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第16课时　对数函数
[考试要求]　1．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．2．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识点1　对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
性质 定义域：_____________
值域：___
当x＝1时，y＝0，即过定点__________
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
知识点2　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______ 对称．它们的定义域和值域正好互换．
[常用结论]
1．不论a>1还是00，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交．
2．不论a>1还是00，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象．
3．对数函数的图象与底数大小的关系
对数函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关．图中01．(人教A版必修第一册P139练习T4)函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝f (x)可能是(　　)
A．y＝1－x-1，x∈(0，＋∞)
B．y＝，x∈(0，＋∞)
C．y＝ln x
D．y＝x－1，x∈(0，＋∞)
2．(人教B版必修第二册P28练习AT5改编)若函数f (x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f (x)的值域为(　　)
A．[0，1] B．(0，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
3．(人教B版必修第二册P27例2)已知log0.7(2m)_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4 T13(1))设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则实数a，b，c的大小关系为________．
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5．(北师大版必修第一册P111例2、例3节选)(1)函数y＝lo的反函数是________．
(2)函数y＝5x的反函数是________．
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考点一　对数函数的概念与图象
[典例1]　(1)(多选)下列选项正确的是(　　)
A．若函数f (x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数，则a＝3或a＝2
B．函数f (x)＝＋ln (3－x)的定义域为(－∞，2)∪(2，3)
C．函数f (x)＝loga(4x－3)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)
D．f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0(3)已知函数f (x)＝关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是________．
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易错提醒：凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略．
考点二　对数函数的性质及应用
　比较大小
[典例2]　已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
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通性通法：比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同：常借助1，0等中间量进行比较．
　解对数不等式(组)
[典例3]　已知log2a(4a2＋1)＜log2a4a＜0，则(　　)
A．0＜a＜ B．＜a＜
C．＜a＜ D．＜a＜1
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通性通法：对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，当底数a的取值范围没有明确时，必须分01两种情况讨论．
　对数函数性质的综合应用
[典例4]　已知函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)．
(1)证明：f (x)的图象关于直线x＝2对称；
(2)求f (x)的最大值．
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[母题探究]
1．(变结论)本例中，函数解析式不变，求函数f (x)的单调区间．
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2．(变结论)本例中，函数解析式不变，f (x)的图象是否关于点(2，0)对称？
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通性通法：求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
糖水不等式
1．(教材母题)(人教A版必修第一册P43习题2.1 T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
2．这一事实抽象出的不等式：<，其中b>a>0，m>0，称为糖水不等式．
(1)糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有＞
(2)对数型糖水不等式
①设n∈N*，且n>1，则有log(n＋1)n②设a>b>1，m>0，则有logab③上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>log(b＋m)(a＋m)．
[典例5]　(人教A版必修第一册P141习题4.4T13(2)改编)已知a＝3log83，b＝－lo16，c＝log45，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
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1．(链接考点一)(2025·眉山仁寿县期中)已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga(－x)的图象在同一坐标系中可以是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
2．(链接考向1)(2025·天津市河西区期末)已知a＝log3，b＝40.3，c＝lo，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
3．(链接考向2)已知log0.3(3x)A． B．
C． D．
4．(链接考向3)函数f (x)＝log2的最小值为________．
第16课时　对数函数
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(2)(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数　减函数
知识点2　y＝logax　y＝x　
链教材·夯基固本
1．C　[根据f(2)<1，f(3)>1，可知y＝ln x满足．故选C．]
2．A　[根据复合函数单调性的同增异减原则，可知f(x)在[0，1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，
则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1]．]
3．(1，＋∞)　[因为y＝log0.7x的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，故2m>m－1>0，解得m>1．]
4．a>b>c　[法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，
