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第13课时　幂函数与二次函数
[考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
知识点1　幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减．
④当α为奇数时，y＝xα为________；当α为偶数时，y＝xα为________．
知识点2　二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f (x)＝____________________．
顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________．
零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的______．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 ___
值域
对称轴 x＝____
顶点 坐标 __
奇偶性 当b＝0时是____函数，当b≠0时既不是奇函数，也不是偶函数
单调性 在上单调递____； 在上单调递____ 在上单调递____； 在上单调递____
[常用结论]
幂函数的性质
当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
1．(人教B版必修第二册P37习题4－4 B T1)已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点(8，2)，则f (－27)＝________．
2．(人教A版必修第一册P91练习T2(1))比较大小：(－1.5)3________ (－1.4)3．
3．(湘教版必修第一册P82例3)若函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
4．(北师大版必修第一册P34例1)已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5．
(1)指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到；
(2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．
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考点一　幂函数的图象及性质
[典例1]　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
(2)(2026·郑州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c＜b＜a D．b(3)(多选)(2025·成都青白 江区期末)已知幂函数f (x)的图象经过点，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(0，＋∞)
C．f (x)为偶函数
D．f (x)是其定义域上的减函数
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易错提醒：(1)幂函数f (x)＝(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数既不是奇函数也不是偶函数；
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
考点二　二次函数的解析式
[典例2]　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
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通性通法：求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
考点三　二次函数的图象和性质
　二次函数的图象
[典例3]　(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论，正确的为(　　)
A．b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5a_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
　二次函数的单调性与最值
[典例4]　已知函数f (x)＝x2－tx－1．
(1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)．
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[母题探究]
1．(变条件)本例中，若函数解析式不变，且对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时都有＞－2，则实数t的取值范围是________．
2．(变结论)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)．
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思维建模：二次函数最值模型(以典例4为例)
第1步　画图找轴
画出f (x)＝x2－tx－1的草图，如图．
第2步　判断对称轴和区间的位置
区间和对称轴的位置共有4种可能，如图所示．
第3步　求最值
需要分①≤－1；②≥2；③－1＜；④＜＜2四种情形讨论，并求最值．
几类特殊函数
1．一次分式函数
(1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数．
(2)图象
　
(3)性质
①定义域：；值域：；
②对称中心：；
③渐近线方程：x＝－和y＝；
④单调性：当ad>bc时，函数在区间和上分别单调递减；当ad[典例5]　已知函数f (x)＝，其中a∈R．
(1)若函数f (x)的图象关于点P(－1，3)对称，则实数a的值是________．
(2)若函数f (x)在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
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2．对勾函数
如图，对于函数f (x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞)．
(1)当∈[a，b]时，f (x)＝x＋≥2，f (x)min＝f ()＝＝2；
(2)当(3)当>b时，f (x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f (x)min＝f (b)＝b＋
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值．
[典例6]　函数f (x)＝x2＋的最小值是________．
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3．飘带函数y＝ax－(ab>0)
它是由一次函数y＝ax和反比例函数y＝相减而成．
(1)图象
(2)性质
①奇偶性：奇函数；
②单调性：当a＞0，b＞0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当a＜0，b＜0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；
③渐近线：x＝0．
[典例7]　(多选)已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a＞0时，f (x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a＞0时，f (x)的值域为R
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(链接考点一)幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
2．(链接考点三)(2025·榆林期末)已知函数f (x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，4] B．[0，4]
C．[0，2] D．[1，4]
3．(链接考点三)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
4．(链接考点二)(人教B版必修第一册P139复习题A组T8改编)已知y＝f (x)为二次函数，若y＝f (x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f (x)的图象经过原点，则函数解析式为________．
第13课时　幂函数与二次函数
