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第14课时　指数运算与对数运算
[考试要求]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．掌握指数、对数运算在实际问题中的应用．
知识点1　根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：①______没有偶次方根．
②0的任何次方根都是0，记作＝___．
③()n＝___ (n∈N*，且n>1)．
④＝a(n为大于1的奇数)．
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
知识点2　分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂没有意义．
知识点3　指数幂的运算性质
aras＝_______ ；(ar)s＝_____ ；(ab)r＝______．
注：a>0，b>0，r，s∈R．
知识点4　对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝_______，其中___ 叫做对数的底数，___ 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作_______．
以e为底的对数叫做自然对数，记作_______．
知识点5　对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝___，logaa＝___， ＝___ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝______________；
②loga＝______________；
③logaMn＝________ (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝
[常用结论]
1．乘法公式的常见变形，如()＝a－b(a，b>0)，
＝a±2＋b(a，b>0)，
＝a±b(a，b>0)．
2．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．
＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．
1．(人教A版必修第一册P105例1)求下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)；(4)
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2．(北师大版必修第一册P77例2)计算：
(1)；(2)2；(3)．
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3．(人教B版必修第二册P7例3)化简下列各式：
；(2)
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4．(多选)(人教A版必修第一册P123例2改编)下列各式中x的值计算正确的是(　　)
A．若log64x＝－，则x＝
B．若logx8＝6，则x＝
C．若lg 100＝x，则x＝10
D．若－ln e2＝x 则x＝－2
5．(多选)(人教A版必修第一册P126练习T1、T3(2)改编)下列各式正确的是(　　)
A．log3(27×92)＝5
B．2(log43＋log83)(log32＋log92)＝
C．ln 3＋ln ＝0
D．log35－log315＝
考点一　指数运算
[典例1]　＋(－8＋80.25×＝________．
(2)化简：÷(a>0，b>0)＝________．
(3)(人教A版必修第一册P110习题4.1T8)已知＝3，则a＋a-1＝________ ；a2＋a-2＝________．
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通性通法：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点二　对数式的化简与求值
　对数的运算与化简
[典例2]　(1)(多选)(2025·鞍山市立山区期末)下列结论正确的是(　　)
A．log2＝18
B．ln e＋lg 1＋2log23＋ln 10lg e＝5
C．log3－log3＋lg＋lg＝2
D．若log2[log3(lg x)]＝1，则实数x＝106
(2)(2025·盐城期末)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　)
A．2a＋b B．2b＋a
C． D．
(3)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则实数a＝________．
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　指数与对数的综合运算
[典例3]　(1)(2026·红河州模拟)若3a＝5b＝15，则＝(　　)
A．1 B．log35
C．log53 D．2
(2)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则实数a＝________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意相互转化．
(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式．
考点三　实际问题中的指数与对数的运算
[典例4]　(1)(2026·成都模拟)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　)
A．1 B．1
C．1 D．1
(2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　)
A．2 B．4
C．20 D．40
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：利用指数、对数运算解决实际问题时，认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题．
1．(链接考向1)(北师大版必修第一册P106习题4-2 A组T2)下列结论正确的是(　　)
A．若log2x＝3，则x＝6
B．若e＝ln x，则x＝e2
C．lg(ln e)＝0
D．
2．(链接考点一)(多选)(2025·随州月考)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是(　　)
A．＝a B．()4＝a
C． D．
