资源简介

*第12课时　抽象函数(进阶课)
[总体概览]
1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法．
2．常见的抽象函数模型
(1)f (x±y)＝f (x)±f (y)可看作f (x)＝kx的抽象表达式．
(2)f (xy)＝f (x)f (y)或f＝(y≠0，且f (y)≠0)可看作幂函数f (x)＝xα的抽象表达式．
(3)f (x＋y)＝f (x)f (y)或f (x－y)＝(f (y)≠0)可看作指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
(4)f (xy)＝f (x)＋f (y)或f＝f (x)－f (y)(y≠0)可看作对数函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
类型一　抽象函数求值
[典例1]　(1)若函数f (x)满足对任意的实数a，b都有f (a＋b)＝f (a)f (b)，且f (1)＝2，则＋…＋＝(　　)
A．2 024 B．2 026
C．1 012 D．1 013
(2)(多选)(2025·昆明期中)对于任意的x∈R，函数f (x)满足f (x＋1)－f (x－1)＝f (2)＋4x－6，f (－2)＝6，则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝2
B．f (2)＝－6
C．f (2 025)－f (2 023)＝8 096
D．f (6)＝38
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：赋值法解答抽象函数的关键是选取适当的特殊值进行求解．
类型二　抽象函数的性质
[典例2]　(2025·景德镇期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝，且当x＞0时，0＜f (x)＜1，则f (x)是(　　)
A．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在(0，＋∞)上单调递增
D．偶函数，在(0，＋∞)上单调递减
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解．
[多维变迁]
(多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　)
A．f (0)＝0
B．f (x)为偶函数
C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期
D．f (2 027)＝－1
第12课时　抽象函数(进阶课)
类型一
典例1　(1)B　(2)ACD　[(1)由f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，令b＝1，可得f(a＋1)＝f(a)f(1)＝2f(a)，所以＋…＋＋…＋＝2×1 013＝2 026．故选B．
(2)根据题意可知，函数f(x)满足f(x＋1)－f(x－1)＝f(2)＋4x－6，
令x＝1，得f(2)－f(0)＝f(2)＋4－6，解得f(0)＝2，故A正确；
令x＝－1，得f(0)－f(－2)＝f(2)－4－6，即f(2)＋f(－2)＝f(0)＋10，
因为f(0)＝2，f(－2)＝6，所以f(2)＝6，故B错误；
因为f(2)＝6，则f(x＋1)－f(x－1)＝4x，
令x＝2 024，则f(2 025)－f(2 023)＝4×2 024＝8 096，故C正确；
又f(6)＝f(4)＋4×5＝f(4)＋20，f(4)＝f(2)＋4×3＝18，则f(6)＝18＋20＝38，故D正确．故选ACD．]
类型二
典例2　A　[根据题意，f(x)是定义在R上的函数，取x＝a，y＝0，且a>0，则0故f(0)＝0．
令y＝－x，
则f(0)＝＝0，变形可得f(－x)＝－f(x)，
则函数f(x)为奇函数，
设x1，x2为任意实数，且0则有x2－x1>0，故0f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)
＝f(x1)－
＝，
因为x1>0，所以0则<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
则有f(x1)故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．]
多维变迁
　ACD　[A中，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确；
B中，令y＝－x，
则f(0)＝＝0，
因此f(－x)＝－f(x)，又f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，故B错误；
C中，令y＝1，则f(x＋1)＝＝－1＋，
所以f(x＋2)＝－1＋＝－，因此f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以f(x)为周期函数，且周期为4，故C正确；
D中，f(2 027)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故D正确．故选ACD．]
1 / 2(共78张PPT)
第二章　函数
*第12课时　抽象函数(进阶课)
[总体概览]
1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法．
2．常见的抽象函数模型
(1)f (x±y)＝f (x)±f (y)可看作f (x)＝kx的抽象表达式．
(2)f (xy)＝f (x)f (y)或f ＝(y≠0，且f (y)≠0)可看作幂函数f (x)＝xα的抽象表达式．
(3)f (x＋y)＝f (x)f (y)或f (x－y)＝(f (y)≠0)可看作指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
(4)f (xy)＝f (x)＋f (y)或f ＝f (x)－f (y)(y≠0)可看作对数函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
类型一　抽象函数求值
[典例1]　(1)若函数f (x)满足对任意的实数a，b都有f (a＋b)＝f (a)f (b)，且f (1)＝2，则＋…＋＝(　　)
A．2 024 B．2 026
