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第19课时　函数的零点与方程的解
[考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
知识点1　函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使_____________ 的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有______ 函数y＝f (x)的图象与_____有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有_____________________，那么，函数y＝f (x)在区间__________ 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_____________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
知识点2　二分法
　对于在区间[a，b]上图象__________ 且_____________________ 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二分法只能求变号零点．
[常用结论]
1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(苏教版必修第一册P253本章测试T8改编)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
2．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f (x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
3．(湘教版必修第一册P136习题4.4 T6改编)若函数f (x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
考点一　函数零点所在区间及二分法
[典例1]　(1)(2025·铜仁市期末)函数f (x)＝ex＋4x－4的零点所在区间为(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
(2)(2025·汕头月考)用二分法求函数f (x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数至少为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[多维变迁]
1．(2025·天津卷)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
2．(人教A版必修第一册P146例2改编)用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067
f (1.562 5)≈0.003 f (1.556 2)≈－0.029 f (1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实数解．
(2)连续函数f (x)在区间[a，b]上，若满足f (a)f (b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定．
考点二　确定函数零点个数
[典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点．
(2)函数零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．
(3)作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．
考点三　函数零点的应用
　根据函数零点个数求参数范围
[典例3]　已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
本例中，若所有条件不变，且设四个不同的零点分别为x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，那么x1x2x3x4的取值范围是________．
　根据函数零点的范围求参数
[典例4]　函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思维建模：零点求参模型
(1)分离参数：等价转化，将变量与参数分开．
(2)作图：分别作出y＝f (x)与y＝b的图象．
(3)移线得参：平移直线y＝b，根据交点个数，确定参数范围．
[多维变迁]
(2026·南阳模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2，4) B．(2，5)
C．(1，5) D．(1，4)
1．(链接考点一)(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　)
A． B．
C． D．
2．(链接考点二)(2025·昆明市五华区期末)函数f (x)＝log2x－的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(链接考向1)(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．
4．(链接考向2)已知函数f (x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
第19课时　函数的零点与方程的解
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)f(x)＝0　(2)零点　x轴
(3)连续不断　f(a)f(b)<0　(a，b)
f(c)＝0
知识点2　连续不断　f(a)f(b)<0　零点
链教材·夯基固本
1．B　[由
解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点．故选B．]
2．B　[函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)<0，
故f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．]
3．(－2，2)　[由题意得f(－1)f(1)＝(－2＋a)(2＋a)<0，
解得－24．A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)B　(2)C　[(1)函数f(x)＝ex＋4x－4在R上单调递增，
f(－1)＝－8<0，f(0)＝1－4＝－3<0，f(1)＝e＋4－4＝e>0，
故函数f(x)的零点所在区间为(0，1)．
故选B．
(2)因为区间(2，3)的长度为1，经过二分法的一次操作，
区间长度变为原来的一半，所以经过n(n∈N+)次二分法的操作，
区间的长度为<0.1，解得n≥4．
故选C．]
多维变迁
1．B　[易知f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－<0，所以f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B．]
2.1．56　[注意到f(1.556 2)≈－0.029和f(1.562 5)≈0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)<0，又|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3<0.01，所以近似解可取1.56．]
考点二
典例2　(1)D　(2)1　[(1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；
当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，
即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点．
综上，函数f(x)的零点个数为2．故选D．
(2)令f(x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，
故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．
由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
故函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．]
考点三
考向1　典例3　A　[依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即方程f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有四个交点，由函数y＝f(x)的解析式可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)，结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．故选A．
]
母题探究
