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*第17课时　指、对、幂的大小比较(进阶课)
[总体概览]　指数、对数、幂值的大小比较是高考的热点之一，难度不定，方法无常，高考命题中，一般以选择题的形式出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起进行排序．主要考查指数、对数的相互转化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质．
类型一　利用函数单调性
[典例1]　(多选)(2026·邯郸模拟)下列不等式成立的是(　　)
A．0.60.6>0.60.5 B．log60.6>log50.5
C．0.60.5>log0.60.5 D．log37>log940
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通性通法：破解此类问题的关键：一是观察所给的代数式的特征，明确代数式是同“底”、同“真”还是同“指”；二是活用函数的单调性比较大小，即结合代数式的特征，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行比较，从而得出结论．
类型二　找中间值
[典例2]　已知a＝40.1，b＝0.10.4，c＝log40.1，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．a>b>c D．c>a>b
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通性通法：在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”等中间值或其他能判断大小关系的中间量进行划分，然后再进行比较．
类型三　含变量问题的大小比较
[典例3]　已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
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通性通法：求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式．
第17课时　指、对、幂的大小比较(进阶课)
类型一
典例1　BD　[对于A，y＝0.6x单调递减，所以0.60.6<0.60.5，故A错误；
对于B，y＝log6x单调递增，所以log60.6>log60.5，又log60.5>log50.5，所以log60.6>log50.5，故B正确；
对于C，0.60.5∈(0，1)，log0.60.5>log0.60.6＝1，所以0.60.5对于D，log37＝log949，y＝log9x单调递增，所以log949>log940，所以log37>log940，故D正确．故选BD．]
类型二
典例2　C　[因为函数y＝4x在R上为增函数，且0<0.1<1，所以40<40.1<41，即1类型三
典例3　D　[法一(特殊值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log2253y．
综上可得，3y<2x<5z．
法二(作差法)：令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，
则x＝，y＝，z＝，
因为k>1，所以lg k>0，
所以2x－3y＝
＝
＝>0，
故2x>3y，
2x－5z＝
＝
＝<0，
故2x<5z．
所以3y<2x<5z．
法三(作商法)：令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1．
则x＝，y＝，z＝．
所以·>1，即2x>3y，
·>1，即5z>2x．
所以5z>2x>3y．]
1 / 2(共35张PPT)
第二章　函数
*第17课时　指、对、幂的大小比较(进阶课)
[总体概览]　指数、对数、幂值的大小比较是高考的热点之一，难度不定，方法无常，高考命题中，一般以选择题的形式出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起进行排序．主要考查指数、对数的相互转化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质．
类型一　利用函数单调性
[典例1]　(多选)(2026·邯郸模拟)下列不等式成立的是(　　)
A．0.60.6>0.60.5 B．log60.6>log50.5
C．0.60.5>log0.60.5 D．log37>log940
√
√
BD　[对于A，y＝0.6x单调递减，所以0.60.6<0.60.5，故A错误；
对于B，y＝log6x单调递增，所以log60.6>log60.5，又log60.5>log50.5，所以log60.6>log50.5，故B正确；
对于C，0.60.5∈(0，1)，log0.60.5>log0.60.6＝1，所以0.60.5对于D，log37＝log949，y＝log9x单调递增，所以log949>log940，所以log37>log940，故D正确．故选BD．]
通性通法：破解此类问题的关键：一是观察所给的代数式的特征，明确代数式是同“底”、同“真”还是同“指”；二是活用函数的单调性比较大小，即结合代数式的特征，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行比较，从而得出结论．
类型二　找中间值
[典例2]　已知a＝40.1，b＝0.10.4，c＝log40.1，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．a>b>c D．c>a>b
√
C　[因为函数y＝4x在R上为增函数，且0<0.1<1，所以40<40.1<41，即1通性通法：在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”等中间值或其他能判断大小关系的中间量进行划分，然后再进行比较．
类型三　含变量问题的大小比较
[典例3]　已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
√
D　[法一(特殊值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log2253y．
综上可得，3y<2x<5z．
法二(作差法)：令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，
则x＝，y＝，z＝，
因为k>1，所以lg k>0，
所以2x－3y＝＝＝>0，
故2x>3y，
2x－5z＝＝＝<0，
故2x<5z．
所以3y<2x<5z．
法三(作商法)：令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1．
则x＝，y＝，z＝