C．1 012 D．1 013
√
(2)(多选)(2025·昆明期中)对于任意的x∈R，函数f (x)满足f (x＋1)－f (x－1)＝f (2)＋4x－6，f (－2)＝6，则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝2
B．f (2)＝－6
C．f (2 025)－f (2 023)＝8 096
D．f (6)＝38
√
√
√
(1)B　(2)ACD　[(1)由f (a＋b)＝f (a)f (b)，f (1)＝2，令b＝1，可得
f (a＋1)＝f (a)f (1)＝2f (a)，所以＋…＋＝＋…＋＝2×1 013＝2 026．故选B．
(2)根据题意可知，函数f (x)满足f (x＋1)－f (x－1)＝f (2)＋4x－6，
令x＝1，得f (2)－f (0)＝f (2)＋4－6，解得f (0)＝2，故A正确；
令x＝－1，得f (0)－f (－2)＝f (2)－4－6，
即f (2)＋f (－2)＝f (0)＋10，
因为f (0)＝2，f (－2)＝6，所以f (2)＝6，故B错误；
因为f (2)＝6，则f (x＋1)－f (x－1)＝4x，
令x＝2 024，则f (2 025)－f (2 023)＝4×2 024＝8 096，故C正确；
又f (6)＝f (4)＋4×5＝f (4)＋20，f (4)＝f (2)＋4×3＝18，
则f (6)＝18＋20＝38，故D正确．
故选ACD．]
易错提醒：赋值法解答抽象函数的关键是选取适当的特殊值进行求解．
【教用·备选题】
1．(2025·赣州二模)已知函数f (x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f (－5)＝(　　)
A．－5 B．0
C．2 D．5
√
B　[根据题意，函数f (x)是定义在R上且周期为2的奇函数，
则f (－1)＝－f (1)且f (－1)＝f (－1＋2) ＝f (1)，必有f (－1)＝0，
则有f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝0．
故选B．]
2．(2025·盐城期末)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足对任意的正数x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (xy)，若f ＋f＝6，则f (2 025)＝(　　)
A．12 B．6
C．－6 D．－12
√
D　[因为对任意的正数x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (xy)，
所以令x＝y＝1，可得f (1)＋f (1)＝f (1)，所以f (1)＝0；
再令y＝，可得f (x)＋f＝f (1)＝0，
所以f＝－f (x)，
所以f ＋f＝－f (9)－f (5)＝6，
所以f (9)＋f (5)＝－6，
因为对任意的正数x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (xy)，
所以令y＝x，可得2f (x)＝f (x2)，
所以f (2 025)＝f (92×52)＝f (92)＋f (52)＝2f (9)＋2f (5)＝2[f (9)＋f (5)]＝－12．
故选D．]
类型二　抽象函数的性质
[典例2]　(2025·景德镇期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝，且当x＞0时，0＜f (x)＜1，则f (x)是(　　)
A．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在(0，＋∞)上单调递增
D．偶函数，在(0，＋∞)上单调递减
√
A　[根据题意，f (x)是定义在R上的函数，取x＝a，y＝0，且a＞0，则0＜f (a)＜1，f (a＋0)＝，即f (a)＝，f (a)[1＋
f (a)f (0)]＝f (a)＋f (0)，解得{[f (a)]2－1}·f (0)＝0，又0＜[f (a)]2＜1，[f (a)]2－1≠0，故f (0)＝0．
令y＝－x，
则f (0)＝＝0，
变形可得f (－x)＝－f (x)，
则函数f (x)为奇函数，
设x1，x2为任意实数，且0＜x1＜x2，
则有x2－x1＞0，故0＜f (x2－x1)＜1，则
f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f (x2－x1＋x1)
＝f (x1)－
＝，
因为x1＞0，所以0＜f (x1)＜1，而0＜f (x2－x1)＜1，
则＜0，
所以f (x1)－f (x2)＜0，则有f (x1)＜f (x2)，
故函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．]
通性通法：对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解．
[多维变迁]
(多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　)
A．f (0)＝0
B．f (x)为偶函数
C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期
D．f (2 027)＝－1
√
√
√
ACD　[A中，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确；
B中，令y＝－x，则f (0)＝＝0，
因此f (－x)＝－f (x)，又f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，
所以f (x)为奇函数，故B错误；
C中，令y＝1，则f (x＋1)＝＝＝－1＋，
所以f (x＋2)＝－1＋＝－，因此f (x＋4)＝－＝f (x)，
所以f (x)为周期函数，且周期为4，故C正确；
D中，f (2 027)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故D正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
1．若定义在R上的函数f (x)满足对任意的x1，x2∈R，都有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x>0时，f (x)<0，则(　　)
