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2026年中考决胜最后一卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图，北京时间2022年4月16日9时56分，“太空出差三人组”翟志刚、王亚平、叶光富乘坐神舟十三号返回舱安全回家．若将这个返回舱近似的看成一个规则的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．C． D．
3．如图，数轴上点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
7．下列哪个值是不等式的一个解（ ）
A． B．0 C． D．2
8．方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（ ）
A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0
9．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
10．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，在中，，，根据作图痕迹，可知（ ）
A．70° B．60° C．50° D．45°
12．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（ ）
A．
B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是
C．线段的长为3
D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．计算：______．
14．龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”）
15．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________．
16．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________．
解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算：
①；②；③；④；⑤．
（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：
解：原式……第一步
……第二步
．……第三步
任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告：
调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间
调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A． B． C． D． E．
调查方式 随机抽样调查
调查结果
备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议．
19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若且，，求四边形的面积．
20．“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵．
(1)八（1）班男生、女生各有多少人？
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？
21．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
(1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
22．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1．
【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长．
23．如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E．
(1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线）
(2)求证：；
(3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）．
24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段是一段直线滑道，且长为米，点到地面距离米，点到地面距离米，滑道可以看作一段抛物线，最高点为．
(1)求滑道部分抛物线的函数表达式；
(2)当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点的水平距离是多少？
(3)现在需要对滑道部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．
25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．
(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页·2026年中考决胜最后一卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图，北京时间2022年4月16日9时56分，“太空出差三人组”翟志刚、王亚平、叶光富乘坐神舟十三号返回舱安全回家．若将这个返回舱近似的看成一个规则的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．C． D．
3．如图，数轴上点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
7．下列哪个值是不等式的一个解（ ）
A． B．0 C． D．2
8．方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（ ）
A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0
9．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
10．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，在中，，，根据作图痕迹，可知（ ）
A．70° B．60° C．50° D．45°
12．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（ ）
A．
B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是
C．线段的长为3
D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．计算：______．
14．龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”）
15．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________．
16．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________．
解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算：
①；②；③；④；⑤．
（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：
解：原式……第一步
……第二步
．……第三步
任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告：
调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间
调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A． B． C． D． E．
调查方式 随机抽样调查
调查结果
备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议．
19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若且，，求四边形的面积．
20．“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵．
(1)八（1）班男生、女生各有多少人？
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？
21．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
(1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
22．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1．
【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长．
23．如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E．
(1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线）
(2)求证：；
(3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）．
24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段是一段直线滑道，且长为米，点到地面距离米，点到地面距离米，滑道可以看作一段抛物线，最高点为．
(1)求滑道部分抛物线的函数表达式；
(2)当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点的水平距离是多少？
(3)现在需要对滑道部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．
25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．
(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页·2026年中考决胜最后一卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵正数大于0，0大于负数，
∴最小的数是．
故选：A．
2．如图，北京时间2022年4月16日9时56分，“太空出差三人组”翟志刚、王亚平、叶光富乘坐神舟十三号返回舱安全回家．若将这个返回舱近似的看成一个规则的几何体，则其俯视图是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】俯视图是从上往下看几何体得到的图形，主视图是从前往后看几何体得到的图形，左视图是从左往右看几何体得到的图形，用俯视图的定义逐个判断．
【详解】
俯视图是从上往下看几何体得到的图形，返回舱近似圆台，俯视图应该是的形状．
故选A．
【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解决此类问题的关键．
3．如图，数轴上点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的定义判断数轴上实数的大小．
【详解】实数与数轴上的点是一一对应的，点在的位置，故选C．
【点睛】本题考查数轴的知识，要理解实数与数轴上的点是一一对应的．
4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
5．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案．
【详解】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故选：A．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．
故选D．
7．下列哪个值是不等式的一个解（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查求一元一次不等式的解，求出不等式的解集，进行判断即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴2是不等式的一个解；
故选：D．
8．方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么成立的式子是（ ）
A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≤0 D．b2-4ac≥0
【答案】D
【分析】直接根据判别式的意义判断.