3．(链接考点三)(2025·广州月考)已知某湖水中的内源类有机物含量f (t)与时间t(单位：天)的关系满足函数f (t)＝mat(a＞0，且a≠1)，且第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，若第t1天时其含量为800，则t1＝(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
4．(链接考向2)若正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，且＝2，则实数t＝________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第14课时　指数运算与对数运算
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)根式　(2)负数　0　a　a　－a
知识点2　0
知识点3　ar+s　ars　arbr　
知识点4　logaN　a　N　lg N　ln N
知识点5　(1)0　1　N　(2)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM
链教材·夯基固本
1．解：(1)＝－8；
(2)＝|－10|＝10；
(3)＝|3－π|＝π－3；
(4)＝|a－b|＝
2．解：(1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b>0)，所以＝8．
(2)由负分数指数幂的定义，得2．
设b＝2，由定义，得b3＝27，b＝3，所以2．
(3)由负分数指数幂的定义，得＝1＝(42＝43＝64．
3．解：(1)原式＝×5××＝24x0＝24．
(2)原式＝
＝．
4．ABD　[对于A，因为log64x＝－，所以
x＝6＝(43＝4-2＝，A正确；
对于B，因为logx8＝6，所以x6＝8．又x>0，所以x＝＝(23，B正确；
对于C，因为lg 100＝x，所以10x＝100，10x＝102，于是x＝2，C错误；
对于D，因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e-x，于是x＝－2，D正确．
故选ABD．]
5．BC　[对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7，故A错误；对于B，2(log43＋log83)·(log32＋log92)＝2log23×，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C正确；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误．故选BC．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)π＋　(2)　(3)7　47
[(1)＋(－8＋80.25×＋
＝＋(－2)2＋×＋π－2
＝＋4＋2＋π－2
＝π＋．
(2)÷
＝÷
＝ab÷(a-3b-3
＝ab÷a2b2＝．
(3)由＝3，得a＋a-1＋2＝9，即a＋a-1＝7，
则a2＋a-2＋2＝49，即a2＋a-2＝47．]
考点二
考向1　典例2　(1)AB　(2)D　(3)64
[(1)log2×log38×lo27＝××××＝18，故A正确；ln e＋lg 1＋＋ln 10lg e＝1＋0＋3＋1＝5，故B正确；log3－log3＋lg＋lg＝log3－1－3＋lg－4＋＝－2，故C错误；因为log2[log3(lg x)]＝1，所以log3(lg x)＝2，所以lg x＝9，所以x＝109，故D错误．故选AB．
(2)因为a＝lg 2，b＝lg 3，
所以log1210＝
＝．
故选D．
(3)由题意log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1，
所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．]
考向2　典例3　(1)A　(2)e　[(1)由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515，
所以＝log153＋log155＝log1515＝1．
故选A．
(2)f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4
＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，
∴aln 2＝2，∴a＝e．]
考点三
典例4　(1)D　(2)B　[(1)设北极星的亮度为I1，牛郎星的亮度为I2，
由题意可得2＝－lg，
0.8＝－lg，
所以I1＝I0·1，I2＝I0·1＝1．
故选D．
(2)由题意知，klog2(1.024×109)－klog2106＝20，即klog2＝20，
所以klog21 024＝20，解得k＝＝2，
所以2log2(4.096×109)－2log2(1.024×109)＝2log2＝2log24＝2×2＝4．
故选B．]
随堂·对点检测
1．C　[若log2x＝3，则x＝23＝8，故A错误；若e＝ln x，则x＝ee，故B错误；lg(ln e)＝lg 1＝0，故C正确；，故D错误．故选C．]
2．BCD　[≠a，故A错误；
＝a，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选BCD．]
3．C　[f(t)＝mat，第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，
则(负值已舍去)，
所以f(t)＝25×()t，则f(t1)＝25×(＝800，解得t1＝9．
故选C．]
4．　[因为正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，
所以m＝log5t，n＝log7t，
所以＝logt5＋logt7＝logt35＝2，
所以t2＝35，
又因为t>0，
所以t＝．]
1 / 6(共68张PPT)
第二章　函数
第14课时　指数运算与对数运算
[考试要求]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．掌握指数、对数运算在实际问题中的应用．
理法先行·题练固本
知识点1　根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：①______没有偶次方根．
②0的任何次方根都是0，记作＝___．
根式
负数
0
③()n＝___ (n∈N*，且n>1)．
④＝a(n为大于1的奇数)．
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
a
知识点2　分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂没有意义．
0
知识点3　指数幂的运算性质
aras＝_______ ；(ar)s＝_____ ；(ab)r＝______．
注：a>0，b>0，r，s∈R．