A．f (x)是奇函数，且在R上是增函数
B．f (x)是奇函数，且在R上是减函数
C．f (x)是奇函数，但在R上不是单调函数
D．无法确定f (x)的单调性和奇偶性
√
B　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0．令x1＝x，x2＝－x，则f (－x)＋f (x)＝f (x－x)＝f (0)＝0，所以f (－x)＝－f (x)，故函数f (x)是奇函数．
设x1因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)<0，
故f (x2)所以函数f (x)在R上是减函数．故选B．]
2．(2025·上海闵行区期末)若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上是严格增函数，f (1)＝0，则不等式(x－1)f (x)＜0的解集是 ____________．
(－1，0)　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上是严格增函数，
根据奇函数的性质可得，f (x)在(－∞，0)上单调递增，f (0)＝0，
因为f (1)＝0，所以f (－1)＝0，
(－1，0)
又(x－1)f (x)＜0 或
由可得不等式组无解，
由得x∈(－1，0)．
综上可得x∈(－1，0)满足题意．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(2026·十堰模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f ＝
f ，则f (7)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
课时作业(十二)　抽象函数(进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[因为定义在R上的奇函数f (x)满足f＝f ，
则f (1＋x)＝f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，
所以f (2＋x)＝f (x)，故f (x)是周期为2的周期函数．
则f (7)＝f (1)＝f (0)＝0．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2025·鞍山市立山区期末)若定义在R上的函数f (x)满足对任意x1，x2∈R，有f (x1·x2)＝x1f (x2)＋x2f (x1)，则下列说法一定正确的是
(　　)
A．f (x)是奇函数 B．f (x)是偶函数
C．f (x－1)是奇函数 D．f (x)＋1是偶函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[因为对任意x1，x2∈R，有f (x1·x2)＝x1f (x2)＋x2f (x1)，
所以f (0)＝0，f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，
所以f (1)＝－f (－1)－f (－1)＝0，
所以f (－1)＝0，
所以f (－x)＝－f (x)＋xf (－1)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，所以A选项正确；
而其他选项不一定成立，故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．定义在R上的偶函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，且在[－1，0]上单调递增．设a＝f (3)，b＝f ()，c＝f (2)，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[因为函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝f (3)＝f (－1)，b＝f ()＝f (2－)，c＝f (2)＝f (0)．
又函数f (x)是偶函数，且在[－1，0]上单调递增，所以a＝f (1)，且函数f (x)在[0，1]上单调递减．又0<2－<1，所以f (0)>f (2－)>
f (1)，即c>b>a．故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋
f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．f (10)>100 B．f (20)>1 000
C．f (10)<1 000 D．f (20)<10 000
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[因为当x<3时，f (x)＝x，
所以f (1)＝1，f (2)＝2．
又f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，
则f (3)>f (2)＋f (1)＝3，
f (4)>f (3)＋f (2)>5，
f (5)>f (4)＋f (3)>8，
f (6)>f (5)＋f (4)>13，
f (7)>f (6)＋f (5)>21，
f (8)>f (7)＋f (6)>34，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
f (9)>f (8)＋f (7)>55，
f (10)>f (9)＋f (8)>89，
f (11)>f (10)＋f (9)>144，
f (12)>f (11)＋f (10)>233，
f (13)>f (12)＋f (11)>377，
f (14)>f (13)＋f (12)>610，
f (15)>f (14)＋f (13)>987，
f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则可知f (20)>1 000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确．故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
二、多项选择题