　[0，1)　[由本例题的解题过程可知，x1＋x2＝－2，x3x4＝1，所以x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－－2x1，又－2≤x1<－1，所以－－2x1∈[0，1)，故x1x2x3x4的取值范围是[0，1)．]
考向2　典例4　B　[由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，
所以
解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．
故选B．]
多维变迁
　A　[函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f(x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)是R上周期为2的函数，作函数f(x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，
由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可，
故解得2随堂·对点检测
1．B　[f(x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，
f＋log2
＝－log23<－log22＝－<0，
f＋log2＝－<0，
f＋log2－log23＝(5－3log23)＝(log232－log227)>0，则函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为．故选B．]
2．C　[由f(x)＝log2x－＝0，
得log2x＝，
函数y＝log2x与y＝都是(0，＋∞)上的增函数，
且log24＝＝2，log216＝＝4，
且当x>16时，函数y＝比y＝log2x增长的快，
则函数y＝与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数f(x)＝log2x－的零点个数是2．故选C．]
3.0或－　[当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1．
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－．]
4．(0，3)　[令f(x)＝0，则x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，即y＝k与g(x)＝2x－的图象在(1，2)内有交点．因为y＝2x 和y＝－在(1，2)内单调递增，所以g(x)＝2x－在(1，2)内单调递增，所以g(1)1 / 6(共74张PPT)
第二章　函数
第19课时　函数的零点与方程的解
[考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
理法先行·题练固本
知识点1　函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使_____________ 的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有______ 函数y＝f (x)的图象与_____有公共点．
f (x)＝0
零点
x轴
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有____________________，那么，函数y＝f (x)在区间__________ 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_____________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
连续不断
f (a)f (b)<0
(a，b)
f (c)＝0
知识点2　二分法
对于在区间[a，b]上图象__________ 且_____________________ 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二分法只能求变号零点．
连续不断
f (a)f (b)<0
零点
[常用结论]
1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(苏教版必修第一册P253本章测试T8改编)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
√
B　[由或
解得x＝－2或x＝e，故f (x)有2个零点．故选B．]
2．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f (x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
√
B　[函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f (1)＝－1，f (2)＝1，则f (1)f (2)<0，
故f (x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．]
3．(湘教版必修第一册P136习题4.4 T6改编)若函数f (x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是__________．
(－2，2)　[由题意得f (－1)f (1)＝(－2＋a)(2＋a)<0，
解得－2(－2，2)　
4．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
√
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]
考点深研·题型突破
考点一　函数零点所在区间及二分法
[典例1]　(1)(2025·铜仁市期末)函数f (x)＝ex＋4x－4的零点所在区间为(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
√
(2)(2025·汕头月考)用二分法求函数f (x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数至少为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
(1)B　(2)C　[(1)函数f (x)＝ex＋4x－4在R上单调递增，
f (－1)＝－8＜0，f (0)＝1－4＝－3＜0，f (1)＝e＋4－4＝e＞0，
故函数f (x)的零点所在区间为(0，1)．
故选B．
(2)因为区间(2，3)的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过n(n∈N＋)次二分法的操作，区间的长度为，由＜0.1，解得n≥4．
故选C．]
[多维变迁]
1．(2025·天津卷)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
√
B　[易知f (x)在[0，＋∞)上单调递减，又f (0)＝1＞0，f (0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f (0.5)＝0.30.5－＝＜0，所以f (x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B．]
2．(人教A版必修第一册P146例2改编)用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067
f (1.562 5)≈0.003 f (1.556 2)≈－0.029 f (1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．
1.56
1.56　[注意到f (1.556 2)≈－0.029和f (1.562 5)≈0.003，显然f (1.556 2) f (1.562 5)<0，
又|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3<0.01，所以近似解可取1.56．]
易错提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实数解．
(2)连续函数f (x)在区间[a，b]上，若满足f (a)f (b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定．
【教用·通性通法】
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，然后看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点．
考点二　确定函数零点个数
[典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
√
1　
(1)D　(2)1　[(1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；
当x>0时，f (x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f (1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f (2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f (1)f (2)<0，