知识点4　对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝_______，其中___ 叫做对数的底数，___ 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作_______．
以e为底的对数叫做自然对数，记作_______．
ar＋s
ars
arbr
logaN
a
N
lg N
ln N
知识点5　对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝___，logaa＝___， ＝___ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝______________；
②loga＝______________；
③logaMn＝________ (n∈R)．
0
1
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
(3)对数换底公式：logab＝
[常用结论]
1．乘法公式的常见变形，如()＝a－b(a，b>0)，
＝a±2＋b(a，b>0)，
＝a±b(a，b>0)．
2．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．
＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．
1．(人教A版必修第一册P105例1)求下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)；(4)
[解]　(1)＝－8；
(2)＝|－10|＝10；
(3)＝|3－π|＝π－3；
(4)＝|a－b|＝
2．(北师大版必修第一册P77例2)计算：
(1)；(2)2；(3)．
[解]　 (1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b>0)，所以＝8．
(2)由负分数指数幂的定义，得2．
设b＝2，由定义，得b3＝27，b＝3，所以2．
(3)由负分数指数幂的定义，得＝1＝(42＝43＝64．
3．(人教B版必修第二册P7例3)化简下列各式：
；(2)
[解]　 (1)原式＝×5××＝24x0＝24．
(2)原式＝
＝．
4．(多选)(人教A版必修第一册P123例2改编)下列各式中x的值计算正确的是(　　)
A．若log64x＝－，则x＝
B．若logx8＝6，则x＝
C．若lg 100＝x，则x＝10
D．若－ln e2＝x 则x＝－2
√
√
√
ABD　[对于A，因为log64x＝－，所以
x＝＝＝4-2＝，A正确；
对于B，因为logx8＝6，所以x6＝8．又x>0，所以
x＝＝(23，B正确；
对于C，因为lg 100＝x，所以10x＝100，10x＝102，于是x＝2，C错误；
对于D，因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，
于是x＝－2，D正确．故选ABD．]
5．(多选)(人教A版必修第一册P126练习T1、T3(2)改编)下列各式正确的是(　　)
A．log3(27×92)＝5
B．2(log43＋log83)(log32＋log92)＝
C．ln 3＋ln ＝0
D．log35－log315＝
√
√
BC　[对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7，故A错误；对于B，2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2＝log23×＝，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C正确；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误．故选BC．]
考点深研·题型突破
考点一　指数运算
[典例1]　＋(－8＋80.25×＝________．
(2)化简：÷(a>0，b>0)＝________．
(3)(人教A版必修第一册P110习题4.1T8)已知＝3，则a＋a-1＝________ ；a2＋a-2＝________．
π＋
　
7　
47
(1)π＋　(2)　(3)7　47　[(1)＋(－8＋80.25×
＝＋(－2)2＋×＋π－2
＝＋4＋2＋π－2
＝π＋
(2)÷
＝÷
＝
＝ab÷a2b2＝
(3)由＝3，得a＋a-1＋2＝9，即a＋a-1＝7，
则a2＋a-2＋2＝49，即a2＋a-2＝47．]
通性通法：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点二　对数式的化简与求值
考向1　对数的运算与化简
[典例2]　(1)(多选)(2025·鞍山市立山区期末)下列结论正确的是
(　　)
A．log2＝18
B．ln e＋lg 1＋2log23＋ln 10lg e＝5
C．log3－log3＋lg＋lg＝2
D．若log2[log3(lg x)]＝1，则实数x＝106
√
√
(2)(2025·盐城期末)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　)
A．2a＋b B．2b＋a
C． D．
(3)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则实数a＝________．
√
64
(1)AB　(2)D　(3)64　[(1)log2×log38×lo27＝××××＝18，故A正确；ln e＋lg 1＋＋ln 10lg e＝1＋0＋3＋1＝5，故B正确；log3－log3＋lg＋lg＝log3－1－3＋lg－4＋＝－2，故C错误；因为log2[log3(lg x)]＝1，所以log3(lg x)＝2，所以lg x＝9，所以x＝109，故D错误．故选AB．
(2)因为a＝lg 2，b＝lg 3，
所以log1210＝＝＝＝
故选D．
(3)由题意＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1，
所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．]
考向2　指数与对数的综合运算
[典例3]　(1)(2026·红河州模拟)若3a＝5b＝15，则＝(　　)
A．1 B．log35
C．log53 D．2
(2)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则实数a＝________．
√
e　
(1)A　(2)e　[(1)由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515，
所以＝＝log153＋log155＝log1515＝1．
故选A．
(2)f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4
＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，
∴aln 2＝2，∴a＝e．]
通性通法：对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意相互转化．
(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式．
考点三　实际问题中的指数与对数的运算
[典例4]　(1)(2026·成都模拟)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　)
A．1 B．1
C．1 D．1
√
(2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　)
A．2 B．4
C．20 D．40
√
(1)D　(2)B　[(1)设北极星的亮度为I1，牛郎星的亮度为I2，
由题意可得2＝－lg ，0.8＝－lg ，
所以I1＝，I2＝，所以＝＝
故选D．
(2)由题意知，klog2(1.024×109)－klog2106＝20，即klog2＝20，
所以klog21 024＝20，解得k＝＝＝2，
所以2log2(4.096×109)－2log2(1.024×109)＝2log2＝2log24＝2×2＝4．
故选B．]
通性通法：利用指数、对数运算解决实际问题时，认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题．
【教用·备选题】
(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　)
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C． D．
√
D　[由题意得＝2.1，＝3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即
2ln N1＝3ln N2，所以＝]
1．(链接考向1)(北师大版必修第一册P106习题4-2 A组T2)下列结论正确的是(　　)
A．若log2x＝3，则x＝6
B．若e＝ln x，则x＝e2
C．lg(ln e)＝0
D．
√
C　[若log2x＝3，则x＝23＝8，故A错误；若e＝ln x，则x＝ee，故B错误；lg(ln e)＝lg 1＝0，故C正确；＝，故D错误．故选C．]
2．(链接考点一)(多选)(2025·随州月考)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是(　　)
A．＝a B．()4＝a
C． D．
√
√
√
BCD　[≠a，故A错误；
＝a，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选BCD．]
3．(链接考点三)(2025·广州月考)已知某湖水中的内源类有机物含量f (t)与时间t(单位：天)的关系满足函数f (t)＝mat(a＞0，且a≠1)，且第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，若第t1天时其含量为800，则t1＝(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
√
C　[f (t)＝mat，第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，
则解得(负值已舍去)，
所以f (t)＝25×()t，则f (t1)＝＝800，解得t1＝9．
故选C．]
4．(链接考向2)若正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，且＝2，则实数t＝________．
　[因为正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，
所以m＝log5t，n＝log7t，
所以＝＝logt5＋logt7＝logt35＝2，
所以t2＝35，
又因为t＞0，
所以t＝]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·常州期末) ＝(　　)
A．－5 B．
C． D．5
课时作业(十四)　指数运算与对数运算
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[原式＝＝5．
故选D．]
√
2．(人教A版必修第一册P106例3改编)下列各式错误的是(式中字母均是正数)(　　)
A． B．＝a
C．(＝36 D．＝－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[对于＝，故A正确；
对于B，＝|a|＝a，故B正确；
对于C，(＝62＝36，故C正确；
对于D，，故D错误．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2026·焦作模拟)下列等式成立的是(　　)
A．＝3
B．＝2
C．lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝0
D．(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[＝＝1，A不成立；
＝＝＝1，B不成立；
lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，C成立；
(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，D不成立．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·六盘水市水城区期末)已知a＝log52，2b＝3，则log1210＝
(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为2b＝3，a＝log52，则b＝log23，
log25＝，所以log1210＝＝＝＝＝
故选C．]
题号
1
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2
4
6
8
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9
10
11
12
√
5．(2025·兴宁市月考)已知2a＝3b＝t，且＝2，则实数t＝(　　)
A． B．2
C．±2 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由2a＝t可得a＝log2t，
所以＝logt2，
由3b＝t可得b＝log3t，
所以＝logt3，
故＝2logt2＋logt3＝logt4＋logt3＝logt12＝2，
故t2＝12，由于t＞0，
故t＝2