【详解】解:根据题意得△=≥0.
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当<0,方程没有实数根.
9．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【答案】C
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90．
【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动，
∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90．
故选：C．
10．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出两种乘车方式中人数的等量关系，并将其用含未知数的式子表示出来．设共有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，列方程即可．
【详解】解：设共有辆车，
依题意，得：．
故选：B．
11．如图所示，在中，，，根据作图痕迹，可知（ ）
A．70° B．60° C．50° D．45°
【答案】A
【分析】本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角，属于中考常考题型．
根据，得出，由作图痕迹可知：，得出，即可求解．
【详解】解：，，
，
由作图痕迹可知：，
，
故选：A．
12．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（ ）
A．
B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是
C．线段的长为3
D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值
【答案】A
【分析】表示出平移后的函数解析式，联立平移后的一次函数与反比例函数，根据判别式为零，求解m的值可判断A选项；根据求解出的一次函数解析式，令，求解交点坐标判断B选项；联立一次函数与反比例函数，求解点A、B的坐标，再根据两点间距离公式求解可判断C选项；根据两个函数的图象即可判断D选项．
【详解】解：一次函数向下平移m个单位后的解析式为，
A选项，若反比例函数与只有一个交点，
∴，即，
则有，即，
解得或，
∵，则平移后直线需在第一象限与双曲线有一个交点，
且当时，一次函数为与第一象限的双曲线不相交，故舍；
∴取，故A选项正确；
B选项，，一次函数为，
令时，，解得，
平移后的直线与x轴的交点的坐标是，故B选项错误；
C选项，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，
∴，即，解得或，
当时，；当时，；
∴点，点，
由两点间距离公式可得，，
∴线段的长为，故C选项错误；
D选项，由图象可知，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故D选项错误 ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．计算：______．
【答案】/
【分析】本题主要考查了整式的加法计算，先通分，再根据整式的加法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”）
【答案】不会
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系即可得出答案．
【详解】解：∵龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，，
∴小明不会受到龙卷风的影响．
故答案为：不会．
15．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________．
【答案】
【分析】本题考查简单事件的概率计算. 根据概率公式计算即可.
【详解】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种，
∴小赵选择“豆包”的概率为.
16．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________．
【答案】
【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解．
【详解】解：∵直线与抛物线交于两点
设两点坐标分别为：，且，
，
，
如图，过点 M 和点 N 作交于 G，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(1)请从以下5个式子中，任选3个式子进行减法运算：
①；②；③；④；⑤．
【答案】选①②③，．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握实数的性质．
任意选取个式子，列出算式进行计算即可．
【详解】解：选①②③，列出减法算式为
．（答案不唯一）
(2)下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：
解：原式……第一步
……第二步
．……第三步
任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
【答案】任务一：三，分式的分母去掉了；任务二：见解析
【分析】本题考查了异分母分式加减法运算，解题的关键是熟练　运算法则．
任务一：根据异分母分式减法运算法则逐步判断即可得出答案；
任务二：根据异分母分式减法运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了；
故答案为：三；分式的分母去掉了；
任务二：原式
．
18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告：
调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间
调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A． B． C． D． E．
调查方式 随机抽样调查
调查结果
备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议．
【答案】(1)60，
(2)见详解
(3)增强大课间和课间活动，做到人人动起来
【分析】（1）利用“A组人数其所占百分比”，即可求得次调查的样本容量；利用“组所占百分比”，即可求得D组对应的圆心角的度数；
（2）首先计算被抽取学生中C组人数，然后补画频数分布直方图即可；
（3）结合题意作答即可．
【详解】（1）解：，
即本次调查的样本容量是60；
，
∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是；
（2）解：被抽取学生中，C组人数为（人），
故可补画频数分布直方图，如下图所示：
（3）解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．
19．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若且，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据矩形的性质和题意，可以证明和全等，即可得到，再根据，即可证明结论成立；
（2）根据矩形的性质和勾股定理可以得到的值，然后即可计算出四边形的面积．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
为对角线的中点，
，
在和中，
，
，
，
又 ，
四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）知：四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
四边形是矩形，，，
，，
设的长度为，则，，
，
，
，
解得，
即，
．
20．“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵．
