：函数对称性模型
第1步　找关系
处理函数得到f (a＋mx)与f (b－mx)的等量关系式．
第2步　定对称
(1)轴对称：若f (a＋mx)＝f (b－mx)，则对称轴为直线x＝；
(2)中心对称：若f (a＋mx)＋f (b－mx)＝c，则对称中心为
【教用·备选题】
1．(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3．
证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
[证明]　法一：f (2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3
＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a
＝－f (x)＋2a，
故曲线y＝f (x)关于点(1，a)中心对称．
法二：∵f (x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)，
∴f (x＋1)＝ln ＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1)．
令g(x)＝f (x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1)，
则g(－x)＝ln －ax－bx3＝－ln －ax－bx3＝－g(x)，∴g(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称．
又∵f (x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到，
∴曲线y＝f (x)是中心对称图形．
2．(2023·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝ln (1＋x)，是否存在实数a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称？若存在，求实数a，b的值；若不存在，说明理由．
[解]　假设存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f＝(x＋a)ln
＝(x＋a)ln ，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)·ln ，于是得
当a＝，b＝－时，g(x)＝ln ，g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝·
ln ＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝
－
考点二　奇偶性与对称性
[典例4]　(多选)(2025·南京江宁区期末)已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，且f (x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f (－x－1)＝－f (x＋1)
B．f (x)的图象关于点(1，0)中心对称
C．函数f (x)的周期为2
D．f (2 025)＝0
√
√
BD　[因为函数f (x)是定义域为R的偶函数，
所以f (－x)＝f (x)，
又f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＋f (x＋1)＝0，因为A选项中，
f (－x－1)＝－f (x＋1) f (－x)＝－f (x)，而f (－x)＝f (x)，所以A选项错误；
所以f (－x)＋f (x＋2)＝0，f (x)的图象关于点(1，0)对称，且f (1)＝0，所以B选项正确；
所以f (x)＋f (x＋2)＝0，所以f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，所以f (x＋4)＝
f (x)，所以f (x)的周期为4，所以C选项错误；
所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝0，所以D选项正确．故选BD．]
通性通法：解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可以利用图象变换关系得出函数图象的对称性．
【教用·备选题】
(多选)(2025·长沙雨花区月考)已知定义域为R的函数f (x)满足f (－x)＋f (x)＝0，且f (1－x)＝f (1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　)
A．f (x＋2)＝f (x)
B．函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．函数y＝f (x＋1)是偶函数
D．f (2－x)＝f (x－1)
√
√
BC　[对于A选项，因为f (－x)＋f (x)＝0，且f (1－x)＝f (1＋x)，则f (1－(1＋x))＝f (1＋(1＋x))，即f (x＋2)＝－f (x)，A错误；
对于B选项，因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
因为f (－x)＋f (x)＝0，所以f (－(2＋x))＋f (2＋x)＝0，
即f (2＋x)＝－f (－2－x)＝－f (2－x)，即f (2＋x)＋f (2－x)＝0，
故函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，B正确；
对于C选项，因为f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数y＝f (x＋1)是偶函数，C正确；
对于D选项，因为f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (1－(x－1))＝f (1＋(x－1))，即f (2－x)＝f (x)≠f (x－1)，D错误．故选BC．]
考点三　对称性、周期性与单调性
[典例5]　(多选)(2025·杭州调考)已知定义域为R的函数f (x)在(－1，0]上单调递增，f (1＋x)＝f (1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则
(　　)
A．f (0)＝f (－2)
B．f (x)的周期T＝2
C．f (x)在(2，3)上单调递减
D．f (x)满足f (2 025)>f (2 026)>f (2 027)
√
√
AC　[由f (1＋x)＝f (1－x)，可得f (x)图象的对称轴方程为x＝1，所以f (0)＝f (2)，
又由f (1＋x)＝f (1－x)，
可知f (2＋x)＝f (－x)．
因为函数f (x)的图象关于点(2，0)对称，
即f (2＋x)＝－f (2－x)，
故f (4＋x)＝－f (－x)，
所以－f (2＋x)＝f (4＋x)，即－f (x)＝f (2＋x)，
所以f (x)＝f (x＋4)，所以f (x)的周期为4，
所以f (－2)＝f (2)，所以f (0)＝f (－2)，故A正确，B错误．
因为f (x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f (x)在(3，4]上单调递增，