由图可知，当x＝6时，log0.26>log0.36>log0.46，
即a>b>c．
法二：易知0>log60.4>log60.3>log60.2，
所以，
即log0.46即a>b>c．]
5．(1)y＝　(2) y＝log5x　[(1)因为对数函数y＝lox的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝．
(2)因为指数函数y＝5x的底数是5，所以它的反函数是对数函数y＝log5x．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)BC　(2)A　(3)(1，＋∞)　[(1)对于A，解得a＝3，A错误；
对于B，由题意可得，解得x<3且x≠2，B正确；
对于C，令4x－3＝1，解得x＝1，则f(1)＝loga1＝0，C正确；
对于D，x2－2x>0 x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，可知当x>2时，y＝x2－2x单调递增，结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，D错误．
(2)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1．
函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1解得综上，0(3)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图象可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与f(x)的图象只有一个交点．故实数a的取值范围为(1，＋∞)．
]
考点二
考向1　典例2　D　[法一(中间量法)：因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝lo＝log23>log2e>1，所以c>a>b．
法二(图象法)：lo＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图．由图可知c>a>b．
]
考向2　典例3　B　[因为log2a(4a2＋1)<0，4a2＋1>1，结合对数函数图象的性质得0<2a<1，所以4a2＋1>4a>1，所以考向3　典例4　解：由x>0且4－x>0，得函数f(x)的定义域为(0，4)．
(1)证明：因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时，4x－x2取到最大值4，
此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，所以函数f(x)的最大值为2．
母题探究
1．解：f(x)＝log2(4x－x2)(0因为y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0所以f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，4)．
2．解：因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，所以f(x)的图象不关于点(2，0)对称．
教材拓展3
典例5　A　[a＝3log83＝log827＝lo33＝log23，
b＝－lo16＝lo＝log34，c＝log45，
利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45，即a>b>c．]
随堂·对点检测
1．A　[因为a>1，所以y＝ax在R上单调递增，排除C；
又y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，
所以由复合函数的单调性可知，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，且恒过点(－1，0)，排除B，D．
故选A．]
2．A　[因为log3因为40.3>40＝1，所以b>1，
因为lo1所以0所以b>c>a．
故选A．]
3．A　[因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，log0.3(3x)所以解得x>，即x的取值范围是．故选A．]
4．－　[依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－．]
1 / 6(共72张PPT)
第二章　函数
第16课时　对数函数
[考试要求]　1．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．2．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
理法先行·题练固本
知识点1　对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
项目 a>1 0性质 定义域：_____________
值域：____
当x＝1时，y＝0，即过定点__________
当x>1时，y>0； 当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
知识点2　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______ 对称．它们的定义域和值域正好互换．
y＝logax
y＝x
[常用结论]
1．不论a>1还是00，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交．
2．不论a>1还是00，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象．
3．对数函数的图象与底数大小的关系
对数函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d )的相对位置与底数大小有关．图中01．(人教A版必修第一册P139练习T4)函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝f (x)可能是(　　)
A．y＝1－x-1，x∈(0，＋∞)
B．y＝，x∈(0，＋∞)
C．y＝ln x
D．y＝x－1，x∈(0，＋∞)
√
C　[根据f (2)<1，f (3)>1，可知y＝ln x满足．故选C．]
2．(人教B版必修第二册P28练习AT5改编)若函数f (x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f (x)的值域为(　　)
A．[0，1] B．(0，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
√
A　[根据复合函数单调性的同增异减原则，可知f (x)在[0，1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，
则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f (x)∈[0，1]．]
3．(人教B版必修第二册P27例2)已知log0.7(2m)(1，＋∞)　[因为y＝log0.7x的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，故2m>m－1>0，解得m>1．]
(1，＋∞)
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4 T13(1))设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则实数a，b，c的大小关系为________．
a>b>c　[法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，
由图可知，当x＝6时，log0.26>log0.36>log0.46，
即a>b>c．
a>b>c
法二：易知0>log60.4>log60.3>log60.2，
所以，
即log0.46即a>b>c．]
5．(北师大版必修第一册P111例2、例3节选)(1)函数y＝lo的反函数是________．
(2)函数y＝5x的反函数是________．
(1)y＝　(2) y＝log5x　[(1)因为对数函数y＝lo的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝
(2)因为指数函数y＝5x的底数是5，所以它的反函数是对数函数y＝log5x．]
y＝
y＝log5x
考点深研·题型突破
考点一　对数函数的概念与图象
[典例1]　(1)(多选)下列选项正确的是(　　)
A．若函数f (x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数，则a＝3或a＝2
