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第20课时　函数模型及其应用
[考试要求]　1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识点1　指数、对数、幂函数模型性质的比较
　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝ xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调______ 单调______ 单调递增
增长速度 越来______ 越来______ 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与_____ 平行 随x的增大逐渐表现为与_____ 平行 随n值的变化而各有不同
知识点2　几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相 关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[常用结论]
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　)
A．y＝2x B．y＝lg x
C．y＝x2 D．y＝2x
2．(人教A版必修第一册P152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集了部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b
B．y＝a·＋b(a＞0)
C．y＝xa＋b(a＞0)
D．y＝ax＋(a＞0，b＞0)
考点一　用函数图象刻画变化过程
[典例1]　(1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
(2)如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　)
A．y＝mx＋n(m＞0)
B．y＝m＋n(m＞0)
C．y＝max＋n(m＞0，a＞1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
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通性通法：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点二　已知函数模型解决实际问题
[典例2]　(2025·温州期中)科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(lg 2≈0.30)
(1)若x0＝4，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，它的飞行速度约是多少km/min
(2)若雄性候鸟的飞行速度为2.5 km/min，雌性候鸟的飞行速度为1.5 km/min，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
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通性通法：利用已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
[多维变迁]
根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1毫克/立方米为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05毫克/立方米，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：毫克/立方米)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　)
A．32天 B．33天
C．34天 D．35天
考点三　构建函数模型解决实际问题
　一次函数、二次函数与分段函数模型
[典例3]　某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：
P＝设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．
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　函数y＝x＋(a>0)模型及应用
[典例4]　(2025·北京房山区期末)A，B两地相距520 km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100 km/h．已知货车每小时的运输成本(单位：元)由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速x的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)把货车的全程运输成本y(单位：元)表示为车速x(单位：km/h)的函数；
(2)为使全程运输成本最低，货车应以多大速度行驶？
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易错提醒：(1)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(2)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
1．(链接考点一)设f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B．g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C．g(x)的增长速度最快，f (x)的增长速度最慢
D．f (x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
2．(链接考点二)(2026·杭州市上城区模拟)碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5 730年，即生物死亡t年后，碳14所剩含量C(t)＝C0，其中C0为活体组织中碳14的含量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2025年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始含量的，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．5552年 B．5546年
C．7576年 D．7577年
3．(链接考点三)(2025·承德校级开学考试)“直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(单位：件)与每件的售价x(单位：元)之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y(单位：件)与每件的售价x(单位：元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元，那么每件的售价应定为多少元？
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第20课时　函数模型及其应用
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　递增　递增　越快　越慢　y轴　x轴
链教材·夯基固本
1．D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．故选D．]
2．B　[由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，
函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)B　(2)B　[(1)水位由高变低，排除C，D．流完半缸水前水位下降速度先快后慢，流完半缸水后水位下降速度先慢后快．
(2)A选项，由散点图知身高y随时间x的变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x的增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x的增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B．]
考点二
典例2　解：(1)将x＝8 100，x0＝4代入v＝log3－lg x0，
得v＝log381－lg 4＝2－2lg 2≈2－0.6＝1.4，
所以候鸟的飞行速度约是1.4 km/min．
(2)设雄性候鸟每分钟的耗氧量为x1，雌性候鸟每分钟的耗氧量为x2，
依题意可得
两式相减可得1＝log3＝9．
故此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的9倍．
多维变迁
　C　[依题意可知，当t＝0时，μ(t)＝6.05，
即6.05＝λ＋0.05，解得λ＝6，
所以μ(t)＝6＋0.05，
由μ(t)＝6＋0.05≤0.1，得，
即－≤ln ≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，
