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第15课时　指数函数
[考试要求]　1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
知识点2　指数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 _____________
性质 过定点__________，即x＝0时，y＝1
当x>0时，______； 当x<0时，_________ 当x<0时，______； 当x>0时，_________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
[常用结论]
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0．
1．(人教B版必修第二册P13练习AT1)已知指数函数的图象过点(2，81)，则这个指数函数的解析式是________．
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2．(人教A版必修第一册P118练习T2改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a3．(多选)(苏教版必修第一册P165本章测试T5改编)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为(　　)
A．2 B．
C． D．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P119习题4.2 T3改编)已知2x-1<23-x，则实数x的取值范围是________．
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考点一　指数函数的概念与图象
[典例1]　(1)(多选)下列选项正确的是(　　)
A．若函数f (x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝
B．指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的值域为(0，＋∞)
C．函数y＝ax+1(a>0，且a≠1)的图象可以由f (x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到
D．函数y＝a2x+3－1(a>0，且a≠1)恒过定点
(2)(2025·上海市宝山区期末)如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)满足关系式：y＝at(a＞0，且a≠1)，则浮萍面积从4 m2到12 m2至少需要经过 ________ 个月．(log23≈1.6)
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通性通法：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
考点二　指数函数的性质及应用
　比较大小
[典例2]　(2026·济南模拟)若函数f (x)定义域为R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f (x)＝3x－1，则有(　　)
A．f＜f＜f
B．f＜f＜f
C．f＜f＜f
D．f ＜f＜f
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[多维变迁]
(2025·无锡三模)已知函数f (x)＝ex＋e－x，若a＝f (21.1)，b＝f (－1)，c＝f (log23)，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
　解指数方程或不等式
[典例3]　(1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　)
A．[2，4] B．(－∞，0)
C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2]
(2)(2025·武汉质检)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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　指数函数性质的综合应用
[典例4]　(2025·上海市静安区期末)已知函数f (x)＝1－是定义域为R的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数y＝f (x)的单调性；
(2)写出函数y＝f (x)的值域．
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通性通法：(1)比较指数式的大小的方法
①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．
(2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
(3)涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
1．(链接考点一)(2025·阜阳期末)四个指数函数y＝2x，y＝3x，y＝，y＝的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x
2．(链接考点一)(2025·石家庄期末)函数y＝3ax-2＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　)
A．(2，6) B．(2，4)
C．(1，6) D．(1，4)
3．(链接考向1)(2026·扬州模拟)若a＝()3，b＝，c＝，则有(　　)
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
4．(链接考向3)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
5．(链接考向2)(2026·上海模拟)不等式2x2－2x－3<的解集为________．
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第15课时　指数函数
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点2　(0，＋∞)　(0，1)　y>1　01　0链教材·夯基固本
1．y＝9x　[设指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，则81＝a2，
所以a＝9，所以这个指数函数的解析式为y＝9x．]
2．D　[b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b3．CD　[当a>1时，y＝ax在[0，1]上单调递增，
此时f(1)－f(0)＝a－a0＝a－1＝，
解得a＝；
当0此时f(0)－f(1)＝a0－a＝1－a＝，
解得a＝．
所以实数a的值为．故选CD．]
4．(－∞，2)　[由指数函数的性质，得x－1<3－x，解得x<2，所以实数x 的取值范围是(－∞，2)．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)ABD　(2)1.6　[(1)对于A，令2a2－3a＋2＝1且a>0，a≠1，则a＝，A正确；
对于B，不论01，值域都为(0，＋∞)，B正确；
对于C，f(x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax+1的图象，C错误；
