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浙江金华市卓越联盟2025-2026学年第二学期5月阶段性联考
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，( )
A. B. C. D.
2.非零向量，，，是的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.棱长为的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.四棱锥中，底面为边长为的正方形，面，与底面成角，分别为棱上靠近点的三等分点，则异面直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，，作交于，交于，，则( )
A. B. C. D.
8.四棱锥中，满足，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的截面面积范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数，已知，，下列说法正确的是( )
A. 复平面内与对应的点在第三象限 B.
C. D.
10.设，下列说法正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 恒成立
C. ，恒成立
D. 若，，且，则
11.在中，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 可能为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.中，，则 ．
14.已知平面向量，，，，，，，，其中，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下，
求的值和该组数据的中位数：
若这人中有女生人，且男生平均分，方差为；女生平均分，方差为，求这人的数学平均分和方差．
16.本小题分
三棱锥中，，，，面面，坐标法不给分
证明：；
若，求二面角的正切值．
17.本小题分
已知函数且，，
判断的单调性不必证明；
(ⅱ)判断的奇偶性并证明；
若，且对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
在中，边上的中线为，证明：；
已知面积为，，求的长．
在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值；
19.本小题分
正四棱台的高为，，，点，，均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为坐标法不给分
引理：最小角定理斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角．
点的轨迹长度；
若，求到直线的距离；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，，
所以中位数在区间内，故．
，．
所以这人的数学平均分为，方差为．

16.解：作于点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，所以，
，为中点．
，．
，，．
，，为三棱锥的高，
，
作于点，作于点，连．
平面，平面，
．
，又，平面，
平面，平面，
所以．
，平面，，
平面，又平面，
所以，故为二面角的平面角．
，，
．

17.解：当时，在上递增，在上递减，
所以在上递增；
当时，在上递减，在上递增，
所以在上递减．
为奇函数，证明如下：
定义域为，关于原点对称．
，
为奇函数．
由得
因为为奇函数，所以，
故
当时，在上递增，
得，
当时，不成立，不合题意．
当时，，只需，
当时，，．
综上所述，的取值范围为．

18.解：由得，
，
化简得，，
；
作于，
设，则，．
，
解得，；
设，则，，
由得，，
．
令，，
，
当时，此时．

19.解：由题意得，直线与平面所成角的正切值为．
正四棱台，，．
又因为，平面，
面，而平面，．
作于，，，面
面．
棱台高为，，求得．
，
直线与夹角的正切值的最小值为，
的轨迹为以为圆心，的圆，
轨迹长为．
，
，
与圆相切．
延长，分别交于，
因为，，，
所以与全等，
设，，
，解得即，
所以平面，平面，，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，所以为中点．
．
．
综上所述，到直线的距离为或．
在面内的射影为的中点，记为，且面，
记在面内的射影为，满足且．
当，，三点共线时，，
，，，
．

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