所以＝＝>1，即2x>3y，
＝＝>1，即5z>2x．
所以5z>2x>3y．]
通性通法：求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式．
【教用·备选题】
1．(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　)
A．log2
B．log2
C．log2D．log2>x1＋x2
√
B　[因为(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则，所以y1＋y2＝＝，所以>0，所以＝故选B．]
2．(经典题)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0
C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0
√
A　[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－设f (x)＝2x－，则f (x)0，所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>0，故A正确，B错误；
由于不能得出|x－y|与1的大小关系，故不能确定C，D是否正确，故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(2025·辽阳期末)已知a＝3-0.1，b＝，c＝log0.13，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c√
课时作业(十七)　指、对、幂的大小比较(进阶课)
题号
1
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9
D　[易知log0.13<0，因为函数y＝3x在R上单调递增，所以0<＝3-0.3<3-0.1，所以c√
题号
1
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9
2．(2026·长沙模拟)已知a＝lg 0.2，b＝log56，c＝ln 2，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
C　[∵lg 0.2＜lg 1＝0，log56＞log55＝1，0＝ln 1＜ln 2＜ln e＝1，
∴a＜c＜b．
故选C．]
题号
1
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8
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9
3．(2025·天津市红桥区月考)设a＝e-1，b＝ln ，c＝log23，则(　　)
A．c＜a＜b B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
√
B　[由c＝log23＞log22＝1，0＜a＝e-1＜e0＝1，b＝ln ＜ln 1＝0，
所以b＜a＜c．
故选B．]
√
题号
1
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9
4．(2025·长沙市开福区期末)已知a＝50.3，b＝(log5a)4，c＝log4(log5a)，则(　　)
A．b＞c＞a B．a＞c＞b
C．a＞b＞c D．c＞a＞b
题号
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9
C　[∵a＝50.3＞50＝1，
b＝(log5a)4＝0.34＜0.30＝1，且b＞0，
c＝log4(log5a)＝log40.3＜log41＝0，
∴a＞b＞c．
故选C．]
√
题号
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9
5．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y＞x>z D．y>z>x
题号
1
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9
B　[法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，
令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，z＝5-3＝，此时x>y>z，A有可能；
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能．
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．
故选B．
题号
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9
法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点的纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，
y>z>x，z>y>x．
故选B．]
题号
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9
二、多项选择题
6．已知x>y>0，则(　　)
A．log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B．cos x>cos y
C．(x＋1)3>(y＋1)3
D．e－x+1>e－y+1
√
√
题号
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9
AC　[对于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f (t)＝log2t是增函数，所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A正确；
对于B，由于g(t)＝cos t在(0，＋∞)上不单调，所以cos x与cos y的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3是增函数，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故C正确；
对于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et是增函数，所以e－x+1 √
题号
1
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9
7．(2025·重庆模拟)若b>c>1，0A．balogca
C．cbaclogba
√
题号
1
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2