对于D，令2x＋3＝0，则x＝－，y＝0，所以函数y＝a2x+3－1(a>0，且a≠1)恒过定点，D正确．故选ABD．
(2)由题图可得，a＝2，f(t)＝2t，
当浮萍面积为4 m2时，＝4，即t1＝2，
当浮萍面积为12 m2时，＝12，即t2＝log212＝2＋log23，
则t2－t1＝log23≈1.6．]
考点二
考向1　典例2　B　[∵函数f(x)定义域为R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，函数f(x)＝3x－1单调递增，
∴当x<1时，函数f(x)单调递减，且f＝f．
∵<1，
∴f多维变迁
　D　[函数f(x)＝ex＋e-x为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增．
∵a＝f(21.1)，b＝f(－1)＝f(1)，c＝f(log23)，1∴实数a，b，c的大小关系为b故选D．]
考向2　典例3　(1)D　(2)B　[(1)∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x>0，
∴0<2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2．
(2)∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，
∴p：{x|x<0}．
对于不等式2x+1作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示．
由图象可知，不等式2x+1∴q：{x|－1又∵{x|－1∴p是q的必要不充分条件．]
考向3　典例4　解：(1)因为函数f(x)＝1－是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，即1－＝0，解得a＝2，
当a＝2时，f(x)＝1－，
所以f(－x)＋f(x)＝1－＋1－＝2－＝0对任意实数x恒成立，所以a＝2．
因为y＝2x是增函数，所以y＝2x＋1是增函数，所以y＝是减函数，
所以y＝－是增函数，
所以f(x)＝1－是增函数．
(2)由y＝2x>0，得y＝2x＋1>1，所以0<<2，
所以－2<－<0，所以－1<1－<1，
所以函数y＝f(x)＝1－的值域为(－1，1)．
随堂·对点检测
1．D　[当x＝1时，31>21>，所以图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x．故选D．]
2．A　[令x－2＝0，得x＝2，
将x＝2代入函数可得y＝3a0＋3＝6，
即函数y＝3ax-2＋3的图象恒过点(2，6)．
故选A．]
3．D　[∵a＝()3＝3，b＝，c＝，∴＝3，
∴c>b，且 a>c，即 a>c>b，故选D．]
4．D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)上单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．]
5．(－3，2)　[函数y＝2x在R上单调递增，则
<2-3(x-1) x2－2x－3<－3(x－1)，
即x2＋x－6<0，解得－3所以原不等式的解集为(－3，2)．]
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第二章　函数
第15课时　指数函数
[考试要求]　1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
知识点2　指数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 _____________
(0，＋∞)
项目 a>1 0性质 过定点__________，即x＝0时，y＝1
当x>0时，______； 当x<0时，_________ 当x<0时，______；
当x>0时，_________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
(0，1)
y>1
0y>1
0增函数
减函数
[常用结论]
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，
(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0．
1．(人教B版必修第二册P13练习AT1)已知指数函数的图象过点(2，81)，则这个指数函数的解析式是________．
y＝9x　[设指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，则81＝a2，
所以a＝9，所以这个指数函数的解析式为y＝9x．]
y＝9x　
2．(人教A版必修第一册P118练习T2改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a√
D　[b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b3．(多选)(苏教版必修第一册P165本章测试T5改编)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为
(　　)
A．2 B．
C． D．
√
√
CD　[当a>1时，y＝ax在[0，1]上单调递增，
此时f (1)－f (0)＝a－a0＝a－1＝，
解得a＝；
当0此时f (0)－f (1)＝a0－a＝1－a＝，
解得a＝
所以实数a的值为或故选CD．]
4．(人教A版必修第一册P119习题4.2 T3改编)已知2x-1<23-x，则实数x的取值范围是______________．
(－∞，2)　[由指数函数的性质，得x－1<3－x，解得x<2，所以实数x 的取值范围是(－∞，2)．]
(－∞，2)　
考点深研·题型突破
考点一　指数函数的概念与图象
[典例1]　(1)(多选)下列选项正确的是(　　)
A．若函数f (x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝
B．指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的值域为(0，＋∞)
C．函数y＝ax+1(a>0，且a≠1)的图象可以由f (x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到
D．函数y＝a2x+3－1(a>0，且a≠1)恒过定点
√
√
√
(2)(2025·上海市宝山区期末)如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)满足关系式：y＝at(a＞0，且a≠1)，则浮萍面积从4 m2到12 m2至少需要经过 ________ 个月．(log23≈1.6)
1.6　
(1)ABD　(2)1.6　[(1)对于A，令2a2－3a＋2＝1且a>0，a≠1，则a＝，A正确；
对于B，不论01，值域都为(0，＋∞)，B正确；
对于C，f (x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax+1的图象，C错误；
对于D，令2x＋3＝0，则x＝－，y＝0，所以函数y＝a2x+3－1(a>0，且a≠1)恒过定点，D正确．故选ABD．
(2)由题图可得，a＝2，f (t)＝2t，
当浮萍面积为4 m2时＝4，即t1＝2，
当浮萍面积为12 m2时＝12，即t2＝log212＝2＋log23，
则t2－t1＝log23≈1.6．]
通性通法：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
考点二　指数函数的性质及应用
考向1　比较大小