5．(2025·丽江期末)已知函数f (x)满足对任意的x，y∈R，f (x＋y)－f (x＋y)f (x)f (y)＝f (x)＋f (y)恒成立，则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝0　
B．f (x)为奇函数　
C．若f (4)＝－，则f (2)＝2
D．若f (100)＝0，则100是f (x)的一个周期
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[A选项，令x＝y＝0，则f (0)－[f (0)]3＝2f (0)，∴f (0){[f (0)]2＋1}＝0，
故f (0)＝0，故A正确；
B选项，令y＝－x，则f (0)－f (0)f (x)f (－x)＝f (x)＋f (－x)＝0，
∴f (－x)＝－f (x)，又函数f (x)的定义域为R，
∴f (x)为奇函数，故B正确；
C选项，令x＝y＝2，
则f (4)－f (4)[f (2)]2＝2f (2)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
∵f (4)＝－，∴[f (2)－2][2f (2)＋1]＝0，
解得f (2)＝2或f (2)＝－，故C错误；
D选项，若f (100)＝0，令y＝100，得f (x＋100)＝f (x)，
∴100是f (x)的一个周期，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．若定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)为奇函数，且对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是
(　　)
A．f (x)的图象关于点(－1，0)对称
B．f (x)是R上的增函数
C．f (x)＋f (2－x)＝2
D．关于x的不等式f (x)＜0的解集为(－∞，1)
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BD　[由定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)为奇函数，得f (－x＋1)＝－f (x＋1)，因此函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，由对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，得f (x)在[1，＋∞)上单调递增，由函数的对称性知，f (x)在(－∞，1]上单调递增，又f (1)＝0，因此f (x)是R上的增函数，B正确；
显然f (－1)＜f (1)＝0，则f (x)的图象不关于点(－1，0)对称，A错误；
由f (x)的图象关于点(1，0)对称，得f (x)＋f (2－x)＝0，C错误；
显然f (1)＝0，又f (x)在R上单调递增，则由f (x)＜0，得x＜1，D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
三、填空题
7．(2025·萍乡三模)已知定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x，y均有f (xy)＝yf (x)，且2f (2)＝f (1)＋6，则f (2 027)＝________．
4 054
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4 054　[因为定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x，y均有f (xy)＝yf (x)，用x替换y，y替换x，可得f (xy)＝yf (x)＝xf (y)，
所以当x≠0，y≠0时，可知是常函数，
于是当x≠0时，可设f (x)＝cx，其中c为常数，
又2f (2)＝f (1)＋6．
所以4c＝c＋6，解得c＝2，
所以f (2 027)＝2×2 027＝4 054．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·沈阳月考)若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x)同时满足：①f (x)为奇函数；②f (1)＝0；③对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，则不等式xf (x＋1)＜0的解集为________________________________．
(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞)　[因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，
令g(x)＝xf (x)，
所以＜0，
则g(x)＝xf (x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f (x)为奇函数及f (1)＝0，
所以g(－x)＝－xf (－x)＝xf (x)＝g(x)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0，故g(x)在(－∞，0)上单调递增，
所以g(x＋1)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
又x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则由xf (x＋1)＜0可得x＞0，f (x＋1)＜0或x＜0，f (x＋1)＞0，
当x＞0时，f (x＋1)＜0 ＜0，得g(x＋1)＜0，解得x＜－2或x＞0，故x＞0；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
当x＜0时，f (x＋1)＞0 ＞0，
即(x＋1)g(x＋1)＞0，
得或
解得x＜－2或－1＜x＜0．
综上，不等式xf (x＋1)＜0的解集为(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，
＋∞)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
四、解答题