B．函数f (x)＝＋ln (3－x)的定义域为(－∞，2)∪(2，3)
C．函数f (x)＝loga(4x－3)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)
D．f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1，＋∞)
√
√
(2)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0(3)已知函数f (x)＝关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是___________．
√
(1，＋∞)
(1)BC　(2)A　(3)(1，＋∞)　[(1)对于A，解得a＝3，A错误；
对于B，由题意可得，解得x＜3且x≠2，B正确；
对于C，令4x－3＝1，解得x＝1，则f (1)＝loga1＝0，C正确；
对于D，x2－2x>0 x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，可知当x>2时，y＝x2－2x单调递增，结合复合函数的单调性可知f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)，D错误．
(2)由函数图象可知，f (x)为增函数，故a>1．
函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1解得综上，0(3)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f (x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图象可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与f (x)的图象只有一个交点．
故实数a的取值范围为(1，＋∞)．]
易错提醒：凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略．
【教用·通性通法】
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【教用·备选题】
(多选)(2025·青岛调研)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
√
√
AB　[因为ax＝b－x，即ax＝，
所以a＝，
当a>1时，0指数函数y＝bx在R上单调递减，且过点(0，1)；
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，且过点(1，0)，
y＝logax的图象关于y轴对称的图象是y＝loga(－x)的图象，
则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，且过点(－1，0)，故A符合题意；
当01，
同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且过点(0，1)，
y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增，且过点(－1，0)，故B符合题意．故选AB．]
考点二　对数函数的性质及应用
考向1　比较大小
[典例2]　已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
√
D　[法一(中间量法)：因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝lo＝log23>log2e>1，所以c>a>b．
法二(图象法)：lo＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图．由图可知c>a>b．]
通性通法：比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同：常借助1，0等中间量进行比较．
考向2　解对数不等式(组)
[典例3]　已知log2a(4a2＋1)＜log2a4a＜0，则(　　)
A．0＜a＜ B．＜a＜
C．＜a＜ D．＜a＜1
√
B　[因为log2a(4a2＋1)＜0，4a2＋1＞1，结合对数函数图象的性质得0＜2a＜1，所以4a2＋1＞4a＞1，所以＜a＜故选B．]
通性通法：对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，当底数a的取值范围没有明确时，必须分01两种情况讨论．
考向3　对数函数性质的综合应用
[典例4]　已知函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)．
(1)证明：f (x)的图象关于直线x＝2对称；
(2)求f (x)的最大值．
[解]　由x>0且4－x>0，得函数f (x)的定义域为(0，4)．
(1)证明：因为函数f (4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f (x)，
所以f (x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时，4x－x2取到最大值4，
此时f (x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，
所以函数f (x)的最大值为2．
[母题探究]
1．(变结论)本例中，函数解析式不变，求函数f (x)的单调区间．
[解]　f (x)＝log2(4x－x2)(0因为y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0所以f (x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，4)．
2．(变结论)本例中，函数解析式不变，f (x)的图象是否关于点(2，0)对称？
[解]　因为f (4－x)＋f (x)＝2f (x)＝0不恒成立，
所以f (x)的图象不关于点(2，0)对称．
通性通法：求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
糖水不等式
1．(教材母题)(人教A版必修第一册P43习题2.1 T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
2．这一事实抽象出的不等式：，其中b>a>0，m>0，称为糖水不等式．
(1)糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有＞
(2)对数型糖水不等式
①设n∈N*，且n>1，则有log(n＋1)n②设a>b>1，m>0，则有logab③上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>log(b＋m)(a＋m)．
[典例5]　(人教A版必修第一册P141习题4.4T13(2)改编)已知a＝3log83，b＝－lo16，c＝log45，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
√
A　[a＝3log83＝log827＝ ＝log23，
b＝－lo16＝lo＝log34，c＝log45，
利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45，即a>b>c．]
1．(链接考点一)(2025·眉山仁寿县期中)已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga(－x)的图象在同一坐标系中可以是(　　)
√
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[因为a＞1，所以y＝ax在R上单调递增，排除C；
又y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，
所以由复合函数的单调性可知，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，且恒过点(－1，0)，排除B，D．
故选A．]
2．(链接考向1)(2025·天津市河西区期末)已知a＝log3，b＝40.3，c＝lo，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
√
A　[因为log3＜log31＝0，所以a＜0，
因为40.3＞40＝1，所以b＞1，
因为lo1所以b＞c＞a．
故选A．]
3．(链接考向2)已知log0.3(3x)A． B．
C． D．
√
A　[因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，log0.3(3x)所以解得x>，即x的取值范围是故选A．]