[典例2]　(2026·济南模拟)若函数f (x)定义域为R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f (x)＝3x－1，则有(　　)
A．f＜f＜f
B．f＜f＜f
C．f＜f＜f
D．f ＜f＜f
√
B　[∵函数f (x)定义域为R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，函数f (x)＝3x－1单调递增，
∴当x＜1时，函数f (x)单调递减，且f ＝f
∵＜＜＜1，
∴f＜f＜f，
即f＜f＜f故选B．]
[多维变迁]
(2025·无锡三模)已知函数f (x)＝ex＋e－x，若a＝f (21.1)，b＝f (－1)，c＝f (log23)，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
√
D　[函数f (x)＝ex＋e－x为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增．
∵a＝f (21.1)，b＝f (－1)＝f (1)，c＝f (log23)，1＜log23＜2＜21.1，
∴实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选D．]
考向2　解指数方程或不等式
[典例3]　(1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是
(　　)
A．[2，4] B．(－∞，0)
C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2]
(2)(2025·武汉质检)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的
(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
√
(1)D　(2)B　[(1)∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x>0，
∴0<2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2．
(2)∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，
∴p：{x|x<0}．
对于不等式2x+1作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示．
由图象可知，不等式2x+1∴q：{x|－1又∵{x|－1∴p是q的必要不充分条件．]
考向3　指数函数性质的综合应用
[典例4]　(2025·上海市静安区期末)已知函数f (x)＝1－是定义域为R的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数y＝f (x)的单调性；
(2)写出函数y＝f (x)的值域．
[解]　(1)因为函数f (x)＝1－是定义域为R的奇函数，
所以f (0)＝0，即1－＝0，解得a＝2，
当a＝2时，f (x)＝1－，
所以f (－x)＋f (x)＝1－＋1－＝2－＝0对任意实数x恒成立，
所以a＝2．
因为y＝2x是增函数，所以y＝2x＋1是增函数，所以y＝是减函数，
所以y＝－是增函数，
所以f (x)＝1－是增函数．
(2)由y＝2x＞0，得y＝2x＋1＞1，所以0＜＜2，
所以－2＜－＜0，所以－1＜1－＜1，
所以函数y＝f (x)＝1－的值域为(－1，1)．
通性通法：(1)比较指数式的大小的方法
①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．
(2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
(3)涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
1．(链接考点一)(2025·阜阳期末)四个指数函数y＝2x，y＝3x，y＝，y＝的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x
√
D　[当x＝1时，31＞21＞＞，所以图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x．故选D．]
2．(链接考点一)(2025·石家庄期末)函数y＝3ax-2＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　)
A．(2，6) B．(2，4)
C．(1，6) D．(1，4)
√
A　[令x－2＝0，得x＝2，
将x＝2代入函数可得y＝3a0＋3＝6，
即函数y＝3ax-2＋3的图象恒过点(2，6)．
故选A．]
3．(链接考向1)(2026·扬州模拟)若a＝()3，b＝，c＝，则有
(　　)
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
√
D　[∵a＝()3＝3，b＝＝3，
∴c＞b，且 a＞c，即 a＞c＞b，
故选D．]
4．(链接考向3)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
√
D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．]
5．(链接考向2)(2026·上海模拟)不等式2x2－2x－3<的解集为___________．
(－3，2)　[函数y＝2x在R上单调递增，则
2x2－2x－3< 2x2－2x－3<2-3(x-1) x2－2x－3<－3(x－1)，
即x2＋x－6<0，解得－3所以原不等式的解集为(－3，2)．]
(－3，2)　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题　
1．(2026·沧州模拟)若集合A＝{x|＜1}，B＝，则A∩( RB)＝(　　)
A． B．
C． D．
课时作业(十五)　指数函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[集合A＝{x|＜1}＝{x|0≤x＜1}，
集合B＝＝，
所以 RB＝，
所以A∩( RB)＝
故选D．]
√
2．(2025·广州期中)已知函数f (x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝mx－n的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由指数函数的性质可知，f (x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(2，2)，
则函数g(x)＝mx－n＝2x－2的图象经过第一、三、四象限．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(北师大版必修第一册P92习题3-3 B组T1)已知0A．axa-y
C．< D．<
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为0ay，故A错误；因为－x>－y，所以a-x1，所以y＝在R上单调递增，又，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)＞0的解集是(　　)
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集即为2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·汕头月考)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