所以函数f (x)在区间(1，2)内必有一个零点．
综上，函数f (x)的零点个数为2．故选D．
(2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，
即ln x＝3－x2，
故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．
由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．]
通性通法：函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点．
(2)函数零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．
(3)作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．
考点三　函数零点的应用
考向1　根据函数零点个数求参数范围
[典例3]　已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
√
A　[依题意，函数g(x)＝f (x)－b有四个不同的零点，即方程f (x)＝b有四个解，转化为函数y＝f (x)的图象与直线y＝b有四个交点，由函数y＝f (x)的解析式可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈ (0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)，结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．
故选A．]
[母题探究]
本例中，若所有条件不变，且设四个不同的零点分别为x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，那么x1x2x3x4的取值范围是________．
[0，1)　[由本例题的解题过程可知，x1＋x2＝－2，x3x4＝1，所以x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－2x1，又－2≤x1＜－1，所以－2x1∈[0，1)，故x1x2x3x4的取值范围是[0，1)．]
[0，1)
考向2　根据函数零点的范围求参数
[典例4]　函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
√
B　[由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，
所以即解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B．]
思维建模：零点求参模型
(1)分离参数：等价转化，将变量与参数分开．
(2)作图：分别作出y＝f (x)与y＝b的图象．
(3)移线得参：平移直线y＝b，根据交点个数，确定参数范围．
[多维变迁]
(2026·南阳模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2，4) B．(2，5)
C．(1，5) D．(1，4)
√
A　[函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f (x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f (x＋2)＝f (x)知，f (x)是R上周期为2的函数，作函数f (x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，
由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可，
故解得2【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝2x＋x，g(x)＝x－lox，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　　)
A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1
√
D　[由f (x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－lox＝0，h(x)＝log2x－＝0，得2x＝－x，x＝lox，log2x＝，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝lox的图象；y＝log2x与y＝的图象，由图可知，－11．所以x3>x2>x1．故选D．]
2．(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点．则实数a＝(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
√
D　[法一：令f (x)＝g(x)，
即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，
令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，
原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，
注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2．
若a＝2，令F(x)＝G(x)，
可得2x2＋1－cos x＝0，
因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立，
可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，
则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，
所以a＝2符合题意．
综上所述，a＝2．
法二：令h(x)＝f (x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知，h(x)的零点只能为0，
即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2．
若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)，
又因为2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立，
可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．
故选D．]
【教用·微点突破】
嵌套函数的零点
形如y＝f (g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点问题综合性较强，难度较大，常与函数性质等相关问题交汇．嵌套函数的零点涉及内外两层函数零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
[典例]　(1)已知函数f (x)＝则函数y＝f (f (x))的所有零点之和为________．
(2)函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是____________．
　
[－1，＋∞)
(1)　(2)[－1，＋∞)　[(1)令f (t)＝0，得t＝－1或t＝1．
由f (x)＝－1，得x＋1＝－1或log2x＝－1，解得x＝－2或x＝；
由f (x)＝1，得x＋1＝1或log2x＝1，解得x＝0或x＝2．
故所有零点的和为
(2)设t＝f (x)，令f ( f (x))－a＝0，
则a＝f (t)．
在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)．
当a<－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有一个交点，不符合题意；
当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1．
当t1<－1时，t1＝f (x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f ( f (x))－a有三个不同的零点．]
1．(链接考点一)(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[f (x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，
f＝＋log2＝－log23<－log22
＝－<0，f＝＋log2＝－<0，
f＝＋log2＝－log23＝＝(log232－log227)>0，则函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为故选B．]
2．(链接考点二)(2025·昆明市五华区期末)函数f (x)＝log2x－的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
√
C　[由f (x)＝log2x－＝0，得log2x＝，
函数y＝log2x与y＝都是(0，＋∞)上的增函数，且log24＝＝2，log216＝＝4，
且当x＞16时，函数y＝比y＝log2x增长的快，