又f (x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f (x)在[0，1)上单调递增，
因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f (x)在(1，2]上单调递减，
则函数f (x)在(2，3)上单调递减，故C正确．
根据f (x)的周期为4，可得f (2 025)＝f (1)，f (2 026)＝f (2)，f (2 027)＝f (3)，
因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f (2)＝f (0)且f (3)＝f (－1)，
即f (2 025)＝f (1)，f (2 026)＝f (0)，
f (2 027)＝f (－1)，
由C选项的分析可知，函数f (x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，
若f (－1)＝f (1)＝0，则f (2 025)>f (2 026)>f (2 027)不成立，故D错误．故选AC．]
通性通法：解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．
1．(链接考点一)(2026·乌鲁木齐模拟)若函数f (x)＝的图象关于点(1，2)对称，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
√
D　[法一：f (x)＝＝a＋的图象关于点(1，2)对称，则f (x)＋
f (2－x)＝4，即a＋＋a＋＝4，解得a＝2．故选D．
法二：f (x)＝＝a＋，
可知f (x)的图象关于点(1，a)对称，
又f (x)的图象关于点(1，2)对称，
则a＝2．故选D．]
2．(链接考点二)(多选)(2026·承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
√
√
√
ACD　[因为f (2＋x)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (－x)＝f (x＋4)，又
f (－x)＝f (x)，所以f (x＋4)＝f (x)，所以T＝4，故C正确；
因为T＝4且f (x)为偶函数，所以y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD．]
3．(链接考点三)若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，则下列说法正确的是
(　　)
A．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
B．函数f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．在区间(2，3)内，f (x)单调递减
D．f>f
√
C　[f (4－x)＝f (2－(x－2))＝f (x－2)＝－f (2－x)＝－f (x)，
即f (4－x)＋f (x)＝0，故f (x)的图象关于点(2，0)对称，B错误；
∵f (2－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称，A错误；
根据题意可得，f (x)在(0，1)上单调递增，
∵f (x)的图象关于直线x＝1对称，关于点(2，0)对称，则f (x)在(2，3)内单调递减，C正确；
∵f (x)＝f (2－x)＝－f (x－2)，则f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可知f (x)的周期为4，
则f＝f 4．(链接考点二)若偶函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (－1)＝________．
5　[∵f (x)为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，
由f (x)的图象关于直线x＝2对称，
可得f (1)＝f (3)＝2×3－1＝5，
∴f (－1)＝5．]
5　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(2025·九江月考)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　)
A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x)
C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x)
√
课时作业(十一)　函数的对称性及应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2026·长春模拟)函数f (x)＝的图象的对称中心为(　　)
A．(1，0) B．(0，0)
C．(2，0) D．(1，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[根据题意，因为f (x)＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)，
易得函数的定义域关于点(1，0)对称，则f (x)的图象的对称中心的横坐标为1，
又由f (x)＋f (2－x)＝＝0，则对称中心的纵坐标为0，
所以对称中心为(1，0)．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(苏教版必修第一册P127习题5.4 T9改编)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则实数b＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[∵函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f (x)＋f (2－x)＝0，即x3＋ax2＋x＋b＋(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，∴解得故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2026·邯郸模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)为偶函数，f (4＋x)＝－f (4－x)，则下列说法错误的是(　　)
A．f (x)的图象关于点(4，0)对称
B．f (x)的周期为8
C．f (2 025)＝f (1)
D．当x∈[0，2]时，f (x)＝x2－2x，则f (7)的值为－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[因为f (x＋2)为偶函数，
所以f (－x＋2)＝f (x＋2)，
又f (4＋x)＝－f (4－x)，
所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，f (x)的图象关于点(4，0)对称，且f (4)＝0，所以A选项正确；