题号
1
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11
12
D　[y＝1.01x在R上单调递增，y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，
则a＝1.010.5＜b＝1.010.6＞1，a＝1.010.5＞c＝0.60.5＜1．
所以b＞a＞c．
故选D．]
题号
1
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9
10
11
12
√
6．(2025·南昌期末)已知函数y＝2x＋22-x的最小值为a，则f (x)＝的值域为(　　)
A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
B．(－4，＋∞)　
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－2，＋∞)
题号
1
3
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2
4
6
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9
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11
12
A　[∵2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝1时取等号，
∴a＝4，f (x)＝
令3x－1≠0，解得x≠0，
∴f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x＞0时，3x－1＞0，＞0；
当x＜0时，－1＜3x－1＜0，＜－4，
∴f (x)的值域为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
故选A．]
题号
1
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2
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6
8
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9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P118练习T1改编)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
AB　[由题图可得a1＝2，即a＝2，
y＝a－x＝单调递减，且图象过点(－1，2)，故A正确；
y＝x－a＝x-2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，且图象过点(－1，1)和(1，1)，故B正确；
y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数的图象可知C错误；
y＝|ax|＝|2x|，根据指数函数及绝对值函数的图象可知D错误．故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·南宁市西乡塘区开学考试)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(－1，1)
C．函数f (x)的图象关于y轴对称
D．函数f (x)在R上为减函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AB　[A项，因为2x＞0，所以函数f (x)的定义域为R，故A正确；
B项，f (x)＝＝1－，
由2x＞0 2x＋1＞1 0＜＜1 －2＜－＜0 －1＜1－＜1，
所以函数f (x)的值域为(－1，1)，故B正确；
C项，因为f (－x)＝＝＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
题号
1
3
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8
7
9
10
11
12
D项，因为函数y＝2x＋1是增函数，y＝2x＋1＞1，所以函数y＝是减函数，
因此函数f (x)＝1－是增函数，故D错误．
故选AB．]
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·成都月考)若3x＝2，5y＝3，则下列选项正确的有(　　)
A．x＞1 B．x＜y
C．xy＜1 D．x＋y＞2
题号
1
3
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2
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8
7
9
10
11
12
√
BC　[对于A，3x＝2＜31，又y＝3x在R上单调递增，所以x＜1，选项A错误；
对于B，因为3x＝2，5y＝3，则x＝log32，y＝log53，
又＝log3＝log3>log3＝log32＝x，
y＝log53＝log5>log5，
所以x＜y，选项B正确；
对于C，因为0＜x＝log32＜1，0＜y＝log53＜1，所以0＜xy＜1，选项C正确；
对于D，由选项C知0＜x＝log32＜1，0＜y＝log53＜1，所以0＜x＋y＜2，选项D错误．
故选BC．]
题号
1
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6
8
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11
12
三、填空题
10．(人教A版必修第一册P120习题4.2 T9改编)已知函数f＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则f＝________．
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
10
11
12
　
　[因为f的图象过原点，所以f＝a＋b＝0，即a＋b＝0．
又f的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f＝－＋1，
所以f＝－＋1＝]
题号
1
3
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10
11
12
11．(2025·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个交点，则实数a的取值范围是____________．
题号
1
3
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10
11
12
　[y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，且保持x轴上及其上方的图象不变得到的．
当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；
当0综上可知，a的取值
范围是]
题号
1
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题号
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2
4
6
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12
12．(2025·杭州月考)已知函数f (x)＝－＋1，则不等式f (2m－1)＜f (m＋3)成立的实数m的取值范围为____________．