则函数y＝与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数f (x)＝log2x－的零点个数是2．故选C．]
3．(链接考向1)(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为___________．
0或－　[当a＝0时，f (x)＝－x－1，
令f (x)＝0得x＝－1，
故f (x)只有一个零点为－1．
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－]
0或－
4．(链接考向2)已知函数f (x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
(0，3)　[令f (x)＝0，则x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，即y＝k与g(x)＝2x－的图象在(1，2)内有交点．因为y＝2x 和y＝－在(1，2)内单调递增，所以g(x)＝2x－在(1，2)内单调递增，所以g(1)(0，3)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)f (b)<0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数解 B．至多有一实数解
C．没有实数解 D．必有唯一的实数解
课时作业(十九)　函数的零点与方程的解
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[∵f (x)为连续函数，且f (a)f (b)<0，
∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点，
∵函数f (x)在区间[a，b]上单调，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数解．]
√
2．(2025·日照期末)若函数f (x)＝ln x＋2x－3，则f (x)的零点所在区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[函数f (x)＝ln x＋2x－3在x＞0时的图象是连续的，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (1)＝2－3＝－1＜0，f (2)＝ln 2＋4－3＝ln 2＋1＞0，
所以f (1)f (2)＜0，由函数零点存在定理可知，函数的零点在(1，2)内．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·沧州盐山县校级二模)用二分法研究函数f (x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为
(　　)
A．(1，2) B．(1.75，2)
C．(1.5，2) D．(1，1.5)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为f (x)＝x3－2x－1，所以f (1)＝－2＜0，f (2)＝3＞0，
取中间值，有＝1.5，而f (1.5)＝－＜0，
所以下一个有解区间是(1.5，2)．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点，
即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝的解，
转化为y＝|log2x|与y＝图象的交点个数，
如图所示，
从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝的图象
有2个交点，即函数f (x)有2个零点．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·西安模拟)若函数f (x)＝lg x＋t在(1，10)内有零点，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－10，0) B．
C．(0，1) D．(－1，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为f (x)＝lg x＋t在(1，10)内单调递增，
又因为函数f (x)在(1，10)内有零点，
所以即
解得－1＜t＜0．
即实数t的取值范围为(－1，0)．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．函数f (x)＝的所有零点之和为(　　)
A．－4 B．－3
C．0 D．1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[f (x)＝
当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1；
当0＜x＜4时，由cos ＝0，解得x＝1或x＝3．
∴函数f (x)＝的所有零点之和为0．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题　
7．(2025·大庆市龙凤区月考)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　)
A．f (x)＝x2－2x－8 B．f (x)＝(x＋1－2
C．f (x)＝2x-1－1 D．f (x)＝1－ln (x＋2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，
∴f (x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误；
对于B，∵f (x)＝(x＋1－2在[－1，＋∞)上单调递增，
且f (－1)＝－2<0，f (3)＝8－2＝6>0，
即f (－1)f (3)<0，
∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，∵f (x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f (－1)＝－<0，f (3)＝3>0，即f (－1)f (3)<0，
∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确；
对于D，∵f (x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上单调递减，
且f (－1)＝1>0，f (3)＝1－ln 5<0，
即f (－1)f (3)<0，
∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(人教A版必修第一册P160复习参考题4 T4改编)已知函数f (x)＝对于方程f (x)＝k(k<0)，下列说法正确的是(　　)
A．当k<－4时，f (x)＝k有1个解
B．若f (x)＝k有2个解，则k>－3
C．当－4D．f (x)＝k可能有4个解
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[作出f (x)的图象与直线y＝k，如图．
由图象可知，
当k<－4时，f (x)＝k有1个解，A正确；
当k＝－4或k＞－3时，f (x)＝k有2个解，B错误；
当－4f (x)＝k不可能有4个解，D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B．方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f (1) <0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)内
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[对于A，令f (x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f (x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误；
对于B，令f (x)＝ex－x－3，则f (－3)＝e-3>0，f (0)＝－2<0，f (10)＝e10－13>210－13>0，所以由函数零点存在定理可知f (x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确；
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称，故C正确；
对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)内，故D错误．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·岳阳市湘阴县期末)函数f (x)＝ln x－1的零点是 ________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
e　[根据题意，f (x)＝ln x－1，
令f (x)＝ln x－1＝0，解得x＝e，即函数的零点是e．]
e
11．(2025·哈尔滨市香坊区四模)函数f (x)＝(a＋1)x－ax＋x(a＞1)的零点的个数为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
1　