所以f (－x)＝f (x＋4)，f (－x)＝－f (x＋8)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋8)，
所以f (x＋4)＝－f (x)，
所以f (x＋8)＝f (x)，所以f (x)的周期为8，所以B选项正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
所以f (2 025)＝f (8×253＋1)＝f (1)，所以C选项正确；
因为当x∈[0，2]时，f (x)＝x2－2x，
所以f (7)＝f (－1)＝－f (9)＝－f (1)＝－(1－2)＝1，所以D选项错误．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
二、多项选择题　
5．(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝x－
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
AC　[由y＝知定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以A正确；
由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝(－x)＋＝－＝－f (x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
由y＝知定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以C正确；
由y＝x－知定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝(－x)－＝－＝－f (x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13改编)已知函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列函数的图象中有对称中心的是(　　)
A．f (x)＝x B．f (x)＝x3－3x2
C．f (x)＝x4＋x2 D．f (x)＝
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[∵函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，
∴f (－x＋a)－b＝－f (x＋a)＋b，
即f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b．
对于A，由f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b得a＝b，
∴对于任意的a＝b，点P(a，b)都是f (x)＝x的图象的对称中心，故A满足题意；
对于B，f (x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，
∵f (x＋1)＋f (－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，
∴点P(1，－2)为f (x)图象的对称中心，故B满足题意；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
对于C，∵f (x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，其图象大致如图1所示．
故不可能找到一个点使f (x)的图象为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D，f (x)＝的图象如图2所示，其图象关于点(1，0)对称，故D满足题意．
]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
三、填空题
7．(人教B版必修第一册P117习题3-1C T3改编)函数y＝的图象的对称中心为点_____________．
(－1，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(－1，1)　[∵y＝＝＝1－，
∴该函数图象是由y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
∴其图象的对称中心为点(－1，1)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·榆林期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (4－x)＋f (x)＝2，若f (x)的图象关于直线x＝4对称，则f (－2)＝________．
1　[因为f (4－x)＋f (x)＝2，令x＝2，得2f (2)＝2，所以f (2)＝1．又f (x)的图象关于直线x＝4对称，所以f (6)＝f (2)＝1．令x＝－2，得f (6)＋f (－2)＝2，所以f (－2)＝2－1＝1．]
1　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
四、解答题
9．(2025·徐州期末节选)已知函数f (x)＝x－
(1)求不等式f (x)＞0的解集；
(2)证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
题号
1
3
5
2
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6
8
7
9
[解]　(1)由f (x)＝x－＝＞0，当x＋1＜0时，(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜－1；
当x＋1＞0时，(x＋2)(x－1)＞0，解得x＞1．
综上可知，不等式f (x)＞0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)．
(2)证明：设f (x)的定义域为A＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，对任意的x∈A，都有－x－2∈A，
且f (－x－2)＋f (x)＝－x－2－＋x－＝－x－2＋x－＝－2，
即f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，即曲线y＝f (x)是中心对称图形．
谢谢！课时作业(十一)　函数的对称性及应用
一、单项选择题
1．(2025·九江月考)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　)
A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x)
C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x)
2．(2026·长春模拟)函数f (x)＝的图象的对称中心为(　　)
A．(1，0) B．(0，0)
C．(2，0) D．(1，1)
3．(苏教版必修第一册P127习题5.4 T9改编)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则实数b＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