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)y＝xα　(3)(1，1)　(0，0)
(1，1)　奇函数　偶函数
知识点2　(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(m，n)　零点　(2)R　－　　偶　减　增　增　减
链教材·夯基固本
1．－3　[由题意知8α＝2，解得α＝，所以f(x)＝，所以f(－27)＝＝－3．]
2．<　[由于函数y＝x3在R上单调递增，
且－1.5<－1.4，故(－1.5)3<(－1.4)3．]
3．(－∞，－3]　[因为二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上，所以函数f(x)在区间(－∞，1－a]上单调递减．
又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即a≤－3．
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．]
4．解：(1)配方得y＝x2＋2x＋5
＝(x2＋4x)＋5
＝(x2＋4x＋4－4)＋5
＝(x＋2)2＋3．
所以函数y＝x2＋2x＋5的图象可以由函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到．
(2)由(1)可知，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2．在区间(－∞，－2]上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间[－2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在x＝－2处取得最小值3，即ymin＝3．
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)B　(2)B　(3)BC　[(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：
当n>0时，n越大，y＝xn的增长速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝；
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2．
(2)由a＝，b＝，c＝，
得a＝，b＝，c＝．
因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且，
所以，即c(3)设f(x)＝xα，其图象经过点，
则3α＝，解得α＝－2，故f(x)＝，
那么f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
f(x)的值域为{y|y>0}，故B正确；
因为f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故C正确；
因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，在定义域上不是减函数，故D错误．故选BC．]
考点二
典例2　解：法一(利用二次函数的一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用二次函数的顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝．
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，
∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8．
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用二次函数的零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，即＝8．
解得a＝－4，故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
考点三
考向1　典例3　AD　[因为图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a．
根据抛物线开口向下，知a<0，
所以5a<2a，即5a考向2　典例4　解：f(x)＝x2－tx－1＝－1－．
(1)依题意，－1<<2，解得－2所以实数t的取值范围是(－2，4)．
(2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(2)＝3－2t．
②当－1<<2，即－2f(x)min＝f＝－1－．
③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝t．
综上，g(t)＝
母题探究
1．(－∞，2]　[不妨设x1>x2，则>－2可化为f(x1)＋2x1>f(x2)＋2x2，令g(x)＝f(x)＋2x＝x2－(t－2)x－1，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以≤0，解得t≤2．]
2．解：f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t，
当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，
∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t；
当t<1时，f(2)－f(－1)>0，
∴f(2)>f(－1)，
∴f(x)max＝f(2)＝3－2t，
综上有G(t)＝
教材拓展2
典例5　(1)3　(2)(－∞，1)　[(1)f(x)＝＝a＋，
所以f(x)的图象的对称中心为点(－1，a)，
由题意得a＝3．
(2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，
又由一次分式函数的性质知，
当且仅当1×(2－a)>1×a，
即a<1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
故实数a的取值范围是(－∞，1)．]
典例6　　[由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，
即当x＝0时，f(x)min＝．]
典例7　BCD　[当a>0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x<0时，x＋＝－≤－2
＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．]
随堂·对点检测
1．C　[因为函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1．
当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误；
当m＝－1时，f(x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．
函数f(x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误；
因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．
故选C．]
2．A　[已知函数f(x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，
又f(x)＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝2，且f(0)＝f(4)＝5，f(2)＝9，
∵函数f(x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，
∴由图可知，2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4]．
故选A．]
3．ACD　[由二次函数图象开口向下知a<0，
对称轴为x＝－＝1，
即2a＋b＝0，故b>0．
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0．
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，
f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0．故选ACD．]
4．f(x)＝x2－4x　[由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，
又图象过原点，
所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x．]
1 / 8(共82张PPT)
