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湖北十堰市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．45 B．20 C．135 D．120
2．已知函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．有4名护士到某医院实习，该医院将这4名护士分到心内科 心外科 骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ）
A．40 B．36 C．24 D．48
6．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ）
A．事件，是互斥事件 B．事件，是对立事件
C． D．
10．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．若有两个极值点，则实数的取值范围为
C．当时，的值域为
D．若存在，使得成立，则实数的最大值为
三、填空题
12．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________．
13．的展开式中的系数为___________.
14．已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____．
四、解答题
15．已知．
(1)求的展开式中的系数；
(2)设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值．
16．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
17．某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为．
(1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率；
(2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围．
18．已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)设，求函数的极大值
(3)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．
19．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明：当时，；
(3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】若，则或，
当时，（舍去）；
当时，.
所以.
所以.
2．A
【详解】函数的定义域为，
，所以.
所以，
所以.
3．D
【详解】由得
所以
又，∴切点为
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D.
4．C
【详解】由二项式系数性质可知，当二项式系数存在唯一最大值时，该项为中间项，
已知展开式中二项式系数只有第5项最大，说明第5项为唯一中间项，
则，解得．
5．B
【详解】依题意，先将4名护士分成三组，有种方法；
再分配到三个科室，有种方法.
所以共有种分配方案.
6．C
【详解】设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”.
由全概率公式得，由题意可知，，
当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球， 则从乙盒取两球均为白球的概率为，
当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为，
代入全概率公式计算可得.
故取出的两球都是白球的概率为.
7．A
【详解】当时，不等式恒成立
可变形为,
设,
那么当时,有,即在区间上单调增，
在上成立，即,
设,那么,
令,得 ,
令,得 ,
令,得 ,
所以，函数在处取得极小值，也就是最小值，
,,实数a的取值范围为.
8．B
【详解】令，则；
由以及可得，
因此在上单调递增，
不等式 可知且,
即，所以可知,
解得，
因此该不等式的解集为.
9．AC
【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出的数要么是奇数要么是偶数，
不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确.
当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误．
，，D错误.
，C正确．
故选：AC
10．ACD
【详解】对于A，令，则，
即，所以A正确；
对于B，令，则，
即，所以B错误；
对于C，令，则，
即①，
令，则，
即②，
①-②得，
所以，所以C正确；
对于D，将原等式变形得，
令，则，由A项可知，
所以，所以D正确.
11．BCD
【详解】 ，求导得
A选项，当时，，，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，
即的最小值为，所以A选项错误；
B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解，
令，则，在上单调递减，在上单调递增，则，
且当时，；当时，；且时，，，
所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确；
C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增，
当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确；
D选项，存在，使得，即存在，使得，
令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则，
不妨设为的根，即 ，
当，单调递减，当，单调递增，
则在处取得最小值， ，
需要满足存在，使得成立，
令，则，其中，
令，解得，所以在上单调递减，在单调递增，
则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确.
12．
【详解】随机变量的分布列如表所示，
，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
13．90
【详解】的展开式的通项为，，
当时，，
此时只需乘第一个因式中的即可，得到；
当时，，
此时只需乘第一个因式中的即可，得到．
据此可得的系数为．
14．4
【详解】当时，由，得，
即存在使不等式成立，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
所以函数在上单调递增，
又，，
则存在，使得，即，
当时，，即；
当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则，于是，
所以的最小整数解为4.
15．(1)80
(2)
【详解】（1）设的展开式通项为，那么
,
令，得 ，，
所以，的展开式中的系数为.
（2）由题意可知，,
所以，,
在中，令，得，，
所以，或.
16．(1)60
(2)180
(3)180
【详解】（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法，
从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法，
则共有种排法.
（2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，
从剩下6人选出2人，有种选法，
全排列3个元素有种排法，
所以共有种排法.
（3）先从剩下6人选出2人先排列，有种排法，
将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，所以共有种排法.
17．(1)
(2)
【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常．
由题可知，
．
所以，
即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为．
（2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，
所以该设备正常工作的
．
由，得，
所以p的取值范围为．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）函数的定义域为.
当时，.
可得.
因为，所以令，可得.
又当时，，
所以的单调增区间为.
（2）由题意得的定义域为，.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以在处取得极大值，极大值为.
（3）由函数在上有且仅有2个零点，得方程在上恰有两个实数根，
即方程在上恰有两个实数根，
即直线与函数的图象在上有两个不同的交点.
设，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
又，
故的取值范围是.
19．(1)0
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）已知函数，求导得，
令，解得，
当时，，故，函数单调递减；
当时，，故，函数单调递增；
是极小值点，即为最小值点，最小值为．
（2）因为，
所以要证明，只需证明，
只需证明，
设，求导得，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，，
当时，，
，
在上单调递增，故，
又，故，
，原不等式得证．
（3），不等式等价于，
，
令，
当时，，故处等号成立；
求导得，
，
令，求导得，，则，
在上单调递增，
当时，，，
存在，使得，
当时，，又，
所以当时，，不满足条件；
当时，，
在上单调递增，故，单调递增，
，满足条件；
实数的取值范围为．

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