4．(2026·邯郸模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)为偶函数，f (4＋x)＝－f (4－x)，则下列说法错误的是(　　)
A．f (x)的图象关于点(4，0)对称
B．f (x)的周期为8
C．f (2 025)＝f (1)
D．当x∈[0，2]时，f (x)＝x2－2x，则f (7)的值为－1
二、多项选择题　
5．(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝x－
6．(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13改编)已知函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列函数的图象中有对称中心的是(　　)
A．f (x)＝x B．f (x)＝x3－3x2
C．f (x)＝x4＋x2 D．f (x)＝
三、填空题
7．(人教B版必修第一册P117习题3-1C T3改编)函数y＝的图象的对称中心为点________．
8．(2025·榆林期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (4－x)＋f (x)＝2，若f (x)的图象关于直线x＝4对称，则f (－2)＝________．
四、解答题
9．(2025·徐州期末节选)已知函数f (x)＝x－
(1)求不等式f (x)＞0的解集；
(2)证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
课时作业(十一)
1．D　[设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．]
2．A　[根据题意，因为f (x)＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)，
易得函数的定义域关于点(1，0)对称，则f (x)的图象的对称中心的横坐标为1，
又由f (x)＋f (2－x)＝＝0，则对称中心的纵坐标为0，
所以对称中心为(1，0)．
故选A．]
3．C　[∵函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f (x)＋f (2－x)＝0，即x3＋ax2＋x＋b＋(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，∴解得故选C．]
4．D　[因为f (x＋2)为偶函数，
所以f (－x＋2)＝f (x＋2)，
又f (4＋x)＝－f (4－x)，
所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，f (x)的图象关于点(4，0)对称，且f (4)＝0，所以A选项正确；
所以f (－x)＝f (x＋4)，f (－x)＝－f (x＋8)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋8)，
所以f (x＋4)＝－f (x)，
所以f (x＋8)＝f (x)，所以f (x)的周期为8，所以B选项正确；
所以f (2 025)＝f (8×253＋1)＝f (1)，所以C选项正确；
因为当x∈[0，2]时，f (x)＝x2－2x，
所以f (7)＝f (－1)＝－f (9)＝－f (1)＝－(1－2)＝1，所以D选项错误．
故选D．]
5．AC　[由y＝知定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以A正确；
由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝(－x)＋＝－＝－f (x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以B错误；
由y＝知定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以C正确；
由y＝x－知定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝(－x)－＝－＝－f (x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以D错误．故选AC．]
6．ABD　[∵函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，
∴f (－x＋a)－b＝－f (x＋a)＋b，
即f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b．
对于A，由f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b得a＝b，
∴对于任意的a＝b，点P(a，b)都是f (x)＝x的图象的对称中心，故A满足题意；
对于B，f (x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，
∵f (x＋1)＋f (－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，
∴点P(1，－2)为f (x)图象的对称中心，故B满足题意；
对于C，∵f (x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，其图象大致如图1所示．
故不可能找到一个点使f (x)的图象为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D，f (x)＝的图象如图2所示，其图象关于点(1，0)对称，故D满足题意．
]
7．(－1，1)　[∵y＝＝＝1－，
∴该函数图象是由y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
∴其图象的对称中心为点(－1，1)．]
8．1　[因为f (4－x)＋f (x)＝2，令x＝2，得2f (2)＝2，所以f (2)＝1．又f (x)的图象关于直线x＝4对称，所以f (6)＝f (2)＝1．令x＝－2，得f (6)＋f (－2)＝2，所以f (－2)＝2－1＝1．]
9．解：(1)由f (x)＝x－＝＞0，当x＋1＜0时，(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜－1；
当x＋1＞0时，(x＋2)(x－1)＞0，解得x＞1．
综上可知，不等式f (x)＞0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)．
(2)证明：设f (x)的定义域为A＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，对任意的x∈A，都有－x－2∈A，
且f (－x－2)＋f (x)＝－x－2－＋x－＝－x－2＋x－＝－2，
即f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，即曲线y＝f (x)是中心对称图形．
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