所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，
故至少需要放置的时间为34天．故选C．]
考点三
考向1　典例3　解：(1)由题意知，当0≤x≤8时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋，
当8y＝0.6x＋0.2(14－x)－x＋2，
即y＝
(2)当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋，
所以当x＝4时，ymax＝．
当8所以当x＝14时，ymax＝．
因为，所以当x＝4时，ymax＝．
所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元．
考向2　典例4　解：(1)由题意可得，y＝(400＋kx2)×＋520 kx，0(2)由"对勾函数"的性质可得y＝＋520 kx在上单调递增，
又0当0<≤100，即k≥时，
货车速度为km/h时，全程运输成本最低；
当>100，即0货车速度为100 km/h时，全程运输成本最低．
随堂·对点检测
1．B　[画出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中，当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长速度最快，h(x)＝log2x增长速度最慢．
故选B．]
2．A　[由题意知C0C0，所以lg＝lg，
所以t＝5 730×≈5 730×≈7 577，
所以可推断该生物死亡的时间约为公元前7577－2025＝5552年．
故选A．]
3．解：(1)由题图可知每月销售量y与每件售价x之间为一次函数关系，
设其函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(60，600)，(80，400)代入，
得
所以每月销售量y与每件售价x之间的函数关系式为y＝－10x＋1 200．
(2)根据题意得，(－10x＋1 200)(x－50)＝10 000，
整理得x2－170x＋7 000＝0，解得x1＝70，x2＝100，
因为该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%，
所以x≤50×(1＋50%)，即x≤75，所以x＝70．
所以当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10 000元．
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第二章　函数
第20课时　函数模型及其应用
[考试要求]　1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
理法先行·题练固本
知识点1　指数、对数、幂函数模型性质的比较
　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调______ 单调______ 单调递增
增长速度 越来______ 越来______ 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与_____ 平行 随x的增大逐渐表现为与_____ 平行 随n值的变化而各有不同
递增
递增
越快
越慢
y轴
x轴
知识点2　几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相 关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[常用结论]
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　)
A．y＝2x B．y＝lg x
C．y＝x2 D．y＝2x
√
D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．故选D．]
2．(人教A版必修第一册P152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集了部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b
B．y＝a·＋b(a＞0)
C．y＝xa＋b(a＞0)
D．y＝ax＋(a＞0，b＞0)
√
B　[由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，
函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a＞0时，该函数在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一　用函数图象刻画变化过程
[典例1]　(1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是(　　)
√
A　　　　　B
C　　　　　D
(2)如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　)
A．y＝mx＋n(m＞0)
B．y＝m＋n(m＞0)
C．y＝max＋n(m＞0，a＞1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
√
(1)B　(2)B　[(1)水位由高变低，排除C，D．流完半缸水前水位下降速度先快后慢，流完半缸水后水位下降速度先慢后快．
(2)A选项，由散点图知身高y随时间x的变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x的增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x的增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B．]
通性通法：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点二　已知函数模型解决实际问题
[典例2]　(2025·温州期中)科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(lg 2≈0.30)
(1)若x0＝4，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，它的飞行速度约是多少km/min
(2)若雄性候鸟的飞行速度为2.5 km/min，雌性候鸟的飞行速度为
1.5 km/min，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[解]　(1)将x＝8 100，x0＝4代入v＝log3－lg x0，
得v＝log381－lg 4＝2－2lg 2≈2－0.6＝1.4，
所以候鸟的飞行速度约是1.4 km/min．
(2)设雄性候鸟每分钟的耗氧量为x1，雌性候鸟每分钟的耗氧量为x2，
依题意可得
两式相减可得1＝log3，解得＝9．
故此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的9倍．
通性通法：利用已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
[多维变迁]
根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1毫克/立方米为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05毫克/立方米，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：毫克/立方米)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　)
A．32天 B．33天
C．34天 D．35天
√
C　[依题意可知，当t＝0时，μ(t)＝6.05，
即6.05＝＋0.05，解得λ＝6，所以μ(t)＝＋0.05，
由μ(t)＝＋0.05≤0.1，得，
即－≤ln ，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，
所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，
故至少需要放置的时间为34天．故选C．]
【教用·备选题】
(多选)(2023· 新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1≥p2 B．p2＞10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
√
√
√
ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则，所以＞10，所以＞20，此不等式不可能成立，
故B不正确；因为＝＝1≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD．]
考点三　构建函数模型解决实际问题
考向1　一次函数、二次函数与分段函数模型
[典例3]　某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：
P＝设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．
[解]　(1)由题意知，当0≤x≤8时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋，