第二章　函数
第13课时　幂函数与二次函数
[考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
理法先行·题练固本
知识点1　幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
y＝xα
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减．
④当α为奇数时，y＝xα为________；当α为偶数时，y＝xα为________．
(1，1)
(0，0)
(1，1)
奇函数
偶函数
知识点2　二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f (x)＝____________________．
顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________．
零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的______．
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
零点
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 ____
R
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
值域
对称轴 x＝__________
顶点坐标 _____________
奇偶性 当b＝0时是____函数，当b≠0时既不是奇函数，也不是偶函数
－
偶
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
单调性 在上单调递____； 在上单调递____ 在上单调递____；
在上单调递____
减
增
增
减
[常用结论]
幂函数的性质
当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
【教用·常用结论】
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]．
(1)当－≤m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)；
(2)当m＜－＜时，最小值为f，最大值为f (n)；
(3)当＜－＜n时，最小值为f，最大值为f (m)；
(4)当－＝时，最小值为f，最大值为f (m)(或f (n))．
(5)当－≥n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)．
1．(人教B版必修第二册P37习题4－4 B T1)已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点(8，2)，则f (－27)＝________．
－3　[由题意知8α＝2，解得α＝，所以f (x)＝＝－3．]
－3
2．(人教A版必修第一册P91练习T2(1))比较大小：(－1.5)3________ (－1.4)3．
<　[由于函数y＝x3在R上单调递增，
且－1.5<－1.4，
故(－1.5)3<(－1.4)3．]
<
3．(湘教版必修第一册P82例3)若函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，则实数a的取值范围是____________．
(－∞，－3]
(－∞，－3]　[因为二次函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上，所以函数f (x)在区间(－∞，1－a]上单调递减．
又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即a≤－3．
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．]
4．(北师大版必修第一册P34例1)已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5．
(1)指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到；
(2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．
[解]　(1)配方得y＝x2＋2x＋5
＝(x2＋4x)＋5
＝(x2＋4x＋4－4)＋5
＝(x＋2)2＋3．
所以函数y＝x2＋2x＋5的图象可以由函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到．
(2)由(1)可知，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2．在区间(－∞，－2]上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间[－2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在x＝－2处取得最小值3，即ymin＝3．
考点深研·题型突破
考点一　幂函数的图象及性质
[典例1]　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
√
(2)(2026·郑州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c＜b＜a D．b√
(3)(多选)(2025·成都青白江区期末)已知幂函数f (x)的图象经过点，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(0，＋∞)
C．f (x)为偶函数
D．f (x)是其定义域上的减函数
√
√
(1)B　(2)B　(3)BC　[(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：
当n>0时，n越大，y＝xn的增长速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝；
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2．
(2)由a＝，b＝，c＝，
得a＝，b＝，c＝．
因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且<<，
所以<<，即c(3)设f (x)＝xα，其图象经过点，
则3α＝，解得α＝－2，故f (x)＝，
那么f (x)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
f (x)的值域为{y|y＞0}，故B正确；
因为f (－x)＝＝f (x)，则f (x)为偶函数，故C正确；
因为f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，在定义域上不是减函数，故D错误．
故选BC．]
易错提醒：(1)幂函数f (x)＝(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数既不是奇函数也不是偶函数；
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
【教用·通性通法】
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂函数值的大小时，必须结合幂函数值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点二　二次函数的解析式
[典例2]　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
[解]　法一(利用二次函数的一般式)：设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用二次函数的顶点式)：
设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f (2)＝f (－1)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，
∴n＝8，∴y＝f (x)＝a＋8．
∵f (2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用二次函数的零点式)：
由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f (x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，即＝8．
解得a＝－4，故所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
通性通法：求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