　[因为f (x)＝－＋1，
所以f (－x)＝－＋1＝－＋1＝f (x)，定义域为R，关于原点对称，所以f (x)为偶函数，
　
题号
1
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11
12
又当x≥0时，f (x)＝－＋1单调递增；当x＜0时，f (x)单调递减，
所以f (2m－1)＜f (m＋3)，即|2m－1|＜|m＋3|，
两边平方整理可得3m2－10m－8＜0，解得－＜m＜4．]
谢谢！课时作业(十五)　指数函数
一、单项选择题　
1．(2026·沧州模拟)若集合A＝{x|＜1}，B＝，则A∩( RB)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(2025·广州期中)已知函数f (x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝mx－n的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(北师大版必修第一册P92习题3-3 B组T1)已知0A．axa-y
C．< D．<
4．已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)＞0的解集是(　　)
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
5．(2025·汕头月考)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
6．(2025·南昌期末)已知函数y＝2x＋22-x的最小值为a，则f (x)＝的值域为(　　)
A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
B．(－4，＋∞)　
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－2，＋∞)
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P118练习T1改编)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
8．(2025·南宁市西乡塘区开学考试)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(－1，1)
C．函数f (x)的图象关于y轴对称
D．函数f (x)在R上为减函数
9．(2025·成都月考)若3x＝2，5y＝3，则下列选项正确的有(　　)
A．x＞1 B．x＜y
C．xy＜1 D．x＋y＞2
三、填空题
10．(人教A版必修第一册P120习题4.2 T9改编)已知函数f＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则f＝________．
11．(2025·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
12．(2025·杭州月考)已知函数f (x)＝－＋1，则不等式f (2m－1)＜f (m＋3)成立的实数m的取值范围为________．
课时作业(十五)
1．D　[集合A＝{x|＜1}＝{x|0≤x＜1}，
集合B＝＝，
所以 RB＝，
所以A∩( RB)＝
故选D．]
2．B　[由指数函数的性质可知，f (x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(2，2)，
则函数g(x)＝mx－n＝2x－2的图象经过第一、三、四象限．
故选B．]
3．C　[因为0ay，故A错误；因为－x>－y，所以a-x<，故C正确；因为>1，所以y＝在R上单调递增，又>>，故D错误．故选C．]
4．D　[函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集即为2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．]
5．D　[y＝1.01x在R上单调递增，y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，
则a＝1.010.5＜b＝1.010.6＞1，a＝1.010.5＞c＝0.60.5＜1．
所以b＞a＞c．
故选D．]
6．A　[∵2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝1时取等号，
∴a＝4，f (x)＝
令3x－1≠0，解得x≠0，
∴f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x＞0时，3x－1＞0，＞0；
当x＜0时，－1＜3x－1＜0，＜－4，
∴f (x)的值域为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
故选A．]
7．AB　[由题图可得a1＝2，即a＝2，
y＝a－x＝单调递减，且图象过点(－1，2)，故A正确；
y＝x－a＝x-2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，且图象过点(－1，1)和(1，1)，故B正确；
y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数的图象可知C错误；
y＝|ax|＝|2x|，根据指数函数及绝对值函数的图象可知D错误．故选AB．]
8．AB　[A项，因为2x＞0，所以函数f (x)的定义域为R，故A正确；
B项，f (x)＝＝1－，
由2x＞0 2x＋1＞1 0＜＜1 －2＜－＜0 －1＜1－＜1，
所以函数f (x)的值域为(－1，1)，故B正确；
C项，因为f (－x)＝＝＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D项，因为函数y＝2x＋1是增函数，y＝2x＋1＞1，所以函数y＝是减函数，
因此函数f (x)＝1－是增函数，故D错误．
故选AB．]
9．BC　[对于A，3x＝2＜31，又y＝3x在R上单调递增，所以x＜1，选项A错误；
对于B，因为3x＝2，5y＝3，则x＝log32，y＝log53，
又＝log3＝log3>log3＝log32＝x，
y＝log53＝log5>log5，
所以x＜y，选项B正确；
对于C，因为0＜x＝log32＜1，0＜y＝log53＜1，所以0＜xy＜1，选项C正确；
对于D，由选项C知0＜x＝log32＜1，0＜y＝log53＜1，所以0＜x＋y＜2，选项D错误．
故选BC．]
10．　[因为f的图象过原点，所以f＝a＋b＝0，即a＋b＝0．
又f的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f＝－＋1，
所以f＝－＋1＝]
11．　[y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，且保持x轴上及其上方的图象不变得到的．
当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；
当0　
综上可知，a的取值范围是]
12．　[因为f (x)＝－＋1，
所以f (－x)＝－＋1＝－＋1＝f (x)，定义域为R，关于原点对称，所以f (x)为偶函数，
又当x≥0时，f (x)＝－＋1单调递增；当x＜0时，f (x)单调递减，
所以f (2m－1)＜f (m＋3)，即|2m－1|＜|m＋3|，
两边平方整理可得3m2－10m－8＜0，解得－＜m＜4．]
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