当8y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2，
即y＝
(2)当0≤x≤8时，
y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋，
所以当x＝4时，ymax＝
当8所以当x＝14时，ymax＝
因为，所以当x＝4时，ymax＝
所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元．
考向2　函数y＝x＋(a>0)模型及应用
[典例4]　(2025·北京房山区期末)A，B两地相距520 km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100 km/h．已知货车每小时的运输成本(单位：元)由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速x的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)把货车的全程运输成本y(单位：元)表示为车速x(单位：km/h)的函数；
(2)为使全程运输成本最低，货车应以多大速度行驶？
[解]　(1)由题意可得，y＝(400＋kx2)×＝＋520 kx，0＜x≤100．
(2)由“对勾函数”的性质可得y＝＋520 kx在上单调递减，在上单调递增，
又0＜x≤100，
当0＜≤100，即k≥时，
货车速度为km/h时，全程运输成本最低；
当＞100，即0＜k＜时，
货车速度为100 km/h时，全程运输成本最低．
易错提醒：(1)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(2)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
【教用·通性通法】
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
1．(链接考点一)设f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B．g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C．g(x)的增长速度最快，f (x)的增长速度最慢
D．f (x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
√
B　[画出函数f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中，当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长速度最快，h(x)＝log2x增长速度最慢．
故选B．]
2．(链接考点二)(2026·杭州市上城区模拟)碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5 730年，即生物死亡t年后，碳14所剩含量C(t)＝C0，其中C0为活体组织中碳14的含量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2025年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始含量的，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．5552年 B．5546年
C．7576年 D．7577年
√
A　[由题意知C0＝C0，所以lg ＝lg ，
所以t＝5 730×≈5 730×≈7 577，
所以可推断该生物死亡的时间约为公元前7577－2025＝5552年．
故选A．]
3．(链接考点三)(2025·承德校级开学考试)“直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(单位：件)与每件的售价x(单位：元)之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y(单位：件)与每件的售价x(单位：元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元，那么每件的售价应定为多少元？
[解]　(1)由题图可知每月销售量y与每件售价x之间为一次函数关系，
设其函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(60，600)，(80，400)代入，
得解得
所以每月销售量y与每件售价x之间的函数关系式为y＝－10x＋
1 200．
(2)根据题意得，(－10x＋1 200)(x－50)＝10 000，
整理得x2－170x＋7 000＝0，解得x1＝70，x2＝100，
因为该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%，
所以x≤50×(1＋50%)，即x≤75，所以x＝70．
所以当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10 000元．
题号
1
3
5
2
4
6
7
一、单项选择题
1．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
课时作业(二十)　函数模型及其应用
题号
1
3
5
2
4
6
7
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x
√
D　[根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除A，B，C，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
2．(人教A版必修第一册P161复习参考题4 T13改编)为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，
那么开始喷洒药物的时间最迟是(　　)
A．9：00 B．8：40
C．8：30 D．8：00
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
A　[由题图可知函数的图象过点(10，1)，
代入函数解析式，可得＝1，解得a＝1，
所以y＝
令y≤0.25，可得0.1t≤0.25(0≤t≤10)或≤0.25(t>10)，
解得0所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
3．(2025·广州月考)“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明，某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2＝的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　)
A．0.2米 B．0.25米
C．0.45米 D．0.7米
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[由题意得v2－Hv4＝4H，
故H＝＝＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．
所以该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
二、多项选择题　
4．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．
题号
1
3
5
2
4
6
7
给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　)
A．图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
BC　[由图1可设y关于x的函数关系为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当x＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
5．(人教A版必修第一册P155习题4.5 T9)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at(a＞0，且a≠1)．下列说法正确的是(　　)
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等　
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
ABD　[由题图可得，函数图象过点(1，2)，则2＝a1，即a＝2，故y＝2t．
对于A，浮萍每月的增长率为＝＝1，故A正确；
对于B，第5个月时，即t＝5时，浮萍的面积y＝25＝32＞30，故B正确；
对于C，第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－21＝2，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4，即y2－y1≠y3－y2，故C错误；
对于D，由题意可得2＝，3＝，6＝，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝log22＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