考点三　二次函数的图象和性质
考向1　二次函数的图象
[典例3]　(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论，正确的为(　　)
A．b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5a√
√
AD　[因为图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a．
根据抛物线开口向下，知a<0，
所以5a<2a，即5a通性通法：研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
考向2　二次函数的单调性与最值
[典例4]　已知函数f (x)＝x2－tx－1．
(1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)．
[解]　f (x)＝x2－tx－1＝－1－
(1)依题意，－1<<2，
解得－2所以实数t的取值范围是(－2，4)．
(2)①当≥2，即t≥4时，f (x)在[－1，2]上单调递减，
所以f (x)min＝f (2)＝3－2t．
②当－1<<2，即－2f (x)min＝f＝－1－
③当≤－1，即t≤－2时，f (x)在[－1，2]上单调递增，
所以f (x)min＝f (－1)＝t．
综上，g(t)＝
[母题探究]
1．(变条件)本例中，若函数解析式不变，且对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时都有＞－2，则实数t的取值范围是__________．
(－∞，2]
(－∞，2]　[不妨设x1＞x2，则＞－2可化为f (x1)＋2x1＞
f (x2)＋2x2，令g(x)＝f (x)＋2x＝x2－(t－2)x－1，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以≤0，解得t≤2．]
2．(变结论)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)．
[解]　f (－1)＝t，f (2)＝3－2t，f (2)－f (－1)＝3－3t，
当t≥1时，f (2)－f (－1)≤0，
∴f (2)≤f (－1)，∴f (x)max＝f (－1)＝t；
当t<1时，f (2)－f (－1)>0，
∴f (2)>f (－1)，
∴f (x)max＝f (2)＝3－2t，
综上有G(t)＝
思维建模：二次函数最值模型(以典例4为例)
第1步　画图找轴
画出f (x)＝x2－tx－1的草图，如图．
第2步　判断对称轴和区间的位置
区间和对称轴的位置共有4种可能，如图所示．
第3步　求最值
需要分①≤－1；②≥2；③－1＜；④＜＜2四种情形讨论，并求最值．
【教用·通性通法】　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
几类特殊函数
1．一次分式函数
(1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数．
(2)图象
(3)性质
①定义域：；值域：；
②对称中心：；
③渐近线方程：x＝－和y＝；
④单调性：当ad>bc时，函数在区间和上分别单调递减；当ad[典例5]　已知函数f (x)＝，其中a∈R．
(1)若函数f (x)的图象关于点P(－1，3)对称，则实数a的值是________．
(2)若函数f (x)在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是___________．
3
(－∞，1)　
(1)3　(2)(－∞，1)　[(1)f (x)＝＝＝a＋，
所以f (x)的图象的对称中心为点(－1，a)，
由题意得a＝3．
(2)由f (x)＝知直线x＝－1为f (x)的一条渐近线，
又由一次分式函数的性质知，
当且仅当1×(2－a)>1×a，
即a<1时，f (x)在(－1，＋∞)上单调递减，
故实数a的取值范围是(－∞，1)．]
2．对勾函数
如图，对于函数f (x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞)．
(1)当∈[a，b]时，f (x)＝x＋≥2，f (x)min＝f ()＝＝2；
(2)当(3)当>b时，f (x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f (x)min＝f (b)＝b＋
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值．
[典例6]　函数f (x)＝x2＋的最小值是________．
　[由f (x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f (t)＝t＋－2，
由对勾函数的性质知，f (t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f (t)min＝，
即当x＝0时，f (x)min＝]
　
3．飘带函数y＝ax－(ab>0)
它是由一次函数y＝ax和反比例函数y＝相减而成．
(1)图象
(2)性质
①奇偶性：奇函数；
②单调性：当a＞0，b＞0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当a＜0，b＜0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；
③渐近线：x＝0．
[典例7]　(多选)已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a＞0时，f (x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a＞0时，f (x)的值域为R
√
√
√
BCD　[当a＞0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→0时，f (x)→－∞，故f (x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f (x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．]
1．(链接考点一)幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 B．f (x)是减函数
C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数
√
C　[因为函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1．
当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误；
当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．
函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误；
因为函数定义域关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C．]
2．(链接考点三)(2025·榆林期末)已知函数f (x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，4] B．[0，4]
C．[0，2] D．[1，4]
√
A　[已知函数f (x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，
又f (x)＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝2，且f (0)＝f (4)＝5，f (2)＝9，
∵函数f (x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，
∴由图可知，2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4]．
故选A．]
3．(链接考点三)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
√
√
√
ACD　[由二次函数图象开口向下知a<0，
对称轴为x＝－＝1，
即2a＋b＝0，故b>0．
又因为f (0)＝c>0，所以abc<0．
f (2)＝f (0)＝4a＋2b＋c>0，
f (3)＝f (－1)＝9a＋3b＋c<0．故选ACD．]
4．(链接考点二)(人教B版必修第一册P139复习题A组T8改编)已知y＝
f (x)为二次函数，若y＝f (x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f (x)的图象经过原点，则函数解析式为________________．
f (x)＝x2－4x　[由题意，可设f (x)＝a(x－2)2－4(a>0)，