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8
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9
BC　[对于A，∵0且b>c>1，∴ba>ca，故A错误；
对于B，∵0又∵b>c>1，∴logab∴0>，即0>logba>logca，故B正确；
对于C，∵0∵幂函数y＝xa-1在(0，＋∞)上单调递减，
且b>c>1，∴ba-1题号
1
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9
对于D，由选项B可知0>logba>logca，
∴0<－logba<－logca，
∵b>c>1，∴c(－logba)∴blogca题号
1
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9
三、填空题
8．(2026·北京通州区模拟)已知a＝2-1.1，b＝lo，c＝log23，则三者大小关系为________(用“＜”连接)．
a题号
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ab＝lo＝log43>log42＝，
且b＝lo＝log43<1，c＝log23>log22＝1，所以a题号
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9．(2025·石家庄调研改编)已知a＝160.3，b＝90.6，c＝，则a，b，c的大小关系是________(用“>”连接)．
b>a>c　[因为a＝160.3＝(24)0.3＝21.2，b＝90.6＝(32)0.6＝31.2，所以31.2>21.2>21＝2，即b>a>2．
因为c＝ ＝log23所以b>a>c．]
b>a>c
谢谢！课时作业(十七)　指、对、幂的大小比较(进阶课)
一、单项选择题
1．(2025·辽阳期末)已知a＝3-0.1，b＝，c＝log0.13，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c2．(2026·长沙模拟)已知a＝lg 0.2，b＝log56，c＝ln 2，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
3．(2025·天津市红桥区月考)设a＝e-1，b＝ln ，c＝log23，则(　　)
A．c＜a＜b B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
4．(2025·长沙市开福区期末)已知a＝50.3，b＝(log5a)4，c＝log4(log5a)，则(　　)
A．b＞c＞a B．a＞c＞b
C．a＞b＞c D．c＞a＞b
5．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y＞x>z D．y>z>x
二、多项选择题
6．已知x>y>0，则(　　)
A．log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B．cos x>cos y
C．(x＋1)3>(y＋1)3
D．e－x+1>e－y+1
7．(2025·重庆模拟)若b>c>1，0A．balogca
C．cbaclogba
三、填空题
8．(2026·北京通州区模拟)已知a＝2-1.1，b＝lo，c＝log23，则三者大小关系为________(用“＜”连接)．
9．(2025·石家庄调研改编)已知a＝160.3，b＝90.6，c＝，则a，b，c的大小关系是________(用“>”连接)．
课时作业(十七)
1．D　[易知log0.13<0，因为函数y＝3x在R上单调递增，所以0<＝3-0.3<3-0.1，所以c2．C　[∵lg 0.2＜lg 1＝0，log56＞log55＝1，0＝ln 1＜ln 2＜ln e＝1，
∴a＜c＜b．
故选C．]
3．B　[由c＝log23＞log22＝1，0＜a＝e-1＜e0＝1，b＝ln ＜ln 1＝0，
所以b＜a＜c．
故选B．]
4．C　[∵a＝50.3＞50＝1，
b＝(log5a)4＝0.34＜0.30＝1，且b＞0，
c＝log4(log5a)＝log40.3＜log41＝0，
∴a＞b＞c．
故选C．]
5．B　[法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，
令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，z＝5-3＝，此时x>y>z，A有可能；
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能．
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．
故选B．
法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点的纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x．
故选B．]
6．AC　[对于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f (t)＝log2t是增函数，所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A正确；
对于B，由于g(t)＝cos t在(0，＋∞)上不单调，所以cos x与cos y的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3是增函数，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故C正确；
对于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et是增函数，所以e－x+17．BC　[对于A，∵0且b>c>1，∴ba>ca，故A错误；
对于B，∵0又∵b>c>1，∴logab∴0>>，即0>logba>logca，故B正确；
对于C，∵0∵幂函数y＝xa-1在(0，＋∞)上单调递减，
且b>c>1，∴ba-1对于D，由选项B可知0>logba>logca，
∴0<－logba<－logca，
∵b>c>1，∴c(－logba)∴blogca8．ab＝lo＝log43>log42＝，
且b＝lo＝log43<1，c＝log23>log22＝1，所以a9．b>a>c　[因为a＝160.3＝(24)0.3＝21.2，b＝90.6＝(32)0.6＝31.2，所以31.2>21.2>21＝2，即b>a>2．
因为c＝ ＝log23所以b>a>c．]
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