9．(2025·保定期末)已知函数f (x)在R上满足f (x＋y)＝f (x)f (y)＋f (0)－1，且当x＞0时，0＜f (x)＜1；当x＜0时，f (x)＞1．
(1)求f (0)的值；
(2)判断并证明函数f (x)的单调性；
(3)若f (1)＝，求不等式f (x－x2)＞4的解集．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解]　(1)根据题意，函数f (x)在R上满足f (x＋y)＝f (x)f (y)＋f (0)－1，
令x＝y＝0，则f (0＋0)＝f (0)f (0)＋f (0)－1，故[f (0)]2＝1，可得f (0)＝±1，
令y＝0，则f (x)＝f (x)f (0)＋f (0)－1，
当f (0)＝－1时，则f (x)＝－f (x)－2，
即f (x)＝－1，不符合题意，舍去，
故f (0)＝1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(2)f (x)在R上单调递增，
证明：由(1)的结论，f (0)＝1，
则f (x＋y)＝f (x)f (y)，
由f (x1)＝f (x1－x2＋x2)＝f (x1－x2)f (x2)，
又当x＞0时，0＜f (x)＜1；当x＜0时，f (x)＞1，
分2种情况讨论：
当x1＞x2＞0时，即0＜f (x1－x2)＜1，0＜f (x1)＜1，0＜f (x2)＜1，
所以f (x1)＝f (x1－x2)f (x2)＜f (x2)，即f (x1)－f (x2)＜0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
当0＞x1＞x2时，则0＜f (x1－x2)＜1，f (x1)＞1，f (x2)＞1，
所以f (x1)＝f (x1－x2)f (x2)＜f (x2)，即f (x1)－f (x2)＜0，故f (x)在(－∞，0)上单调递减，
综上，f (x)在R上单调递减．
(3)根据题意，f (x＋y)＝f (x)f (y)且f (0)＝1，
令y＝－x，则f (x)＝，故f (1)＝＝，即f (－1)＝2，
所以f (－2)＝f (－1)f (－1)＝4，则f (x－x2)＞f (－2)，
由(2)知，x－x2＜－2，即x2－x－2＞0，可得x＜－1或x＞2，
所以所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．已知函数y＝f (x)表示为
x [－2，0) 0 (0，2]
y 1 0 －2
设f (1)＝m，f (x)的值域为M，则(　　)
A．m＝－2，M＝{－2，0，1}
B．m＝－2，M＝{y|－2≤y≤1}
C．m＝1，M＝{－2，0，1}
D．m＝1，M＝{y|－2≤y≤1}
阶段检测(二)　第7～12课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由函数关系知f (1)＝－2，即m＝－2，
函数的值域为{1，0，－2}，
故选A．]
√
2．(2025·玉溪期末)已知函数f (x)＝是减函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．[2，3)
C．(0，2] D．(0，3]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[根据题意，函数f (x)
＝是减函数，
则解得2≤a＜3，即实数a的取值范围为[2，3)．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．
若f＝，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．又f (1＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (1＋(1＋x))＝f (－(1＋x))＝－f (1＋x)＝
－f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，f ＝f＝f＝故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·湛江月考)若函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋3)＝－，且当x∈[2，3]时，f (x)＝－4x，则f (2 030)＝(　　)
A．－8 B．8
C．－12 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[根据题意，函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋3)＝－，
则f (x＋6)＝－＝f (x)，所以f (x)的周期为6，
当x∈[2，3]时，f (x)＝－4x，则f (2)＝－8，
故f (2 030)＝f (338×6＋2)＝f (2)＝－8．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是
(　　)
A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[法一：因为f (x)＝，所以f (x－1)＝＝，f (x＋1)＝＝
对于A，令F(x)＝f (x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，令G(x)＝f (x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，f (x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f (x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
故选B．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
法二：f (x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f (x－1)＋1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[法一：因为函数f (x＋2)是偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称．因为函数f (2x＋1)是奇函数，所以f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，则f (1)＝0，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称．f (x)＝f (4－x)＝－f (2－(4－x))＝－f (x－2)，f (x＋2)＝