又图象过原点，
所以f (0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f (x)＝(x－2)2－4＝x2－4x．]
f (x)＝x2－4x
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P91习题3.3 T3改编)已知幂函数f (x)＝x4-m (m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数m＝
(　　)
A．1 B．2
C．1或3 D．3
√
课时作业(十三)　幂函数与二次函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[因为f (x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，
所以m<4．又因为m∈N*，所以m＝1，2，3．
又因为f (x)＝x4-m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3．故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2026·济南模拟)若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f (1)＝f (3)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f (1)C．f (4)题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[因为f (1)＝f (3)，所以二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，
又因为a<0，所以f (4)又f (1)＝f (3)，所以f (4)题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2025·青岛质检)如图所示是函数y＝ (m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[由题图可知y＝为偶函数，
且在(0，＋∞)上单调递增，结合题图在(0，＋∞)上的增长趋势可知，∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2025·梧州期末)若x∈R，函数f (x)＝ax2－2x＋的值域是[0，＋∞)，且m≠n，则下列结论中错误的是(　　)
A．a＞0
B．ab＝4
C．若f (m)＝f (n)，则m＋n＝
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[A中，由函数的值域可得a＞0，所以A正确；
B中，由题意可得f (x)min＝f＝a·－2·＝0，可得ab＝4，所以B正确；
C中，因为f (m)＝f (n)，可得m＋n＝，所以C错误；
D中，由B选项分析，可得＝，所以D正确．
故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、多项选择题
5．(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的解析式是f (x)＝
B．f (x)为偶函数
C．f (x)既不是奇函数也不是偶函数
D．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
ACD　[依题意设f (x)＝xα，因为图象过点，所以2α＝，解得α＝－，所以f (x)＝，A正确；f (x)的图象大致如图所示，因为x∈(0，＋∞)，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数，B错误，C正确；由图象可知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．(2025·汉中月考)函数f (x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
√
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
BD　[因为f (x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝xa，
对于A，当a＝－1时，f (x)＝－x2－2x＋1，其图象开口向下，对称轴方程为x＝－1，g(x)＝x-1＝，其图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，故A满足要求；
对于B，当f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时，a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，故B不满足要求；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于C，当a＝时，f (x)＝x2－2x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝2，g(x)＝，g(x)在[0，＋∞)上单调递增，且图象越来越平缓，故C满足要求；
对于D，当f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x＝－＝>0，故D不满足要求．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
三、填空题
7．(苏教版必修第一册P139例1改编)有四个幂函数：①f (x)＝x-1；②f (x)＝x-2；③f (x)＝x3；④f (x)＝．某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
②
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
②　[对于函数①，f (x)＝x-1是奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f (x)＝x-2是偶函数，值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断函数③④不符合题意．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间上不具有单调性，则实数k的取值范围是__________．
(－1，2)　[∵函数f (x)＝2x2－4kx－5图象的对称轴为直线x＝k，函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间上不具有单调性．
∴－1∴实数k的取值范围是(－1，2)．]
(－1，2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
四、解答题
9．已知二次函数f (x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x＝2，且方程f (x)＝0的两个根的平方和为10，求f (x)的解析式．
[解]　依题意，设函数f (x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，
由二次函数f (x)的图象过点(0，3)，得f (0)＝3，
所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
所以f (x)＝a(x－2)2＋3－4a，
令f (x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，
所以ax2－4ax＋3＝0．
设方程f (x)＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝4，x1x2＝，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
所以16－＝10，解得a＝1，
所以f (x)＝x2－4x＋3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
10．(2025·福州段考)已知二次函数f (x)＝ax2－x＋2a－1．
(1)若f (x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f (x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
[解]　(1)由题意知a≠0．
当a>0时，f (x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f (x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