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·杭州月考)石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度．在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量Yt与超声处理时间t(单位：分钟)满足lg Yt＝t lg (1＋k)＋lg Y0，其中Y0为初始颗粒数量，k为团聚速率常数．已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数k约为(参考数据：≈1.778)(　　)
A．56.2% B．77.8%
C．115.4% D．118.4%
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
C　[由题意，可得lg (100Y0)＝6lg (1＋k)＋lg Y0，
即2＋lg Y0＝6lg (1＋k)＋lg Y0，所以lg (1＋k)＝，
所以1＋k＝≈2.154，所以k≈1.154＝115.4%．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P109习题4.1 T5改编)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　)
A．0.2＋()0－2-1＝0
B．＋(0.008×＋(π－1)0＝
C．(2)(－6)÷(－3)＝1
D．若＝，则＝
题号
1
3
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4
6
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7
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10
11
12
√
BD　[对于＋()0－2-1＝0.5＋1－＝1，A错误；
对于＋(π－1)0＝－＋1＝＋25×＋1＝＋2＝，B正确；
对于C，原式＝÷＝[2×(－6)÷(－3)] ·＝4ab0＝4a，C错误；
题号
1
3
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2
4
6
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9
10
11
12
对于D，当＝时＝x＋2＋x-1＝6，得x＋x-1＝4，由(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝16，得x2＋x-2＝14，所以＝＝，D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
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6
8
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10
11
12
√
8．(2025·湖州期末)已知a＝log25，b＝log3，则(　　)
A．ab＞0 B．4a·9b＝1
C．＞1 D．log612＝
题号
1
3
5
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4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[对于A，b＝log3＜log31＝0，a＝log25＞log21＝0，所以ab＜0，故A错误；
对于B，因为a＝log25，b＝log3，所以由对数的定义知，2a＝5，3b＝，
则4a·9b＝(2a)2·(3b)2＝52·＝1，故B正确；
对于C，由对数的运算性质知，
＝log52－lo3＝log52＋log53＝log56＞1，故C正确；
题号
1
3
5
2
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6
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10
11
12
对于D，由对数的运算性质知，
＝＝
＝＝＝＝log612，故D正确．
故选BCD．]
题号
1
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11
12
√
9．(2025·平顶山期末)下列命题中正确的是(　　)
A．设a>0，
B．已知2a＋b＝1，则＝3
C．
D．若loga4＝m，loga5＝n则a2m+n＝40
题号
1
3
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11
12
√
BC　[对选项A，a>0，，故A错误；
对选项B，因为2a＋b＝1，所以＝3，故B正确；
对选项C，＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝，故C正确；
对选项D，因为loga4＝m，loga5＝n，所以am＝4，an＝5，
所以a2m+n＝(am)2·an＝42×5＝80，故D错误．
故选BC．]
题号
1
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11
12
三、填空题
10．(2026·南京模拟)3log34－log29×log32＋lg ＋2lg 2－＝________．
题号
1
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10
11
12
1　[原式＝4－2log23×log32＋lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝4－2＋lg 5＋lg 2－2＝4－2＋1－2＝1．]
1
11．(2026·武汉模拟)已知a，b＞0且＝1，若2a＝5b＝k，则实数k＝________．
题号
1
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10
11
12
10　[∵2a＝5b＝k，∴a＝log2k，b＝log5k，
∴＝logk2＋logk5＝logk10＝1，解得k＝10．]
10
题号
1
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4
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10
11
12
12．(人教A版必修第一册P141习题4.4 T10)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，则其声强级为________dB；一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，则人听觉的声强级(单位：dB)范围为__________．
60
[0，120]　
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