－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，所以函数f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (5)＝f (1＋4)＝f (1)＝0，又函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (5)＝f (－1)＝0．故选B．
法二：构造一个符合条件的函数f (x)＝cos x，可以验证只有f (－1)＝0．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·淄博市张店区月考)已知函数f (＋1)＝x＋2，则
(　　)
A．f (x)＝x2－1(x∈R)
B．f (x)的最小值为0
C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)
D．f的值域为[－1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[A项，f (＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，＋1≥1，
将左右两边的＋1换成x，可得f (x)＝x2－1(x≥1)，故A错误；
B项，当x≥1时，f (x)＝x2－1≥0，∴f (x)的最小值为0，故B正确；
C项，函数f (2x－3)中，需满足2x－3≥1，即x≥2，
∴函数f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，故C正确；
D项，f＝－1，由≥1，即0＜x≤1，
∴∈[1，＋∞)，∴f 的值域为[0，＋∞)，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2026·太原模拟)已知f (x)是定义在R上的非常数函数，当x＞2时，0＜f (x)＜1，对任意的x，y∈R，都有f (x)f (y)＝f (x＋y－2)，若f (0)＝2，则(　　)
A．f (2)＝0
B．f (4)＝
C．f (x)在R上单调递减
D．不等式f (x2＋3x＋4)＜的解集为(－∞，－5)∪(2，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[对于A，对任意的x，y∈R，都有f (x)·f (y)＝f (x＋y－2)，
令y＝2，有f (x)f (2)＝f (x)，而f (x)是非常数函数，则有f (2)＝1，故A错误；
对于B，令y＝4－x，有x＋y－2＝2，
则有f (4－x)f (x)＝f (2)＝1，
令x＝0，则有f (4)f (0)＝1，变形可得f (4)＝＝，故B正确；
对于C，由B的结论，f (4－x)f (x)＝1，
当x＜2时，4－x＞2，则有0＜f (4－x)＜1，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
同理，当x＜2时，f (x)＝＞1，
故对任意的x∈R，f (x)＞0恒成立，
x1＞x2，则＝f (x1－x2＋2)＜1，
即f (x1)＜f (x2)，
故f (x)在R上单调递减，故C正确；
对于D，令x＝y＝0，得f (－2)＝f (0)f (0)＝4，
令x＝－2，y＝0，得f (－4)＝f (－2)f (0)＝8，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
再由f (4－x)f (x)＝1可知f (8)＝＝，
又由f (x)在R上单调递减，则不等式f (x2＋3x＋4)＜等价于x2＋3x＋4＞8，
解得x＜－4或x＞1，即不等式的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2025·长沙市开福区期末)若f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝2x，则f (0)＋f (－2)＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－4
－4　[根据题意，f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0，
又由当x＞0时，f (x)＝2x，则f (2)＝22＝4，
则f (－2)＝－f (2)＝－4，
故f (0)＋f (－2)＝－4．]
10．(2025·赣州月考)定义在R上的函数f (x)满足f (3－x)＝f (3＋x)，且对任意的x1，x2∈[3，＋∞)(x1≠x2)，都有＞0，若f (m－1)＜f (2)，则实数m的取值范围是________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3，5)
(3，5)　[因为定义在R上的函数f (x)满足f (3－x)＝f (3＋x)，
且对任意的x1，x2∈[3，＋∞)(x1≠x2)，都有＞0，
所以函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，f (x)在[3，＋∞)上单调递增，
若f (m－1)＜f (2)，则|m－1－3|＜|2－3|，
解得3＜m＜5，
即实数m的取值范围是(3，5)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　定义域为{x|x≠0}，值域为R．
x1，x2∈(－∞，0)，且x1则y1－y2＝x1－
＝
∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0，
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－在(－∞，0)上单调递增．
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则y1－y2＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0．