又a>0，所以0当a<0时，f (x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，
所以f (x)在区间[1，2]上单调递减恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)①当0<≤1，即a≥时，
f (x)在区间[1，2]上单调递增，
此时g(a)＝f (1)＝3a－2．
②当1<<2，即f (x)在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
此时g(a)＝f ＝2a－－1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
③当≥2，即0综上所述，g(a)＝
谢谢！课时作业(十三)　幂函数与二次函数
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P91习题3.3 T3改编)已知幂函数f (x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．1或3 D．3
2．(2026·济南模拟)若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f (1)＝f (3)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f (1)C．f (4)3．(2025·青岛质检)如图所示是函数y＝ (m，n∈N*且互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
4．(2025·梧州期末)若x∈R，函数f (x)＝ax2－2x＋的值域是[0，＋∞)，且m≠n，则下列结论中错误的是(　　)
A．a＞0
B．ab＝4
C．若f (m)＝f (n)，则m＋n＝
D．
二、多项选择题
5．(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的解析式是f (x)＝
B．f (x)为偶函数
C．f (x)既不是奇函数也不是偶函数
D．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
6．(2025·汉中月考)函数f (x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
三、填空题
7．(苏教版必修第一册P139例1改编)有四个幂函数：①f (x)＝x-1；②f (x)＝x-2；③f (x)＝x3；④f (x)＝．某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
8．(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间上不具有单调性，则实数k的取值范围是________．
四、解答题
9．已知二次函数f (x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x＝2，且方程f (x)＝0的两个根的平方和为10, 求f (x)的解析式．
10．(2025·福州段考)已知二次函数f (x)＝ax2－x＋2a－1．
(1)若f (x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f (x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
课时作业(十三)
1．C　[因为f (x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，
所以m<4．又因为m∈N*，所以m＝1，2，3．
又因为f (x)＝x4-m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3．故选C．]
2．B　[因为f (1)＝f (3)，所以二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，
又因为a<0，所以f (4)又f (1)＝f (3)，所以f (4)3．B　[由题图可知y＝为偶函数，
且在(0，＋∞)上单调递增，结合题图在(0，＋∞)上的增长趋势可知，∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．]
4．C　[A中，由函数的值域可得a＞0，所以A正确；
B中，由题意可得f (x)min＝f＝a·－2·＝0，可得ab＝4，所以B正确；
C中，因为f (m)＝f (n)，可得m＋n＝，所以C错误；
D中，由B选项分析，可得＝，所以D正确．
故选C．]
5．ACD　[
依题意设f (x)＝xα，因为图象过点，所以2α＝，解得α＝－，所以f (x)＝，A正确；f (x)的图象大致如图所示，因为x∈(0，＋∞)，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数，B错误，C正确；由图象可知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，D正确．故选ACD．]
6．BD　[因为f (x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝xa，
对于A，当a＝－1时，f (x)＝－x2－2x＋1，其图象开口向下，对称轴方程为x＝－1，g(x)＝x-1＝，其图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，故A满足要求；
对于B，当f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时，a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，故B不满足要求；
对于C，当a＝时，f (x)＝x2－2x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝2，g(x)＝，g(x)在[0，＋∞)上单调递增，且图象越来越平缓，故C满足要求；
对于D，当f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x＝－＝>0，故D不满足要求．故选BD．]
7．②　[对于函数①，f (x)＝x-1是奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f (x)＝x-2是偶函数，值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断函数③④不符合题意．]
8．(－1，2)　[∵函数f (x)＝2x2－4kx－5图象的对称轴为直线x＝k，函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间上不具有单调性．
∴－1∴实数k的取值范围是(－1，2)．]
9．解：依题意，设函数f (x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，
由二次函数f (x)的图象过点(0，3)，得f (0)＝3，
所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，
所以f (x)＝a(x－2)2＋3－4a，
令f (x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，
所以ax2－4ax＋3＝0．
设方程f (x)＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝4，x1x2＝，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
所以16－＝10，解得a＝1，
所以f (x)＝x2－4x＋3．
10．解：(1)由题意知a≠0．
当a>0时，f (x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f (x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，
又a>0，所以0当a<0时，f (x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，
所以f (x)在区间[1，2]上单调递减恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，0)
(2)①当0<≤1，即a≥时，
f (x)在区间[1，2]上单调递增，
此时g(a)＝f (1)＝3a－2．
②当1<<2，即f (x)在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
此时g(a)＝f＝2a－－1．
③当≥2，即0综上所述，g(a)＝
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