三、填空题
6．(2025·九江三模)随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g(x)万元，当该款汽车年产量低于400辆时，g(x)＝ ＋x，当年产量不低于400辆时，g(x)＝16x＋－3 500．该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为________ 万元．
2 200
题号
1
3
5
2
4
6
7
2 200　[设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为f (x)万元，由题意可知，
f (x)＝
x∈N，
题号
1
3
5
2
4
6
7
即f (x)＝x∈N，
当0≤x＜400时，f (x)＜f (400)＝2 100；
当x≥400时，f (x)＝－＋3 400≤－2＋3 400＝2 200，
当且仅当x＝600时，f (x)取得最大值2 200．
综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2 200万元．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
四、解答题
7．(2025·南宁月考)某数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N(单位：字节)的数据时，处理时间t(单位：秒)满足关系式t＝t0其中N0，t0均为常数)．已知当N＝300时，t＝4e2；当N＝400时，t＝4e3．
(1)求N0，t0的值；
(2)若该程序利用后台算法处理一份数据量N＝600的数据，求所需的处理时间；
题号
1
3
5
2
4
6
7
(3)若将(2)中的数据分为两份，数据量分别为N1和N2，其中N1，N2＞0，N1＋N2＝600，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值．
题号
1
3
5
2
4
6
7
[解]　(1)由题意知t＝t0 (其中N0，t0均为常数)，则ln t＝ln t0＋－1，
因为当N＝300时，t＝4e2；当N＝400时，t＝4e3，
所以
两式相减可得ln ＝，故N0＝＝100，
故t0＝＝＝4．
题号
1
3
5
2
4
6
7
(2)由(1)可知t＝，当N＝600时，t＝4e5，
故所需的处理时间为4e5秒．
(3)总处理时间t＝4＋4≥8＝8＝8＝8e2，
当且仅当N1＝N2＝300时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为8e2秒．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·贺州期末)函数f (x)＝的定义域是(　　)
A． B．[0，1)∪(1，2]
C．[0，2] D．∪(1，2]
阶段检测(三)　第13～20课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由函数f (x)有意义，得解得＜x＜1或1＜x≤2．所以函数f (x)的定义域是∪(1，2]．故选D．]
√
2．(2025·沈阳月考)已知函数f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，且f (9)＝－1，则实数a＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．27
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为函数f (x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1，①
因为f (9)＝－1，所以loga9＝－1，即2loga3＝－1，
∴loga3＝或loga3＝－1，∴a＝9或a＝，②
所以由①②得a＝9．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·武汉月考)幂函数f (x)＝(m2－m－1)xm， x1，x2∈(0，＋∞)都有＜0成立，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝2 B．m＝2或m＝－1　
C．f (x)是偶函数 D．f (x)是奇函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为f (x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，
因为 x1，x2∈(0，＋∞)都有＜0成立，
所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m＜0，
所以m＝－1，故A，B错误；
所以f (x)＝x-1＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f (－x)＝＝－f (x)，
所以f (x)是奇函数，故D正确，C错误．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(2025·北京市东城区期末)若函数f (x)＝－ln (x＋b)的图象如图所示，b为常数．则函数g(x)＝ex＋b的图象是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A　[根据题意，由函数f (x)＝－ln (x＋b)的图象，0＜f (0)＝－ln b＜1，
即－1＜ln b＜0，解得＜b＜1，
故函数g(x)＝ex＋b的图象由y＝ex的图象向上平移b个单位长度得到，
分析选项，A选项符合．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(湘教版必修第一册P152复习题四T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48．从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是(　　)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由题意可得，M≈3361，N≈1080，
根据对数函数性质有3＝10lg 3≈100.48，
∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，
∴≈＝1093．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·新乡期末)若实数a，b，c满足a－2＝＋1＝log2c＋1，则实数a，b，c的大小关系不可能是(　　)
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[令a－2＝＋1＝log2c＋1＝x(x＞1)，
则a＝x＋2，b＝lo(x－1)，c＝2x-1(x>1)，
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝x＋2，
g(x)＝lo(x－1)，h(x)＝2x-1的图象，如图所示．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
当1＜x＜x1时，g(x)＞f (x)＞h(x)，即b＞a＞c，故A正确；
当x1＜x＜x2时，f (x)＞g(x)＞h(x)，即a＞b＞c，故B正确；
当x2＜x＜x3时，f (x)＞h(x)＞g(x)，即a＞c＞b，故C错误；
当x＞x3时，h(x)＞f (x)＞g(x)，即c＞a＞b，故D正确．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·盐城月考)对于函数f (x)＝x2与g(x)＝2x的图象，下列说法错误的是(　　)
A．f (x)与g(x)有三个交点
B．f (x)与g(x)有两个交点
C． x0＞0，当x＞x0时，g(x)恒在f (x)的下方
D． x0＞0，当x＞x0时，g(x)恒在f (x)的上方
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[函数f (x)＝x2与g(x)＝2x的图象如图，
由图可知，f (x)与g(x)有三个交点，故A正确，B错误；
x0＝4＞0，当x＞x0时，g(x)恒在f (x)的上方，故C错误，D正确．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
√
8．已知函数f (x)＝ln (2x＋1)－ln (2x－1)，则(　　)
A．f (x)的定义域为(0，＋∞)
B．f (x)的值域为(0，＋∞)　
C．f (x)为减函数　
D．f (x)为奇函数
题号
1
3
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2
4
6
8
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11
12
√
√
ABC　[由2x－1＞0，得x＞0，∴f (x)的定义域为(0，＋∞)，∴A正确；
f (x)＝ln ＝ln ，1＋＞1，
∴ln ＞ln 1＝0，
∴f (x)的值域为(0，＋∞)，∴B正确；
f (x)＝ln ，当x增大时，2x－1增大，减小，即f (x)减小，
∴f (x)是减函数，∴C正确；