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
设f (x)＝y＝x－，
∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)，
∴f (x)＝y＝x－是奇函数．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
y＝x－的图象如图．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)∵f (x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x．
设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．
∴f (x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．
即f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)．
(2)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
谢谢！课时作业(十二)　抽象函数(进阶课)
一、单项选择题
1．(2026·十堰模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f＝f，则f (7)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．(2025·鞍山市立山区期末)若定义在R上的函数f (x)满足对任意x1，x2∈R，有f (x1·x2)＝x1f (x2)＋x2f (x1)，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f (x)是奇函数 B．f (x)是偶函数
C．f (x－1)是奇函数 D．f (x)＋1是偶函数
3．定义在R上的偶函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，且在[－1，0]上单调递增．设a＝f (3)，b＝f ()，c＝f (2)，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
4．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．f (10)>100 B．f (20)>1 000
C．f (10)<1 000 D．f (20)<10 000
二、多项选择题
5．(2025·丽江期末)已知函数f (x)满足对任意的x，y∈R，f (x＋y)－f (x＋y)f (x)f (y)＝f (x)＋f (y)恒成立，则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝0　
B．f (x)为奇函数　
C．若f (4)＝－，则f (2)＝2
D．若f (100)＝0，则100是f (x)的一个周期
6．若定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)为奇函数，且对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的图象关于点(－1，0)对称
B．f (x)是R上的增函数
C．f (x)＋f (2－x)＝2
D．关于x的不等式f (x)＜0的解集为(－∞，1)
三、填空题
7．(2025·萍乡三模)已知定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x，y均有f (xy)＝yf (x)，且2f (2)＝f (1)＋6，则f (2 027)＝________．
8．(2025·沈阳月考)若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x)同时满足：①f (x)为奇函数；②f (1)＝0；③对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，则不等式xf (x＋1)＜0的解集为________．
四、解答题
9．(2025·保定期末)已知函数f (x)在R上满足f (x＋y)＝f (x)f (y)＋f (0)－1，且当x＞0时，0＜f (x)＜1；当x＜0时，f (x)＞1．
(1)求f (0)的值；
(2)判断并证明函数f (x)的单调性；
(3)若f (1)＝，求不等式f (x－x2)＞4的解集．
课时作业(十二)
1．B　[因为定义在R上的奇函数f (x)满足f＝f，
则f (1＋x)＝f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，
所以f (2＋x)＝f (x)，故f (x)是周期为2的周期函数．
则f (7)＝f (1)＝f (0)＝0．
故选B．]
2．A　[因为对任意x1，x2∈R，有f (x1·x2)＝x1f (x2)＋x2f (x1)，
所以f (0)＝0，f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，
所以f (1)＝－f (－1)－f (－1)＝0，
所以f (－1)＝0，
所以f (－x)＝－f (x)＋xf (－1)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，所以A选项正确；
而其他选项不一定成立，故选A．]
3．D　[因为函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝f (3)＝f (－1)，b＝f ()＝f (2－)，c＝f (2)＝f (0)．
又函数f (x)是偶函数，且在[－1，0]上单调递增，所以a＝f (1)，且函数f (x)在[0，1]上单调递减．又0<2－<1，所以f (0)>f (2－)>f (1)，即c>b>a．故选D．]
4．B　[因为当x<3时，f (x)＝x，
所以f (1)＝1，f (2)＝2．
又f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，
则f (3)>f (2)＋f (1)＝3，
f (4)>f (3)＋f (2)>5，
f (5)>f (4)＋f (3)>8，
f (6)>f (5)＋f (4)>13，