1　[当a＞1时，由指数函数的图象与性质知，
当x＜0时，(a＋1)x－ax＜0，x＜0，可得f (x)＜0，
当x＞0时，(a＋1)x－ax＞0，x＞0，可得f (x)＞0，
当x＝0时，f (x)＝(a＋1)x－ax＋x＝0，则函数f (x)
只有一个零点．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·湛江期中)设f (x)＝|1－2x|，若关于x的方程[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[由[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0得f (x)＝t或f (x)＝2t，作出函数
f (x)的图象(如图所示)，易知当t≤0时，不符合题意；当t＞0时，2t＞t，结合函数f (x)的图象知，要使方程[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0有三个不同的解，需满足方程f (x)＝t有两个解，方程f (x)＝2t有且只有一个解，由图象知所以≤t＜1．]
谢谢！课时作业(十九)　函数的零点与方程的解
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)f (b)<0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数解
B．至多有一实数解
C．没有实数解
D．必有唯一的实数解
2．(2025·日照期末)若函数f (x)＝ln x＋2x－3，则f (x)的零点所在区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
3．(2025·沧州盐山县校级二模)用二分法研究函数f (x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(　　)
A．(1，2) B．(1.75，2)
C．(1.5，2) D．(1，1.5)
4．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．(2026·西安模拟)若函数f (x)＝lg x＋t在(1，10)内有零点，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－10，0) B．
C．(0，1) D．(－1，0)
6．函数f (x)＝的所有零点之和为(　　)
A．－4 B．－3
C．0 D．1
二、多项选择题　
7．(2025·大庆市龙凤区月考)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　)
A．f (x)＝x2－2x－8 B．f (x)＝(x＋1－2
C．f (x)＝2x-1－1 D．f (x)＝1－ln (x＋2)
8．(人教A版必修第一册P160复习参考题4 T4改编)已知函数f (x)＝对于方程f (x)＝k(k<0)，下列说法正确的是(　　)
A．当k<－4时，f (x)＝k有1个解
B．若f (x)＝k有2个解，则k>－3
C．当－4D．f (x)＝k可能有4个解
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B．方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)内
三、填空题
10．(2025·岳阳市湘阴县期末)函数f (x)＝ln x－1的零点是 ________．
11．(2025·哈尔滨市香坊区四模)函数f (x)＝(a＋1)x－ax＋x(a＞1)的零点的个数为________．
12．(2025·湛江期中)设f (x)＝|1－2x|，若关于x的方程[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为________．
课时作业(十九)
1．D　[∵f (x)为连续函数，且f (a)f (b)<0，
∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点，
∵函数f (x)在区间[a，b]上单调，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数解．]
2．B　[函数f (x)＝ln x＋2x－3在x＞0时的图象是连续的，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (1)＝2－3＝－1＜0，f (2)＝ln 2＋4－3＝ln 2＋1＞0，
所以f (1)f (2)＜0，由函数零点存在定理可知，函数的零点在(1，2)内．
故选B．]
3．C　[因为f (x)＝x3－2x－1，所以f (1)＝－2＜0，f (2)＝3＞0，
取中间值，有＝1.5，而f (1.5)＝－＜0，
所以下一个有解区间是(1.5，2)．
故选C．]
4．C　[函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点，
即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝的解，
转化为y＝|log2x|与y＝图象的交点个数，如图所示，
从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)有2个零点．故选C．]
5．D　[因为f (x)＝lg x＋t在(1，10)内单调递增，
又因为函数f (x)在(1，10)内有零点，
所以即
解得－1＜t＜0．
即实数t的取值范围为(－1，0)．故选D．]
6．C　[f (x)＝
当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1；
当0＜x＜4时，由cos ＝0，解得x＝1或x＝3．
∴函数f (x)＝的所有零点之和为0．
故选C．]
7．BCD　[对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，
∴f (x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误；
对于B，∵f (x)＝(x＋1－2在[－1，＋∞)上单调递增，
且f (－1)＝－2<0，f (3)＝8－2＝6>0，
即f (－1)f (3)<0，
∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确；
对于C，∵f (x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f (－1)＝－<0，f (3)＝3>0，即f (－1)f (3)<0，
∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确；
对于D，∵f (x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上单调递减，
且f (－1)＝1>0，f (3)＝1－ln 5<0，
即f (－1)f (3)<0，
∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确．故选BCD．]
8．AC　[作出f (x)的图象与直线y＝k，如图．
由图象可知，
当k<－4时，f (x)＝k有1个解，A正确；
当k＝－4或k＞－3时，f (x)＝k有2个解，B错误；
当－4f (x)＝k不可能有4个解，D错误．故选AC．]
9．BC　[对于A，令f (x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f (x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误；
对于B，令f (x)＝ex－x－3，则f (－3)＝e-3>0，f (0)＝－2<0，f (10)＝e10－13>210－13>0，所以由函数零点存在定理可知f (x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确；
对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称，故C正确；
对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)内，故D错误．故选BC．]
10．e　[根据题意，f (x)＝ln x－1，
令f (x)＝ln x－1＝0，解得x＝e，即函数的零点是e．]
11．1　[当a＞1时，由指数函数的图象与性质知，
当x＜0时，(a＋1)x－ax＜0，x＜0，可得f (x)＜0，
当x＞0时，(a＋1)x－ax＞0，x＞0，可得f (x)＞0，
当x＝0时，f (x)＝(a＋1)x－ax＋x＝0，则函数f (x)只有一个零点．]
12．　[由[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0得f (x)＝t或f (x)＝2t，作出函数f (x)的图象(如图所示)，易知当t≤0时，不符合题意；当t＞0时，2t＞t，结合函数f (x)的图象知，要使方程[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0有三个不同的解，需满足方程f (x)＝t有两个解，方程f (x)＝2t有且只有一个解，由图象知所以≤t＜1．
]
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