f (x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，
∴f (x)不是奇函数，∴D错误．故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2025·天津市南开区期末)＋log3618＋log93×log62－＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－3　＋log3618＋log93×log62－＝(－27＋lo18＋lo3×log62－1＝－3＋log618＋log62－1＝－4＋log636＝－4＋×2＝－3．]
－3
10．(2025·昆明市五华区开学考试)函数f (x)＝的值域是________．
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
　[y＝，
设g(x)＝x2＋2x＋3，
则g(x)＝(x＋1)2＋2≥2，
故0＜y＝≤＝，
所以函数f (x)的值域为]
四、解答题
11．(人教A版必修第一册P120习题4.2 T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．
(1)求该函数的解析式，并画出图象；
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
题号
1
3
5
2
4
6
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9
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11
12
[解]　(1)因为函数y＝a＋b的图象过原点，所以0＝a＋b，
由函数的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，得b＝2，又a＋b＝0，所以a＝－2，
则y＝－2＋2，其图象如图．
(2)由图知，y＝－2＋2是偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·临沂期末)已知函数f (x)＝log2
(1)若函数f (x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f (x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)若函数f (x)是R上的奇函数，
则f (0)＝0，
∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0．
经检验，当a＝0时，f (x)＝－x是R上的奇函数．
∴a的值为0．
(2)由已知得函数f (x)是减函数，故f (x)在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log2(1＋a)，最小值是f (1)＝log2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由题设得log2(1＋a)－log2≥2，
则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．
∴解得－故实数a的取值范围是
谢谢！课时作业(二十)　函数模型及其应用
一、单项选择题
1．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x
2．(人教A版必修第一册P161复习参考题4 T13改编)为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是(　　)
A．9：00 B．8：40
C．8：30 D．8：00
3．(2025·广州月考)“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明，某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2＝的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　)
A．0.2米 B．0.25米
C．0.45米 D．0.7米
二、多项选择题　
4．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．
给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　)
A．图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
5．(人教A版必修第一册P155习题4.5 T9)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at(a＞0，且a≠1)．下列说法正确的是(　　)
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等　
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
三、填空题
6．(2025·九江三模)随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g(x)万元，当该款汽车年产量低于400辆时，g(x)＝ ＋x，当年产量不低于400辆时，g(x)＝16x＋－3 500．该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为________ 万元．
四、解答题
7．(2025·南宁月考)某数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N(单位：字节)的数据时，处理时间t(单位：秒)满足关系式t＝t0其中N0，t0均为常数)．已知当N＝300时，t＝4e2；当N＝400时，t＝4e3．
(1)求N0，t0的值；
(2)若该程序利用后台算法处理一份数据量N＝600的数据，求所需的处理时间；
(3)若将(2)中的数据分为两份，数据量分别为N1和N2，其中N1，N2＞0，N1＋N2＝600，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值．
课时作业(二十)
1．D　[根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除A，B，C，故选D．]
2．A　[由题图可知函数的图象过点(10，1)，
代入函数解析式，可得＝1，解得a＝1，
所以y＝
令y≤0.25，可得0.1t≤0.25(0≤t≤10)或≤0.25(t>10)，
解得0所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．]
3．B　[由题意得v2－Hv4＝4H，
故H＝＝＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．
所以该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．
故选B．]
4．BC　[由图1可设y关于x的函数关系为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当x＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC．]
5．ABD　[由题图可得，函数图象过点(1，2)，则2＝a1，即a＝2，故y＝2t．
对于A，浮萍每月的增长率为＝＝1，故A正确；
对于B，第5个月时，即t＝5时，浮萍的面积y＝25＝32＞30，故B正确；
对于C，第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－21＝2，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4，即y2－y1≠y3－y2，故C错误；
对于D，由题意可得2＝，3＝，6＝，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝log22＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，故D正确．
故选ABD．]
6．2 200　[设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为f (x)万元，由题意可知，
f (x)＝
x∈N，
即f (x)＝x∈N，
当0≤x＜400时，f (x)＜f (400)＝2 100；
当x≥400时，f (x)＝－＋3 400≤－2＋3 400＝2 200，
当且仅当x＝600时，f (x)取得最大值2 200．
综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2 200万元．]
7．解：(1)由题意知t＝t0 (其中N0，t0均为常数)，则ln t＝ln t0＋－1，
因为当N＝300时，t＝4e2；当N＝400时，t＝4e3，
所以
两式相减可得ln ＝，故N0＝＝100，
故t0＝＝＝4．
(2)由(1)可知t＝，当N＝600时，t＝4e5，
故所需的处理时间为4e5秒．
(3)总处理时间t＝4＋4≥8＝8＝8＝8e2，
当且仅当N1＝N2＝300时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为8e2秒．
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