4．(链接考向3)函数f (x)＝log2的最小值为________．
－　[依题意得f (x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f (x)的最小值为－]
－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·广州期中)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是
(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C． D．∪(1，2)
课时作业(十六)　对数函数
题号
1
3
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11
12
D　[要使log(2x－1)(2－x)有意义，
则解得＜x＜2且x≠1，
所以x的取值范围是∪(1，2)．
故选D．]
2．(2026·长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
题号
1
3
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11
12
√
B　[由lg a＋lg b＝0可知，＝b，
故f (x)＝a－x＝bx，故函数f (x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B．]
题号
1
3
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11
12
√
3．(2025·天津市宝坻区期末)设a＝log23，b＝log32，c＝，则
(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
题号
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11
12
C　[由log24＞log23＞log22，得1＜a＜2，
由log32＜log33，得b＜1，
由＝＝，可知＞2，即c＞2，
综上得c＞a＞b．
故选C．]
题号
1
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11
12
√
4．(2025·鞍山市立山区期末)已知函数f (x)＝|log2x|，若0＜a＜b且
f (a)＝f (b)，则2a＋3b的取值范围是(　　)
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
题号
1
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11
12
B　[因为f (x)＝|log2x|，
若0＜a＜b且f (a)＝f (b)，则－log2a＝log2b，
即ab＝1，
所以0＜a＜，即0＜a＜1，
根据对勾函数的单调性可知，2a＋3b＝2a＋＞5．
故选B．]
题号
1
3
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6
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11
12
√
5．当00，且a≠1)，则实数a的取值范围是
(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
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6
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10
11
12
B　[由题意可得当0因为y＝在上单调递增，
所以即
所以
可得≤a<1．故选B．]
题号
1
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9
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11
12
√
6．(2026·武汉模拟)已知正数a，b满足log3a＝log4b，则a与b的关系不可能是(　　)
A．b＜a＜1 B．a＜＜1
C．1＜a＜b D．1＜a＜
题号
1
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11
12
D　[根据函数y＝log3x与y＝log4x的图象知，
题号
1
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11
12
当log3a＝log4b＞0时，1＜a＜b，选项C可能；
当log3a＝log4b＜0时，0＜b＜a＜1，选项A可能；
设log3a＝log4b＝k，则a＝3k，b＝4k，所以＝2k，
由题意，画出函数y＝2x与y＝3x的图象，如图所示，
题号
1
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11
12
x＜0时，3x＜2x＜1，即a＜＜1，选项B可能；
x＞0时，3x＞2x＞1，即a＞＞1，选项D不可能．
故选D．]
题号
1
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11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P140习题4.4 T2改编)下列结论中正确的是
(　　)
A．若log3mB．若log0.3mn>0
C．若logamD．若logm51
题号
1
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11
12
√
√
ABD　[函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，又log3m函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，又log0.3mn>0，所以B正确；
当0n>0，所以C错误；
因为5<7，且logm51，所以D正确．故选ABD．]
题号
1
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9
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11
12
√
8．(人教A版必修第一册P161复习参考题4 T11改编)已知函数f (x)＝－log2(x＋4)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的定义域是[－4，2]
B．函数y＝f (x－1)是偶函数
C．函数f (x)在区间[－1，2)上单调递增
D．函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称
题号
1
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12
√
√
BCD　[由得－4题号
1
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12
√
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝的定义域为∪(1，＋∞)
B．函数y＝lo|x＋3|的单调递增区间为(－∞，－3]
C．若函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(0，1)
D．若定义运算a*b＝则函数f (x)＝的值域是[0，＋∞)
题号
1
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12
√
√
ACD　[由y＝可知
即可得1，A正确；
函数y＝lo|x＋3|的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，
当x>－3时，y＝lo(x＋3)单调递减；
当x<－3时，y＝lo(－x－3)单调递增；
题号
1
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12
故函数的单调递增区间为(－∞，－3)，B错误；
显然函数u＝x－1在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，
因此对数函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递减，则0所以实数a的取值范围是(0，1)，C正确；
依题意，由，得log2x≥－log2x，即2log2x≥0，解得x≥1，
题号
1
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12