60　[0，120]　[当I＝10-6时，LI＝10lg＝10lg 106＝60，所以声强级为60 dB．
当I＝1时，LI＝10lg ＝120；
当I＝10-12时，LI＝10lg 1＝0，所以人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．]
谢谢！课时作业(十四)　指数运算与对数运算
一、单项选择题
1．(2025·常州期末) ＝(　　)
A．－5 B．
C． D．5
2．(人教A版必修第一册P106例3改编)下列各式错误的是(式中字母均是正数)(　　)
A． B．＝a
C．(＝36 D．＝－
3．(2026·焦作模拟)下列等式成立的是(　　)
A．＝3
B．＝2
C．lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝0
D．(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2
4．(2025·六盘水市水城区期末)已知a＝log52，2b＝3，则log1210＝(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·兴宁市月考)已知2a＝3b＝t，且＝2，则实数t＝(　　)
A． B．2
C．±2 D．12
6．(2025·杭州月考)石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度．在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量Yt与超声处理时间t(单位：分钟)满足lg Yt＝t lg (1＋k)＋lg Y0，其中Y0为初始颗粒数量，k为团聚速率常数．已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数k约为(参考数据：≈1.778)(　　)
A．56.2% B．77.8%
C．115.4% D．118.4%
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P109习题4.1 T5改编)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　)
A．0.2＋()0－2-1＝0
B．＋(0.008×＋(π－1)0＝
C．(2)(－6)÷(－3)＝1
D．若＝，则＝
8．(2025·湖州期末)已知a＝log25，b＝log3，则(　　)
A．ab＞0 B．4a·9b＝1
C．＞1 D．log612＝
9．(2025·平顶山期末)下列命题中正确的是(　　)
A．设a>0，
B．已知2a＋b＝1，则＝3
C．
D．若loga4＝m，loga5＝n则a2m+n＝40
三、填空题
10．(2026·南京模拟)3log34－log29×log32＋lg ＋2lg 2－＝________．
11．(2026·武汉模拟)已知a，b＞0且＝1，若2a＝5b＝k，则实数k＝________．
12．(人教A版必修第一册P141习题4.4 T10)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，则其声强级为________dB；一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，则人听觉的声强级(单位：dB)范围为________．
课时作业(十四)
1．D　[原式＝2log25＝5．
故选D．]
2．D　[对于＝，故A正确；
对于B，＝|a|＝a，故B正确；
对于C，(＝62＝36，故C正确；
对于D，，故D错误．故选D．]
3．C　[＝＝1，A不成立；
＝＝＝1，B不成立；
lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，C成立；
(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，D不成立．故选C．]
4．C　[因为2b＝3，a＝log52，则b＝log23，
log25＝，所以log1210＝＝＝＝＝
故选C．]
5．B　[由2a＝t可得a＝log2t，
所以＝logt2，
由3b＝t可得b＝log3t，
所以＝logt3，
故＝2logt2＋logt3＝logt4＋logt3＝logt12＝2，
故t2＝12，由于t＞0，
故t＝2
故选B．]
6．C　[由题意，可得lg (100Y0)＝6lg (1＋k)＋lg Y0，
即2＋lg Y0＝6lg (1＋k)＋lg Y0，所以lg (1＋k)＝，
所以1＋k＝≈2.154，所以k≈1.154＝115.4%．故选C．]
7．BD　[对于＋()0－2-1＝0.5＋1－＝1，A错误；
对于＋(π－1)0＝－＋1＝＋25×＋1＝＋2＝，B正确；
对于C，原式＝÷＝[2×(－6)÷(－3)]·＝4ab0＝4a，C错误；
对于D，当＝时＝x＋2＋x-1＝6，得x＋x-1＝4，由(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝16，得x2＋x-2＝14，所以＝＝，D正确．故选BD．]
8．BCD　[对于A，b＝log3＜log31＝0，a＝log25＞log21＝0，所以ab＜0，故A错误；
对于B，因为a＝log25，b＝log3，所以由对数的定义知，2a＝5，3b＝，
则4a·9b＝(2a)2·(3b)2＝52·＝1，故B正确；
对于C，由对数的运算性质知，
＝log52－lo3＝log52＋log53＝log56＞1，故C正确；
对于D，由对数的运算性质知，
＝＝
＝＝＝＝log612，故D正确．
故选BCD．]
9．BC　[对选项A，a>0，，故A错误；
对选项B，因为2a＋b＝1，所以＝3，故B正确；
对选项C，＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝，故C正确；
对选项D，因为loga4＝m，loga5＝n，所以am＝4，an＝5，
所以a2m+n＝(am)2·an＝42×5＝80，故D错误．
故选BC．]
10．1　[原式＝4－2log23×log32＋lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝4－2＋lg 5＋lg 2－2＝4－2＋1－2＝1．]
11．10　[∵2a＝5b＝k，∴a＝log2k，b＝log5k，
∴＝logk2＋logk5＝logk10＝1，解得k＝10．]
12．60　[0，120]　[当I＝10-6时，LI＝10lg＝10lg 106＝60，所以声强级为60 dB．
当I＝1时，LI＝10lg ＝120；
当I＝10-12时，LI＝10lg 1＝0，所以人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．]
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