(1)八（1）班男生、女生各有多少人？
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？
【答案】(1)八（1）班有男生25人，女生20人
(2)最多可以购买1333棵甲种树苗
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设八（1）班有女生x人、男生y人，结合已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵，列式，再解方程，即可作答．
（2）设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵，因为学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，购买树苗的经费不超过16000元，所以列式，解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设八（1）班有女生x人、男生y人，
依题意得
解得
∴八（1）班有男生25人，女生20人
（2）解：设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵，
依题意得，
解得
∵m为正整数，
∴m的最大值为1333，
∴最多可以购买1333棵甲种树苗．
21．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
(1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
【答案】(1)段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为
(2)草莓一天内最适合生长的时间有15小时
【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可．
【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
22．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1．
【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长．
【答案】（1），两点间的距离约米；（2）的长为米
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，进行解答，即可．
（1）过点作交于点，根据，求出，再根据三角形的内角和，求出，最后根据，即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，则，得到，再把米，米，代入即可求解．
【详解】（1）过点作交于点，
∵，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
答：计算，两点间的距离约米；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
答：的长为米．
23．如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E．
(1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线）
(2)求证：；
(3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由圆周角定理即可得到答案；
（2）连接，交于点，推出，得到，即可得到结论；
（3）连接，推出，得到，求出，得到．
【详解】（1）解：，
故答案为：；（答案不唯一）
（2）证明：如图，连接，交于点.
平分.
，
，
，
.
.
，
是的直径.
.
是的切线.
，
，
.
（3）解：连接.
.
.
，
∴.
，
，
.
∴.
∴.
24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段是一段直线滑道，且长为米，点到地面距离米，点到地面距离米，滑道可以看作一段抛物线，最高点为．
(1)求滑道部分抛物线的函数表达式；
(2)当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点的水平距离是多少？
(3)现在需要对滑道部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．
【答案】(1)（） (2)米 (3)675000元
【分析】（1）过点作交于点，则四边形为矩形，由勾股定理求出，点的坐标为．再用待定系数法求解即可；
（2）根据当小车距离轴的垂直距离是2.5时，由，所以小车只可能在滑道上，令，代入（1）所求的函数解析式求解即可．
（3）令，代入（1）所求的函数解析式求解，得出点，设（），则点，则，，则所有支架的长度和，化简得，然后由二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：如解图，过点作交于点，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴点的坐标为．
∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的函数表达式为，代入点得，
解得，
∴滑道部分抛物线的函数表达式为（）；
（2）解：当小车距离轴的垂直距离是2.5时，
∵，
∴小车只可能在滑道上，
∴，解得：，（不合题意，舍去），
∴此时小车到出发点的水平距离为米；
（3）解：由题意得，，
令，解得（舍去），，即点，
设（），
∴点，则，，
∴所有支架的长度和，化简得，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为9，此时造价最高为元，
∴为了预算充足，至少要申请675000元资金．
25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．
(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
【答案】(1)；30°； (2)两个结论均成立；证明见解析； (3)GN的最小值为1.
【分析】（1）根据已知和旋转的性质可得均为等边三角形，求出AE，BE，EN，从而可求出以及直线与相交所成的锐角的度数；
（2）成立，连接AM、AN，证明，
，再证明△MAN∽△BAE即可得出结论；
（3）方法同（2）可求出∠NMC=45°，由勾股定理得，进一步得出得，再根据垂线段最短可得结论．
【详解】（1）∵AB=AC，，
∴是等边三角形，
∵点E是边的中点
∴AE⊥BC
∴
∴
∴
由旋转的性质可得：AE=AF，
∴是等边三角形
∴∠AEF=60°，
∴
∵ ∴
∴
∴AE=2EN
∴
∴
故答案为：；30°
（2）上述两个结论均成立；
连接AM、AN
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，即∠BMA=90°
在直角△ABM中，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，，
同理可得∠EAN=30°，，
∴∠MAN=∠BAE，，
∴△MAN∽△BAE，
∴，∠AMN=∠ABE=60°，
∴∠NMC=∠AMC-∠AMN=90°－60°=30°，
综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°;
（3）如图，
∵ ，
∴ ，
∵M是BC的中点，
∴，
∵ ，
∴ ，
同（2）可得， ，
∴，
∴ ，
根据垂线段最短可知：当时，GN最小，
此时，是等腰直角三角形，GN=1.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年中考决胜最后一卷
数学（答案版）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A C B A D D D C B A A
填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．/.