由log2x显然函数f (x)在(0，1)上单调递减，值域为(0，＋∞)，在[1，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，所以函数f (x)的值域为[0，＋∞)，D正确．故选ACD．]
题号
1
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11
12
三、填空题
10．(2025·北京市平谷区期末)函数f (x)＝lg x＋的定义域是 __________________．
题号
1
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{x|x＞0，且x≠2}　[函数f (x)＝lg x＋，
则解得x＞0且x≠2，
故函数f (x)的定义域为{x|x＞0，且x≠2}．]
{x|x＞0，且x≠2}
11．已知实数a＞0，且满足53a+2＞54a+1，则不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为________．
题号
1
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　[由实数a＞0，且满足53a+2＞54a+1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，
所以函数y＝logax为减函数．
　
由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)，
可得解得＜x＜，
即不等式的解集为]
题号
1
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题号
1
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11
12
12．(2025·上海市闵行区开学考试)已知函数f (x)＝loga的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[当0≤x≤2时，1≤x＋1≤3，
所以≤1，
因为f (x)的值域为[0，2]，
故0＜a＜1且loga＝2，loga1＝0，
所以a＝]
谢谢！课时作业(十六)　对数函数
一、单项选择题
1．(2025·广州期中)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C． D．∪(1，2)
2．(2026·长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
　　　　
A　　　　　　　　　B
　　　　
C　　　　　　　　　D
3．(2025·天津市宝坻区期末)设a＝log23，b＝log32，c＝，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．(2025·鞍山市立山区期末)已知函数f (x)＝|log2x|，若0＜a＜b且f (a)＝f (b)，则2a＋3b的取值范围是(　　)
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
5．当00，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
6．(2026·武汉模拟)已知正数a，b满足log3a＝log4b，则a与b的关系不可能是(　　)
A．b＜a＜1 B．a＜＜1
C．1＜a＜b D．1＜a＜
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P140习题4.4 T2改编)下列结论中正确的是(　　)
A．若log3mB．若log0.3mn>0
C．若logamD．若logm51
8．(人教A版必修第一册P161复习参考题4 T11改编)已知函数f (x)＝－log2(x＋4)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的定义域是[－4，2]
B．函数y＝f (x－1)是偶函数
C．函数f (x)在区间[－1，2)上单调递增
D．函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝的定义域为∪(1，＋∞)
B．函数y＝lo|x＋3|的单调递增区间为(－∞，－3]
C．若函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(0，1)
D．若定义运算a*b＝则函数f (x)＝的值域是[0，＋∞)
三、填空题
10．(2025·北京市平谷区期末)函数f (x)＝lg x＋的定义域是 ________．
11．已知实数a＞0，且满足53a+2＞54a+1，则不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为________．
12．(2025·上海市闵行区开学考试)已知函数f (x)＝loga的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．
课时作业(十六)
1．D　[要使log(2x－1)(2－x)有意义，
则解得＜x＜2且x≠1，
所以x的取值范围是∪(1，2)．
故选D．]
2．B　[由lg a＋lg b＝0可知，＝b，
故f (x)＝a－x＝bx，故函数f (x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B．]
3．C　[由log24＞log23＞log22，得1＜a＜2，
由log32＜log33，得b＜1，
由＝＝，可知＞2，即c＞2，
综上得c＞a＞b．
故选C．]
4．B　[因为f (x)＝|log2x|，
若0＜a＜b且f (a)＝f (b)，则－log2a＝log2b，
即ab＝1，
所以0＜a＜，即0＜a＜1，
根据对勾函数的单调性可知，2a＋3b＝2a＋＞5．
故选B．]
5．B　[由题意可得当0因为y＝在上单调递增，
所以即
所以
可得≤a<1．故选B．]
6．D　[根据函数y＝log3x与y＝log4x的图象知，
当log3a＝log4b＞0时，1＜a＜b，选项C可能；
当log3a＝log4b＜0时，0＜b＜a＜1，选项A可能；
设log3a＝log4b＝k，则a＝3k，b＝4k，所以＝2k，
由题意，画出函数y＝2x与y＝3x的图象，如图所示，
x＜0时，3x＜2x＜1，即a＜＜1，选项B可能；
x＞0时，3x＞2x＞1，即a＞＞1，选项D不可能．
故选D．]
7．ABD　[函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，又log3m函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，又log0.3mn>0，所以B正确；
当0n>0，所以C错误；
因为5<7，且logm51，所以D正确．故选ABD．]
8．BCD　[由得－49．ACD　[由y＝可知
即可得1，A正确；
函数y＝lo|x＋3|的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，
当x>－3时，y＝lo(x＋3)单调递减；
当x<－3时，y＝lo(－x－3)单调递增；
故函数的单调递增区间为(－∞，－3)，B错误；
显然函数u＝x－1在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，
因此对数函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递减，则0所以实数a的取值范围是(0，1)，C正确；
依题意，由，得log2x≥－log2x，即2log2x≥0，解得x≥1，
由log2x显然函数f (x)在(0，1)上单调递减，值域为(0，＋∞)，在[1，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，所以函数f (x)的值域为[0，＋∞)，D正确．故选ACD．]
10．{x|x＞0，且x≠2}　[函数f (x)＝lg x＋，
则解得x＞0且x≠2，
故函数f (x)的定义域为{x|x＞0，且x≠2}．]
11．　[由实数a＞0，且满足53a+2＞54a+1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，
所以函数y＝logax为减函数．
由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)，
可得解得＜x＜，
即不等式的解集为]
12．　[当0≤x≤2时，1≤x＋1≤3，
所以≤1，
因为f (x)的值域为[0，2]，
故0＜a＜1且loga＝2，loga1＝0，
所以a＝]
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