f (7)>f (6)＋f (5)>21，
f (8)>f (7)＋f (6)>34，
f (9)>f (8)＋f (7)>55，
f (10)>f (9)＋f (8)>89，
f (11)>f (10)＋f (9)>144，
f (12)>f (11)＋f (10)>233，
f (13)>f (12)＋f (11)>377，
f (14)>f (13)＋f (12)>610，
f (15)>f (14)＋f (13)>987，
f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则可知f (20)>1 000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确．故选B．]
5．ABD　[A选项，令x＝y＝0，则f (0)－[f (0)]3＝2f (0)，∴f (0){[f (0)]2＋1}＝0，
故f (0)＝0，故A正确；
B选项，令y＝－x，则f (0)－f (0)f (x)f (－x)＝f (x)＋f (－x)＝0，
∴f (－x)＝－f (x)，又函数f (x)的定义域为R，
∴f (x)为奇函数，故B正确；
C选项，令x＝y＝2，
则f (4)－f (4)[f (2)]2＝2f (2)，
∵f (4)＝－，∴[f (2)－2][2f (2)＋1]＝0，
解得f (2)＝2或f (2)＝－，故C错误；
D选项，若f (100)＝0，令y＝100，得f (x＋100)＝f (x)，
∴100是f (x)的一个周期，故D正确．
故选ABD．]
6．BD　[由定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)为奇函数，得f (－x＋1)＝－f (x＋1)，因此函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，由对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，得f (x)在[1，＋∞)上单调递增，由函数的对称性知，f (x)在(－∞，1]上单调递增，又f (1)＝0，因此f (x)是R上的增函数，B正确；
显然f (－1)＜f (1)＝0，则f (x)的图象不关于点(－1，0)对称，A错误；
由f (x)的图象关于点(1，0)对称，得f (x)＋f (2－x)＝0，C错误；
显然f (1)＝0，又f (x)在R上单调递增，则由f (x)＜0，得x＜1，D正确．故选BD．]
7．4 054　[因为定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x，y均有f (xy)＝yf (x)，用x替换y，y替换x，可得f (xy)＝yf (x)＝xf (y)，
所以当x≠0，y≠0时，可知是常函数，
于是当x≠0时，可设f (x)＝cx，其中c为常数，
又2f (2)＝f (1)＋6．
所以4c＝c＋6，解得c＝2，
所以f (2 027)＝2×2 027＝4 054．]
8．(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞)　[因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，
令g(x)＝xf (x)，
所以＜0，
则g(x)＝xf (x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f (x)为奇函数及f (1)＝0，
所以g(－x)＝－xf (－x)＝xf (x)＝g(x)，
则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0，故g(x)在(－∞，0)上单调递增，
所以g(x＋1)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
又x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则由xf (x＋1)＜0可得x＞0，f (x＋1)＜0或x＜0，f (x＋1)＞0，
当x＞0时，f (x＋1)＜0 ＜0，得g(x＋1)＜0，解得x＜－2或x＞0，故x＞0；
当x＜0时，f (x＋1)＞0 ＞0，
即(x＋1)g(x＋1)＞0，
得或
解得x＜－2或－1＜x＜0．
综上，不等式xf (x＋1)＜0的解集为(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞)．]
9．解：(1)根据题意，函数f (x)在R上满足f (x＋y)＝f (x)f (y)＋f (0)－1，
令x＝y＝0，则f (0＋0)＝f (0)f (0)＋f (0)－1，故[f (0)]2＝1，可得f (0)＝±1，
令y＝0，则f (x)＝f (x)f (0)＋f (0)－1，
当f (0)＝－1时，则f (x)＝－f (x)－2，
即f (x)＝－1，不符合题意，舍去，
故f (0)＝1．
(2)f (x)在R上单调递增，
证明：由(1)的结论，f (0)＝1，
则f (x＋y)＝f (x)f (y)，
由f (x1)＝f (x1－x2＋x2)＝f (x1－x2)f (x2)，
又当x＞0时，0＜f (x)＜1；当x＜0时，f (x)＞1，
分2种情况讨论：
当x1＞x2＞0时，即0＜f (x1－x2)＜1，0＜f (x1)＜1，0＜f (x2)＜1，
所以f (x1)＝f (x1－x2)f (x2)＜f (x2)，即f (x1)－f (x2)＜0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0＞x1＞x2时，则0＜f (x1－x2)＜1，f (x1)＞1，f (x2)＞1，
所以f (x1)＝f (x1－x2)f (x2)＜f (x2)，即f (x1)－f (x2)＜0，故f (x)在(－∞，0)上单调递减，
综上，f (x)在R上单调递减．
(3)根据题意，f (x＋y)＝f (x)f (y)且f (0)＝1，
令y＝－x，则f (x)＝，故f (1)＝＝，即f (－1)＝2，
所以f (－2)＝f (－1)f (－1)＝4，则f (x－x2)＞f (－2)，
由(2)知，x－x2＜－2，即x2－x－2＞0，可得x＜－1或x＞2，
所以所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
1 / 2

展开更多......

收起↑