14．不会．
15．．
16．．
三、解答题本题共9小题，共98分,需要写出必要的推理过程或解答过程.
17．（10分）
（1）【详解】解：选①②③，列出减法算式为
．（答案不唯一）（5分）
(2)【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了；
故答案为：三；分式的分母去掉了；
任务二：原式
．（10分）
18．（10分）
【详解】（1）解：，
即本次调查的样本容量是60；
，
∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是；（4分）
（2）解：被抽取学生中，C组人数为（人），
故可补画频数分布直方图，如下图所示：
（8分）
（3）解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．（10分）
19．（10分）
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
为对角线的中点，
，
在和中，
，
，
，
又 ，
四边形为平行四边形；（5分）
（2）解：由（1）知：四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
四边形是矩形，，，
，，
设的长度为，则，，
，
，
，
解得，
即，
．（10分）
20．（10分）
【详解】（1）解：设八（1）班有女生x人、男生y人，
依题意得
解得
∴八（1）班有男生25人，女生20人（5分）
（2）解：设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵，
依题意得，
解得
∵m为正整数，
∴m的最大值为1333，
∴最多可以购买1333棵甲种树苗．（10分）
21．（10分）
【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．（5分）
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．（10分）
22．（12分）
【详解】（1）过点作交于点，
∵，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
答：计算，两点间的距离约米；（6分）
（2）∵，，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
答：的长为米．（12分）
23（12分）
【详解】（1）解：，
故答案为：；（答案不唯一）（3分）
（2）证明：如图，连接，交于点.
平分.
，
，
，
.
.
，
是的直径.
.
是的切线.
，
，
.
（7分）
（3）解：连接.
.
.
，
∴.
，
，
.
∴.
∴.（12分）
24．（12分）
【详解】（1）解：如解图，过点作交于点，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴点的坐标为．
∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的函数表达式为，代入点得，
解得，
∴滑道部分抛物线的函数表达式为（）；（4分）
（2）解：当小车距离轴的垂直距离是2.5时，
∵，
∴小车只可能在滑道上，
∴，解得：，（不合题意，舍去），
∴此时小车到出发点的水平距离为米；（8分）
（3）解：由题意得，，
令，解得（舍去），，即点，
设（），
∴点，则，，
∴所有支架的长度和，化简得，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为9，此时造价最高为元，
∴为了预算充足，至少要申请675000元资金．（12分）
25．（12分）
【详解】（1）∵AB=AC，，
∴是等边三角形，
∵点E是边的中点
∴AE⊥BC
∴
∴
∴
由旋转的性质可得：AE=AF，
∴是等边三角形
∴∠AEF=60°，
∴
∵ ∴
∴
∴AE=2EN
∴
∴
故答案为：；30°（4分）
（2）上述两个结论均成立；
连接AM、AN
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，即∠BMA=90°
在直角△ABM中，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，，
同理可得∠EAN=30°，，
∴∠MAN=∠BAE，，
∴△MAN∽△BAE，
∴，∠AMN=∠ABE=60°，
∴∠NMC=∠AMC-∠AMN=90°－60°=30°，
综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°;
（8分）
（3）如图，
∵ ，
∴ ，
∵M是BC的中点，
∴，
∵ ，
∴ ，
同（2）可得， ，
∴，
∴ ，
根据垂线段最短可知：当时，GN最小，
此时，是等腰直角三角形，GN=1.
（12分）

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